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浙江省金华市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科)

时间:2016-07-25

浙江省金华市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)下列各点中,在曲线 x ﹣xy+1=0 上的点是() A.(2,﹣2) B.(4,﹣3) C.(3,10) 2. (5 分)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是() A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B. 所有能被 2 整除的整数的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 3. (5 分)已知直线 ax+2y+2=0 与 3x﹣y﹣2=0 平行,则系数 a=() A.﹣3 B.﹣6 C. D.
2

D.(﹣2,5)

4. (5 分)m,n 为实数,命题 p:m+n>2;命题 q:m>1 且 n>1,则 p 是 q 的() A.充分不必要的条件 B. 必要不充分的条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要的条件 5. (5 分)一个体积为 12 为() 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧视图的面积

A.6

B. 8

C. 8

D.12

6. (5 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)与直线 y=b 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,

如果△ AOB 是等边三角形,则该椭圆的离心率为() A. B. C. D.

7. (5 分)设直线 a?平面 α,原命题:“若平面 α⊥平面 β,则直线 a⊥平面 β”,以及它的逆 命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是() A.4 B. 3 C. 2 D.0 8. (5 分)如图 E、F、G 分别是各棱长均相等的三棱锥 A﹣BCD 的棱 AB、BC、AC 的中点, 点 P 在侧面 ABC 及其边界上运动,DP⊥AB,则动点 P 的轨迹是()

A.线段 FG

B.线段 EG

C.线段 EF

D.线段 EC

二、填空题(本大题共 7 小题,9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分) 2 2 9. (6 分)已知圆 C:x +y ﹣2x﹣2y+1=0,其半径 r=,圆心 C 到直线 x﹣y=2 的距离为,圆 C 上的点到直线 x﹣y=2 的最小值为. 10. (6 分)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的余弦值 是,该正方体的外接球半径为,内切球的体积是. 11. (6 分)由三条直线 x=0,x+y﹣2=0,x﹣y﹣2=0 围成一个封闭的平面图形,则该平面图 形的面积是,若将此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的表面积是. 12. (6 分)若动点 M 到点 A(1,0)的距离与到直线 x=﹣1 的距离相等,则点 M 的轨迹 方程为,若动点 M 到点 A(1,0)与点 B(2,0)的距离比为 1:2,则点 M 的轨迹方程为.

13. (4 分)F1,F2 分别是椭圆 点,则△ ABF2 的周长是.

+

=1 的左右焦点,过 F1 的直线与椭圆相交于 A、B 两

14. (4 分)设直线 l 过点 P(﹣1,0)且倾斜角为 长为.

,则直线 l 被椭圆

+

=1 截得的弦

15. (4 分)设直线 x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分

别交于点 A,B,若点 P(﹣m,0)满足|PA|=|AB|,则该双曲线的渐近线方程为.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (15 分)命题 p:直线 y=kx+2 与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点;命题 q:曲线
2 2



=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,若 p∧q 为真命题,求实数 k 的取值范围.

17. (15 分)如图,侧棱与底面积垂直的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 各侧棱和底面边长均为 2,P, Q 分别是棱 AB、AC 的中点,连结 A1B. (Ⅰ)求证:直线 PQ∥平面 B1BCC1; (Ⅱ)求直线 A1B 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值.

18. (15 分)在平面直线坐标系 xOy 中,给定一点 P(3,1)及两条直线 l1:x+2y+3=0,l2: x+2y﹣7=0. (Ⅰ)求直线 l1 和 l2 距离相等的直线方程; (Ⅱ)求过 P 点且与 l1,l2 都相切的圆的方程. 19. (15 分)已知四棱锥 A﹣ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=AC=2,SA=SB= (Ⅰ)求证:平面 SAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 A﹣AC﹣B 的余弦值.

20. (14 分)已知抛物线 C:y=x ,过点 M(1,1)作两条相互垂直的直线,与抛物线的另 两个交点分别为 A,B (Ⅰ)求抛物线 C 的准线方程; (Ⅱ)直线 AB 是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.

2

浙江省金华市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 2 1. (5 分)下列各点中,在曲线 x ﹣xy+1=0 上的点是() A.(2,﹣2) B.(4,﹣3) C.(3,10) D.(﹣2,5) 考点: 曲线与方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 把所给的各个点的坐标代入曲线的方程,看它们是否满足方程,从而得出结论. 2 解答: 解:∵点(2,﹣2) 、 (4,﹣3) 、 (﹣2,5)的坐标都不满足方程 x ﹣xy+1=0, 故排除 A、B、D, 2 2 由于点(3,10)的坐标满足方程 x ﹣xy+1=0,故点(3,10)是曲线 x ﹣xy+1=0 上的点, 故选:C. 点评: 本题主要考查曲线与方程的定义,属于基础题. 2. (5 分)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是() A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B. 所有能被 2 整除的整数的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数” 的否定是:存在一个能被 2 整除的整数不是偶数. 故选:D. 点评: 本题考查命题的否定,全称命题与通常每天都否定关系,基本知识的考查. 3. (5 分)已知直线 ax+2y+2=0 与 3x﹣y﹣2=0 平行,则系数 a=() A.﹣3 B.﹣6 C. D.

