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湖南省2015年普通高等学校对口招生考试数学试卷

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湖南省 2015 年普通高等学校对口招生考试 数学(对口)试题 一、选择题(本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分。每小题只有一项是符合题目要求 的) 1. 已知集合 A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5}, 则 A∩B= A. {1, 2} B. {3, 4} C. {5} D. {1, 2, 3, 4, 5} 2 2. “x=2”是“x =4”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 1 3. 函数 f(x)=log2 的定义域为 1-3x 1 A. {x|x≠ } 3 B. {x|x>0} 1 1 C. {x|0<x< } D. {x|x< } 3 3 1 5 4.点 P(2, 1)到直线 3x+4y-5=0 的距离为 A. 5 B. 6 5 C. 1 D. 1 ? 5. 已知 sin?= , ?∈( , ?), 则 cos?= 3 2 A. 2 2 3 B.- 2 2 3 8 C. - 9 2 D. - 3 5 6. 已知(ax+1)6 的二项展开式中含 x3 项的系数为 , 则 a= 2 A. 1 8 B. 1 4 C. 1 2 D. 2 D. y=x2+1 D. {x|-1<x<2} 7. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的是 A. y=x3 B. y=2x+1 C. y=sinx 8. 不等式|1-2x|<3 的解集为 A. {x|x<2} B. {x|x>-1} C. {x|-2<x<4} 9. 已知向量 a =(1, A. a ∥ b → → → 3), b =(2 3, -2), 则 B. a ⊥ b → → → C. | b |=4| a | → → D. | a |+| b |=20 → → 10.若过点(0, 2)的直线 l 与圆(x-2)2+(y-2)2=1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 A. [- , ] 6 6 ? ? B. [0, 5? ] 6 C. [0, ? 6 5? ]∪[ , ?) 6 ? 5? D. [ , ] 6 6 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 甲、乙两人独立地解答一个问题,若他们解答正确的概率分别为 0.8 和 0.6,则两人都解 答正确的概率为 . 12. 某公司现有员工 500 人,为了调查员工的健康状况,拟采用分层抽样的方法从中抽取一 个样本容量为 100 的样本, 若将所有员工分成 A, B, C 三个年龄组, 各组人数依次为 125, 280, 95, 则在 B 组中抽取的人数应为 . 13. 若函数 f(x)=x2+(3a-1)x+4 在[5, +∞)是单调递增, 则 a 的取值范围是 → 1→ 14. 已知点 M(-3, 2), N(5, -4), 且MP= MN, 则点 P 的坐标为 2 . . 15. 已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3×2n+k, 则 k= . 三、解答题(本大题共 7 小题,其中第 21,22 小题为选做题. 满分 60 分,解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=ax (a>0, a≠1)的图像过点 A(2, 4). (1) 求 f(x)的解析式; (2) 当 x∈[-1, 2]时,求 f(x)的取值范围. 17. (本小题满分 10 分)从装有 5 个红球和 3 个白球的箱子中,随机取出 2 个球,用? 表示取 出的 2 个球中白球的个数. (1) 求随机变量? 的分布列; (2) 求事件“取出的 2 个球中至少有一个白球”的概率. C1 D1 18. (本小题满分 10 分)如图 1, 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB= B1 A1 AD=4, AA1=3. (1) 证明: B1C∥平面 A1BD; D C (2) 求三棱锥 A1-BCD 的体积. 19. (本小题满分 10 分)已知等差数列{an}中, a6=2, a8=6. A B 图1 (1) 求{an}的通项公式; (2) 求{an}的前 n 项和 Sn 的最小值. 20. (本小题满分 10 分)已知抛物线 C:y2=2px 的焦点为 F(1, 0). (1) 求 C 的方程; (2) 设过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点, 试判断以 AB 为直径的圆 M 与 y 轴的位 置关系, 并说明理由. 注意:第 21 题,22 题为选做题,请考生根据专业要求选择其中一题作答. 21. (本小题满分 10 分)在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 b=3, c= 13, 且 sinB 3 = . sinA 4 (1) 求角 C 的大小; (2) 求△ABC 的面积. 22. (本小题满分 10 分)已知甲、 乙、 丙三种食品中维生素 A, B 的含量及食品价格如下表所示: 甲 维生素 A(单位/千克) 维生素 B(单位/千克) 单价(元/千克) 500 200 6 乙 200 500 7 丙 300 300 5 营养师拟购买这三种食品共 7 千克, 要求其中维生素 A 的总含量与维生素 B 的总含量均不少 于 2300 单位.问:这三种食品各购买多少千克, 才能使支付的总金额最少? 参考答案: 1. B 2. A 3. D 4. C 5. B 6. C 7. A 8. D 9. B 10. C 11. 0.48 12. 56 13. [-3,+∞) 14. (1, -1) 15. -3 16. 解:(1) 由题意知:a2=4,又 a>0, ∴ a=2, ∴ f(x)的解析式为:f(x)=2x. - (2) ∵ f(x)=2x 是(-∞, +∞)上的增函数, ∴ 当 x∈[-1, 2]时, 2 1≤f(x)≤22, 1 1 即: ≤f

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