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2014~2015学年度 (人教A版)高考数学复习课件 5.5《数列的综合应用》

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第五章 数列 第 5讲 数列的综合应用 第五章 数列 考点一 考点二 考点三 等差数列与等比数列的综合问题 数列的实际应用问题 数列与不等式的综合问题(高频考点) 第五章 数列 考点一 等差数列与等比数列的综合问题 (2014· 高考北京卷)已知{an}是等差数列,满足 a1 =3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为 等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. [解] (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 a4-a1 12-3 d= = =3, 3 3 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…). 第五章 数列 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 b4-a4 20-12 3 q= = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3 所以 bn-an=(b1-a1)qn 1=2n 1. - 从而 bn=3n+2n 1(n=1,2,…). - (2)由(1)知 bn=3n+2n 1(n=1,2,…). 3 - 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1),数列{2n 1}的前 n 项和为 2 1-2n =2n-1. 1-2 3 所以,数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2n-1. 2 - - 第五章 数列 [规律方法] 解决等差数列与等比数列的综合问题, 关键是 理清两个数列的关系. 如果同一数列中部分项成等差数列, 部分项成等比数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出 来单独研究;如果两个数列通过运算综合在一起,要从分 析运算入手, 把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征, 再进行求解. 第五章 数列 1.(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)已知等差数列 {an}的 公差不为零,a1=25 ,且 a1,a11,a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2. 解:(1)设{an}的公差为 d,由题意得 a2 11=a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. 第五章 数列 (2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31, 故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列. n n 从而 Sn= (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n2+28n. 2 2 第五章 数列 考点二 数列的实际应用问题 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少.从第 2 年到第 6 年, 每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始, 每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,求 Sn(n≥7). 第五章 数列 [解] (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列,an=120-10(n-1)=130-10n; 3 当 n≥6 时,数列{an}是以 a6 为首项, 为公比的等比数列. 4 n-6 3 ? . 又 a6=70,所以 an=70×? ?4? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 130-10n,n≤6, ? ? n-6 an=? 3 ? ? ,n≥7.

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