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据它们的斜率相等,可得﹣ =3,解方程求 a 的值. 解答: 解:∵直线 ax+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行, ∴它们的斜率相等, ∴﹣ =3 ∴a=﹣6 故选:B. 点评: 本题考查两直线平行的性质,两直线平行,斜率相等. 4. (5 分)m,n 为实数,命题 p:m+n>2;命题 q:m>1 且 n>1,则 p 是 q 的() A.充分不必要的条件 B. 必要不充分的条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要的条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:若 m=4,n=﹣1,满足 m+n>2,但 m>1 且 n>1 不成立, 若 m>1 且 n>1,则 m+n>2 成立,即 p 是 q 的必要不充分条件, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 5. (5 分)一个体积为 12 为() 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧视图的面积

A.6

B. 8

C. 8

D.12

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 此几何体是一个正三棱柱,正视图即内侧面,底面正三角形的高是 ,由正三 角形的性质可以求出其边长,由于本题中体积已知,故可设出棱柱的高,利用体积公式建立 起关于高的方程求高,再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可.

解答: 解:设棱柱的高为 h, 由左视图知,底面正三角形的高是 故底面三角形的面积是

,由正三角形的性质知,其边长是 4, =4

由于其体积为 ,故有 h× = ,得 h=3 由三视图的定义知, 侧视图的宽即此三棱柱的高, 故侧视图的宽是 3, 其面积为 3× = 故选 A 点评: 本题考点是简单空间图形的三视图, 考查根据作三视图的规则几何体的直观图的能 力以及利用体积公式建立方程求参数的能力,三视图的投影规则是:“主视、俯视 长对正; 主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.

6. (5 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)与直线 y=b 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,

如果△ AOB 是等边三角形,则该椭圆的离心率为() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 令 y=b,代入椭圆方程,可得 AB 的长,再由等边三角形的高与边长的关系,结合 离心率公式,即可计算得到. 解答: 解:令 y=b,代入椭圆方程可得 x =b (1﹣
2 2

) ,

即有 x=± 即有|AB|= ,





由△ AOB 是等边三角形, 则有 b= 即有 e= = ? , ,

故选 B. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率 的求法,属于基础题. 7. (5 分)设直线 a?平面 α,原命题:“若平面 α⊥平面 β,则直线 a⊥平面 β”,以及它的逆 命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是() A.4 B. 3 C. 2 D.0 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题然后判断真假即可.

解答: 解:设直线 a?平面 α,原命题:“若平面 α⊥平面 β,则直线 a⊥平面 β”,所以是 假命题. 它的逆命题、若直线 a⊥平面 β,则平面 α⊥平面 β,满足平面与平面垂直的判定定理,所 以正确; 否命题、若平面 α 不垂直平面 β,则直线 a 不垂直平面 β,是正确命题; 逆否命题、直线 a 不垂直平面 β,则平面 α 不垂直平面 β,是假命题; 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是四种命题的真假判断, 平面与平面垂直以及直线与平面垂直的 判定定理与性质定理的应用, 其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同, 是解答的关键. 8. (5 分)如图 E、F、G 分别是各棱长均相等的三棱锥 A﹣BCD 的棱 AB、BC、AC 的中点, 点 P 在侧面 ABC 及其边界上运动,DP⊥AB,则动点 P 的轨迹是()

A.线段 FG

B.线段 EG

C.线段 EF

D.线段 EC

考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 确定 DA 在侧面 ABC 上的射影为 CE,CE⊥AB,根据 CP⊥AB,即可得出结论. 解答: 解:因为 E 是各棱长均相等的三棱锥 A﹣BCD 的棱 AB 的中点, 所以 DA 在侧面 ABC 上的射影为 CE,CE⊥AB, 因为点 P 在侧面 ABC 及其边界上运动,DP⊥AB, 所以动点 P 的轨迹是线段 EC, 故选:D. 点评: 本题考查轨迹方程,考查学生分析解决问题的能力,确定 CE⊥AB 是关键. 二、填空题(本大题共 7 小题,9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分) 2 2 9. (6 分)已知圆 C:x +y ﹣2x﹣2y+1=0,其半径 r=1,圆心 C 到直线 x﹣y=2 的距离为 圆 C 上的点到直线 x﹣y=2 的最小值为 ﹣1.



