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重点高中自主招生数学模拟试题(含答案)

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重点中学自主招生数学模拟试题一 答题时注意: 1、试卷满分 150 分;考试时间:120 分钟. 2、试卷共三大题,计 16道题。考试结束后,将本卷及演算的草稿纸一并上交。 一、 选择题 (共 5 小题, 每题 6 分, 共 30 分.以下每小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项 , 其中有且只有一个选项是正确的 .请将正确选项的代号填入题后 的括号内.不填、多填或错填均不得分) 1、 如果关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 3 ? 0 至少有一个正根, 则实数 a 的取值范围是 ( 2 2 ) A、 ? 2 ? a ? 2 B、 3 ? a ? 2 C、 ? 3 ? a ? 2 D、 ? 3 ? a ? 2 2、如图,已知:点 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 的中点, BD 、DF 分别 交 CE 于 点 G、H , 若 正 方 形 ABCD 的 面 积 是 240 , 则 四 边 形 BFHG 的 面 积 等 于……………………( ) E B A A、26 B、28 C、24 D、30 G 3 、设 x、 y、 z 是两两不等的实数,且满足下列等式: 6 x ( y ? x) ? x ( z ? x) ? 3 3 6 3 3 6 y ? x ? x ? z ,则代数式 6 F H 3 3 3 x ? y ? z ? 3xyz 的值是………………… ( ) D C A、0 B、1 C、3 D、条件不足,无法计算 D 4、如图,四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的⊙ A ,已知: 3 BC ? 10, cos ?BCD ? , ?BCE ? 30? ,则线段 DE 的长 5 是………………… ( A、 89 B、7 3 ) C、4+3 3 D、3+4 3 B C A 5、某学校共有 3125 名学生,一次活动中全体学生被排成 E 一个 n 排的等腰梯形阵,且这 n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列,则当 n 取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数 是………………… ( ) A、296 B、221 C、225 D、641 二、填空题: (共 5 小题,每题 6 分,共 30 分) 6、已知:实常数 a、b、c、d 同时满足下列两个等式:⑴ a sin ? ? b cos ? ? c ? 0 ; ⑵ a cos ? ? b sin ? ? d ? 0 (其中 ? 为任意锐角) ,则 a、b、c、d 之间的关系式是: 。 7、函数 y ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 3 x ? 3 ? 4 x ? 4 的最小值是 。 8、已知一个三角形的周长和面积分别是 84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无 摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图) ,则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆 滚过的部分的面积是 。 9、已知: x ? 3 5? 2 ,则 2 可用含 x 的 有理系数三次多项式来表示为: 2 = 。 10、设p、q、r 为素数,则方程 p 3 ? p 2 ? q 2 ? r 2 的所有可能的解p、q、r组成的三元 数组( p, q, r )是 。 三、解答题(共 6 题,共 90 分) 11、 (本题满分 12 分) 赵岩,徐婷婷,韩磊不但是同班同学,而且是非常要好的朋友,三个人的学习成绩不相伯 仲, 且在整个年级中都遥遥领先, 高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学. 后 来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题:有一种密 码把英文按字母分解,英文中的 a,b,c, ,z 26 个字母(不论大小写)依次用 1, 2, 3, , 26 这 26 个自然数表示,并给出如下一个变换公式: ? x ? [ ] ? 1(其中x是不超过26的正奇数) ;已知对于任意的实数 x ,记号[ x ]表 y?? 2 x ?1 ?[ ] ? 13(其中x是不超过26的正偶数) ? 2 8 ?1 ] ? 13 ? 17 ,即 h变成q , 示不超过 x 的最大整数;将英文字母转化成密码,如 8 ? [ 2 11 再如 11 ? [ ] ? 1 ? 6 ,即 k变成f 。他们给出下列一组密码: etwcvcjw ej ncjw 2 wcabqcv,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来,并简单地 写出翻译过程。 12、 (本题满分 15 分) 如果有理数 m 可以表示成 2 x 2 ? 6 xy ? 5 y 2 (其中 x、 y 是任意有理数)的形式,我们就 称 m 为“世博数” 。 ⑴ 个“世博数” a、 b 之积也是“世博数”吗?为什么? ⑵ 证明:两个“世博数” a、 b ( b ? 0 )之商也是“世博数” 。 13、 (本题满分 15 分) 如图,在四边形 ABCD 中,已知△ ABC 、△ BCD 、△ ACD 的面积之比是 3∶1∶4,点 E 在边 AD 上, CE 交 BD 于 G ,设 ⑴求 3 7k 2 ? 20 的值; ⑵若点 H 分线段 BE 成 BG DE ? ?k。 GD EA BH ? 2 的两段,且 AH 2 ? BH 2 ? DH 2 ? p 2 ,试用含 p 的代数 HE 式表示△ ABD 三边长的平方和。 A H B C G E D 14、 (本题满分 16 分) 观察下列各个等式: 12 ? 1,12 ? 2 2 ? 5,12 ? 2 2 ? 32 ? 14,12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? 30,??? 。 ⑴你能从中推导出计算 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n 的公式吗?请写出你的推导过程; 2 2 2 2 2 ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题: 已知: 如图, 抛物线 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 与 x 、 y 轴的正半轴分别

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