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人教版高中数学全套教案导学案专题四 立体几何 第一讲 空间几何体

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专题四 立体几何

第 1 讲 空间几何体

自主学习导引

真题感悟

1.(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

解析 将三视图还原为直观图后求解. 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱,所以 S=2×(4+3+12)+2π-2π=38. 答案 38
2.(2012·辽宁)已知正三棱锥 P-ABC,点 P、A、B、C 都在半径为 3的球面上,若 PA、
PB、PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________.
解析 先求出△ABC 的中心,再求出高,建立方程求解.
如图,设 PA=a,

则 AB=

2a,PM=

3 3 a.

设球的半径为 R,

所以??? 33a-R???2+??? 36a???2=R2, 将 R= 3代入上式,

解得 a=2,所以 d=

3-23

3=

3 3.

答案

3 3

考题分析 高考考查本部分内容时一般把三视图与空间几何体的表面积与体积相结合,题型以小题为主, 解答此类题目需仔细观察图形,从中获知线面的位置关系与数量大小,然后依据公式计算.
络构建
高频考点突破 考点一: 空间几何体与三视图 【例 1】已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,侧视图是 有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为
[审题导引] 条件中的俯视图与侧视图给出了边长,故可根据三视图的数量关系进行选择. [规范解答] 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”,故正视图的高一定是 2,正视图和 俯视图“长对正”,故正视图的底面边长为 2,根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前 面的面垂直于底面,这个面遮住了后面的一个侧棱,综合以上可知,这个空间几何体的正视 图可能是 C. [答案] C 【规律总结】
解决三视图问题的技巧 空间几何体的数量关系也体现在三视图中,正视图和侧视图的“高平齐”,正视图和俯视图的 “长对正”,侧视图和俯视图的“宽相等”.也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体的 高,正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度,侧视图、俯视图中的宽就是空间几 何体的最大宽度.在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡的部分的轮 廓线用虚线表示出来,即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中 的“虚线”. 【变式训练】
1.(2012·丰台二模)一个正四棱锥的所有棱长均为 2,其俯视图如图所示,则该正四棱锥 的正视图的面积为

A. 2

B. 3

C.2

D.4

解析 正四棱锥的直观图如图所示,BH= 2,SB=2,

∴SH= 2,其正视图为底面边长为 2,高为 2的等腰三角形,

∴正四棱锥的正视图的面积为 S=12×2× 2= 2.

答案 A 考点二:空间几何体的表面积与体积 【例 2】 (1)一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

A.4 m3 B.92m3

C.3m3

9 D.4

m3

(2)(2012·丰台一模)若正四棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该几何体
的表面积是 A.4 B.4+4 10 C.8

D.4+4 11
[审题导引] (1)把三视图还原为几何体,画出其直观图,然后分别计算各个部分的体积,最 后整合得到结果; (2)作出几何体的直观图,根据正视图中的几何体的数量可得直观图的数量,可求其表面积. [规范解答] (1)这个空间几何体的直观图如图所示,把右半部分割补到上方的后面以后,实 际上就是三个正方体,故其体积是 3 m3.故选 C.
(2)正四棱锥的直观图如图所示, 由正视图与俯视图可知 SH=3, AH= 2,AB=2, ∴△SAB 的高 SE= SH2+EH2= 10, ∴所求的表面积为 S=4×12×2× 10+2×2 =4+4 10.
[答案] (1)C (2)B 【规律总结】
组合体的表面积和体积的计算方法 实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球,而是由柱、锥、台、球或其一部分组 成的组合体,解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”,将组合体分解成若干 部分,每部分是柱、锥、台、球或其一个部分,分别计算其体积,然后根据组合体的结构, 将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差. [易错提示] 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几 何体中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”.多面体 的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积 之和.对于简单的组合体的表面积,一定要注意其表面积是如何构成的,在计算时不要多算 也不要少算,组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和. 【变式训练】 2.(2012·济南模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

解析 由三视图可知该几何体为三棱锥,其高为 3,

底面积为 S=12×3×1=32,

∴体积 V=13×32×3=32.

答案

3 2

3.某品牌香水瓶的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积为________cm2

解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱.上 面四棱柱的面积为 2×3×3+12×1-π4=30-4π;中间部分的面积为 2π×12×1=π,下面部分 的面积为 2×4×4+16×2-π4=64-4π.故其面积是 94+π2.
答案 94+π2
考点三:球与球的组合体 【例 3】正四棱锥 S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2,点 S、A、B、C、D 都在同

一个球面上,则该球的体积为________.
[审题导引] 如图所示,根据对称性,只要在四棱锥的高线 SE 上找到一个点 O 使得 OA=OS, 则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上.
[规范解答] 如图所示,在 Rt△SEA 中,SA= 2,AE=1,故 SE=1.设球的半径为 r,则 OA=OS=r,OE=1-r.在 Rt△OAE 中,r2=(1-r)2+1,解得 r=1,即点 O 即为球心,故这 个球的体积是43π.

[答案]

4π 3

【规律总结】 巧解球与多面体的组合问题
求解球与多面体的组合问题时,其关键是确定球心的位置,可以根据空间几何体的对称性判 断球心的位置,然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关 系,达到求解解题需要的几何量的目的. 【变式训练】

4.(2012·普陀区模拟)若一个底面边长为 23,侧棱长为 6的正六棱柱的所有顶点都在一

个球面上,则此球的体积为________.

解析 设正六棱柱的上,下底面的中心分别为 O1,O2, 则 O1O2 的中点即为球心 O,

如图所示,AO2= 23,O2O= 26,

∴R=AO= AO22+O2O2=32,

∴V=43πR3=43π×???32???3=92π.

答案

9 2π

名师押题高考 【押题 1】某三棱锥的侧视图和俯视图及部分数据如图所示,则该三棱锥的体积为________.

解析 由于侧视图和俯视图“宽相等”,故侧视图的底边长是 2,由此得侧视图的高为
2 3,此即为三棱锥的高;俯视图的面积为 6,由题设条件,此即为三棱锥的底面积.所以所
求的三棱锥的体积是13×6×2 3=4 3.
答案 4 3 [押题依据] 几何体的三视图是高考的热点问题,通常与几何体的体积和表面积结合考查.本 题给出几何体的三视图及其数量大小,要求考生据此计算几何体的体积,此类型可以说是高 考的必考点,故押此题. 【押题 2】正四面体的四个顶点都在同一个球面上,且正四面体的高为 4,则这个球的表面积 是________.
解析 我们不妨设该正四面体的棱长为 a,其外接球的半径是 R,内切球的半径是 r,则
该正四面体的高 h=R+r,如图所示,则在 Rt△OO1A 中,OO1=r,OA=R,O1A= 33a,

??R+r= 从而有?

36a,

??R2-r2=13a2,

解得

R=

46a,r=

6 12 a.

根据 R= 46a,h= 36a=4?R=3?S=4πR2=36π.
答案 36π [押题依据] 本题主要考查空间几何体与球的组合体知识,这类题是高考考查球及其组合体 的常考题型,有两类重要组合模型,即球的内接与球的外切.


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