考点: 直线与圆的位置关系;圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: 把圆的方程化为标准形式, 可得圆心和半径, 再利用点到直线的距离公式求得圆心 C 到直线 x﹣y=2 的距离,可得圆 C 上的点到直线 x﹣y=2 的最小值. 2 2 2 2 解答: 解:圆 C:x +y ﹣2x﹣2y+1=0,即 圆 C: (x﹣1) +(y ﹣1) =1, 表示以(1,1)为圆心、半径等于 1 的圆.

故圆心 C 到直线 x﹣y=2 的距离为

=

,圆 C 上的点到直线 x﹣y=2 的最小值

为 ﹣1, 故答案为:1; ; ﹣1. 点评: 本题主要考 查圆的标准方程、点到直线的距离公式,直线和圆的位置关系,属于 基础题. 10. (6 分)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的余弦值 是 ,该正方体的外接球半径为 ,内切球的体积是 .

考点: 球的体积和表面积;异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 利用平移法得出∠CBD1(或其补角)为异面直线 BD1 与 AD 所成角,进而可求异 面直线 BD1 与 AD 所成角的余弦值;求出正方体的对角线长,可得正方体的外接球半径; 利用体积公式求内切球的体积. 解答: 解:∵BC∥B1C1, ∴∠CBD1(或其补角)为异面直线 BD1 与 AD 所成角 ∵BC=a,BD1= a,BC⊥CD1, ∴cos∠CBD1= , ,∴该正方体的外接球半径为 = , . . ,

正方体的对角线长为 内切球的体积是 故答案为: ,

点评: 本题考查异面直线所成角,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 11. (6 分)由三条直线 x=0,x+y﹣2=0,x﹣y﹣2=0 围成一个封闭的平面图形,则该平面图 形的面积是 4,若将此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的表面积是 8 . 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题;直线与圆;空间位置关系与距离. 分析: 画出这三条直线围成的图形,根据图形求出它的面积, 再得出旋转体是两个同底等高的圆锥组合体,求出它的表面积. 解答: 解:三条直线 x=0,x+y﹣2=0,x﹣y﹣2=0 围成一个封闭图形是等腰△ ABC,如图 所示; 该△ ABC 的面积是 BC?OA= ×4×2=4, 将此△ ABC 绕 y 轴旋转一周,得到两个同底等高的圆锥的组合体, 该旋转体的表面积是 2×π?OA?AB=2×π×2× 故答案为:4,8 π. =8 π.

点评: 本题考查了直线方程的应用问题, 也考查了旋转体的表面积的计算问题, 是基础题 目. 12. (6 分)若动点 M 到点 A(1,0)的距离与到直线 x=﹣1 的距离相等,则点 M 的轨迹 方程为 y =4x,若动点 M 到点 A(1,0)与点 B(2,0)的距离比为 1:2,则点 M 的轨迹 方程为 x +y ﹣ x=0.
2 2 2

考点: 轨迹方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线的定义可得,轨迹是以点 A(﹣2,0)为焦点,以直线 x=2 为准线的抛物 线,写出抛物线方程.设出 M 的坐标,直接由 M 与两个定点点 A(1,0)与点 B(2,0) 的距离之比为 列式整理得方程. 解答: 解:第一个空:在平面直角坐标系 xOy 中,到点 A(1,0)和到直线 x=﹣1 距离 相等的动点的轨迹是以点 A(1,0)为焦点, 2 以直线 x=﹣1 为准线的抛物线,p=2,故抛物线方程为 y =4x; 第二个空:设 M(x,y) ,由点 M 与两个定点点 A(1,0)与点 B(2,0)的距离之比为 , 得 = ,整理得:x +y ﹣ x=0.
2 2 2 2

∴点 M 的轨迹方程是:x +y ﹣ x=0. 故答案为:y =4x;x +y ﹣ x=0. 点评: 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,判断轨迹是以点 A(1, 0)为焦点,以直线 x=﹣1 为准线的抛物线,是解题的关键,同时考查距离公式的应用.
2 2 2

13. (4 分)F1,F2 分别是椭圆 点,则△ ABF2 的周长是 8.

+

=1 的左右焦点,过 F1 的直线与椭圆相交于 A、B 两

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求得椭圆的 a=2,再由椭圆的定义可得△ AF2B 的周长为 c=4a=8. 解答: 解:椭圆 由椭圆的定义可得, △ AF2B 的周长为 c=|AB|+|AF2|+|BF2| =(|AF2|+|AF1|)+(|BF1|+|BF2|) =2a+2a=4a=8. 故答案为:8. 点评: 本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要考查椭圆的定义的运用,考查运算能力, 属于基础题. + =1 的 a=2,

14. (4 分)设直线 l 过点 P(﹣1,0)且倾斜角为 长为 .

,则直线 l 被椭圆

+

=1 截得的弦

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出椭圆的焦点坐标,根据点斜率式设直线方程,与椭圆方程消去 y,利用根与系 数的关系,根据弦长公式即可算出弦长. 解答: 解:∵直线 l 过点 P(﹣1,0)且倾斜角为 设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 将 AB 方程与椭圆方程消去 y,得 7x +12x+2=0 由韦达定理可得:x1+x2= ,x1x2= ,y= (x+1) ,

因此,|AB|=

?|x1﹣x2|=2? .

=



故答案为:

点评: 本题给出椭圆经过焦点且倾斜角为

的直线被椭圆所截弦长.着重考查了椭圆的

标准方程与简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识,属于中档题.

15. (4 分)设直线 x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分

别交于点 A,B,若点 P(﹣m,0)满足|PA|=|AB|,则该双曲线的渐近线方程为 y=±x. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出 A,B 的坐标,可得 AB 中点坐标,利用点 P(﹣m,0)满足|PA|=|PB|,可



=﹣3,从而可求双曲线的渐近线方程.

解答: 解:双曲线



=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=± x,则 , ) ,B(﹣ , ) ,

与直线 x﹣3y+m=0 联立,可得 A(

∴AB 中点坐标为(



) ,

∵点 P(﹣m,0)满足|PA|=| PB|,



=﹣3,

∴a=b, ∴双曲线的渐近线方程为 y=±x. 故答案为:y=±x. 点评: 本题考查双曲线的渐近线方程, 考查直线与双曲线的位置关系, 考查学生的计算能 力,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (15 分)命题 p:直线 y=kx+2 与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点;命题 q:曲线
2 2



=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,若 p∧q 为真命题,求实数 k 的取值范围.

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑.

分析: 先求出命题 p,q 为真时 k 的范围,再由 p∧q 为真命题,得到 p,q 均为真命题, 得到不等式组,从而求出 k 的范围. 解答: 解:∵命题 p:直线 y=kx+2 与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点, ∴圆心到直线的距离 d= ∴k 或 k<﹣ , ﹣ =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线, <1,
2 2

∵命题 q:曲线





解得 0<k<16, ∵p∧q 为真命题, ∴p,q 均为真命题, ∴ ,

∴ <k<16. 点评: 本题以复合命题的真假为载体, 考查双曲线的标准方程及性质, 以及直线和圆的位 置关系,准确记住这些概念性质是解题的关键,本题是一道基础题. 17. (15 分) 如图, 侧棱与底面积垂直的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 各侧棱和底面边长均 为 2, P, Q 分别是棱 AB、AC 的中点,连结 A1B. (Ⅰ)求证:直线 PQ∥平面 B1BCC1; (Ⅱ)求直线 A1B 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)根据条件即可得到 PQ∥BC,从而由线面平行的判定定理得出直线 PQ∥平 面 B1BCC1;

(Ⅱ)连接 BQ,A1Q,根据已知条件即可说明∠BA1Q 便是直线 A1B 和平面 ACC1A1 所成 角,根据已知的边的长度求出 BQ,A1B,从而在 Rt△ A1BQ 中,由 sin∠BA1Q= 得答案. 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵点 P,Q 分别是 AB,AC 的中点; ∴PQ∥BC,BC?平面 B1BCC1,PQ?平面 B1BCC1; ∴直线 PQ∥平面 B1BCC1; (Ⅱ)如图,连接 BQ,QA1; ∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱和底面垂直; ∴A1A⊥平面 ABC,BQ?平面 ABC; ∴A1A⊥BQ,即 BQ⊥A1A; 又△ ABC 三边相等,Q 为 AC 中点; ∴BQ⊥AC,A1A∩AC=A; ∴BQ⊥平面 ACC1A1; ∴∠BA1Q 是直线 A1B 和平面 ACC1A1 所成的角; ∵AB=BC=AC=A1A=2; ∴ , ; 即可求

∴在 Rt△ A1BQ 中,sin∠BA1Q=



∴直线 A1B 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值为



点评: 考查三角形中位线的性质,线面平行的判定定理,以及线面垂直的性质,线面垂直 的判定定理,线面角的概念及找法,正弦函数的定义. 18. (15 分)在平面直线坐标系 xOy 中,给定一点 P(3,1)及两条直线 l1:x+2y+3=0,l2: x+2y﹣7=0. (Ⅰ)求直线 l1 和 l2 距离相等的直线方程; (Ⅱ)求过 P 点且与 l1,l2 都相切的圆的方程.

考点: 圆的切线方程;两条平行直线间的距离. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)由直线 l1 和 l2 距离相等得到所求直线方程 x+2y+m=0,利用平行线的距离公 式得到 m; (Ⅱ)由题意,满足条件的圆的圆心到直线 l1 和 l2 距离相等,由此得到圆心在直线 x+2y﹣ 2=0 上,设出圆心坐标,得到半径,利用 PC=r 求出 t. 解答: 解: (Ⅰ)设满足条件的直线方程为 x+2y+m=0,则 |m﹣3|=|m+7|,解得 m=﹣2, 所以满足条件的直线方程为:x+2y﹣2=0; (Ⅱ)由题意,满足条件的圆的圆心到直线 l1 和 l2 距离相等, 所以圆心在直线 x+2y﹣2=0 上设圆心 C 为(2﹣2t,t) ,且半径 r= 点 P(3,1) ,所以|PC|=r,即 +(1﹣t) =5,解得 t=﹣1,或 t= ,即 C( ﹣1) , 所以满足条件的圆的方程为(x﹣ ) +(y﹣ ) =5 或(x﹣4) +(y+1) =5. 点评: 本题考查了由直线与直线, 直线与圆的位置关系求满足条件的方程; 根据是由位置 关系得到参数的等式. 19. (15 分)已知四棱锥 A﹣ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=AC=2,SA=SB= (Ⅰ)求证:平面 SAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 A﹣AC﹣B 的余弦值.
2 2 2 2 2 2

,即

,由圆过 )或(4,

考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)连接 AC,取 AB 的中点 E,连接 SE、EC,证明 SE⊥面 ABCD,即可证明 平面 SAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)过 E 作 EG⊥AC,垂足为 G,连接 SG,证明∠SGE 是二面角 A﹣AC﹣B 的平面角, 求出 SG,即可求二面角 A﹣AC﹣B 的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:取 AB 的中点 E,连接 SE、EC, ∵SA=SB= ,∴SE⊥AB,AB=2,∴SE=1, 又四棱锥 S﹣ACDE 的底面为菱形,且∠ABC=60°, ∴△ABC 是等边三角形,AB=2, ∴CE= , 2 2 2 又 SC=2,∴SC =CE +SE ,

∴SE⊥EC,∴SE⊥面 ABCD, ∵SE?平面 SAB, ∴平面 SAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)解:过 E 作 EG⊥AC,垂足为 G,连接 SG, 由(Ⅰ)可得 AC⊥SE, ∴AC⊥平面 SEG, ∴SG⊥AC, ∴∠SGE 是二面角 A﹣AC﹣B 的平面角. 在 Rt△ SEG 中,SE=1,EG= ∴SG= , , . ,

∴cos∠SGE=

∴二面角 A﹣AC﹣B 的余弦值为

点评: 本题在四棱锥中证明面面垂直,并求二面角 A﹣AC﹣B 的余弦值.着重考查了平 面与平面垂直的判定定理和二面角的平面角等知识,属于中档题. 20. (14 分)已知抛物线 C:y=x ,过点 M(1,1)作两条相互垂直的直线,与抛物线的另 两个交点分别为 A,B (Ⅰ)求抛物线 C 的准线方程; (Ⅱ)直线 AB 是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)直接利用抛物线 C 的准线方程求解抛物线的准线方程即可; (Ⅱ)直线 AB 是过定点,设出 AB 坐标,求出 AB 的方程,利用直线垂直,推出关系式, 得到 AB 的直线系方程,即可求出该定点的坐标; 解答: 解: (Ⅰ)由题意抛物线 C:y=x ,可知,抛物线的准线方程为:y=﹣ . (Ⅱ)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 KMA= ,KMB= ,KAB= ,
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∴直线 AB 的方程为:y﹣x1 =(x2+x1) (x﹣x1) , 即 y=(x2+x1)x﹣x1x2,…①. 又因为 MA⊥MB,则 KAM?KMB=(x1+1) (x2+1)=﹣1, 即﹣x1x2=2+(x2+x1) ,代入①可得,y﹣2=(x2+x1) (x+1) , 于是直线 AB 过定点 R(﹣1,2) . 点评: 本题考查抛物线方程的应用,直线与 抛物线的位置关系的综合应用,直线系方程 的应用,考查分析问题解决问题的能力.

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