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江苏专用2018版高考数学大一轮复习平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线教师用书理

时间:2017-10-13


第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第 1 课时 直线与 圆锥曲线教师用书 理 苏教版

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程:ax +bx+c =0(或 ay +by+c=0). (1)若 a≠0,可考虑一元二次方程的判别式 Δ ,有 ①Δ >0?直线与圆锥曲线相交; ②Δ =0?直线与圆锥曲线相切; ③Δ <0?直线与圆锥曲线相离. (2)若 a=0,b≠0,即得到一个一元一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 E 相交,且只有一个交 点. ①若 E 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行; ②若 E 为抛物线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A(x1, y1), B(x2, y2)两点, 则 AB= 1+k |x2 -x1| = 1 1+ 2|y2-y1|.
2 2 2

k

【知识拓展】 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切; 过椭圆内一点的直线与椭圆相交. (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条与对称轴 平行或重合的直线; 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点: 一条切线和一条与对称轴平行 或重合的直线; 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点: 一条与对称轴平行或重合的直

1

线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和 两条与渐近线平行的直线; 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点: 一条切线和两条与渐近线平行的 直线; 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)直线 l 与抛物线 y =2px 只有一个公共点,则 l 与抛物线相切.( ? ) (2)直线 y=kx(k≠0)与双曲线 x -y =1 一定相交.(
2 2 2

? ) )

(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.( √ (4)直线与椭圆只有一个交点?直线与椭圆相切.( √ (5)过点(2,4)的直线与椭圆 +y =1 只有一条切线.( 4
2 2

) ? )

x2

2

(6)满足“直线 y=ax+2 与双曲线 x -y =4 只有一个公共点”的 a 的值有 4 个.( √ )

1.在同一平面直角坐标系中,方程 a x +b y =1 与 ax+by =0(a>b>0)表示的曲线大致是 ________.(填序号)

2 2

2 2

2

答案 ④ 解析 将方程 a x +b y =1 变形为 + =1, 1 1
2 2 2 2

x2 y2 a2 b 2

1 1 ∵a>b>0,∴ 2< 2,

a b

∴椭圆焦点在 y 轴上. 将方程 ax+by =0 变形为 y =- x,
2 2

a b

2

∵a>b>0,∴- <0, ∴抛物线焦点在 x 轴负半轴上,开口向左. 故④符合题意. 2.(2016?常州模拟)直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为________. 9 4 答案 相交 解析 直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒过定点(1,1), 又点(1,1)在椭圆内部, 故直线与椭 圆相交. 3.若直线 y=kx 与双曲线 - =1 相交,则 k 的取值范围是__________________. 9 4

a b

x2 y2

x2 y2

? 2 2? 答案 ?- , ? ? 3 3?
2 解析 双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x, 9 4 3

x2 y2

? 2 2? 若直线与双曲线相交,数形结合,得 k∈?- , ?. ? 3 3?
4.已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x =4y 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点, 则弦 AB=________. 答案 16 解析 直线 l 的方程为 y= 3x+1, 由?
2

?y= 3x+1, ?x2=4y,

得 y -14y+1=0.

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=14, ∴AB=y1+y2+p=14+2=16. 5.(教材改编)已知与向量 v=(1,0)平行的直线 l 与双曲线 -y =1 相交于 A,B 两点,则 4

x2

2

AB 的最小值为______.
答案 4 解析 由题意可设直线 l 的方程为 y=m, 代入 -y =1,得 x =4(1+m ), 4 所以 x1= 4?1+m ?=2 1+m ,
2 2

x2

2

2

2

x2=-2 1+m2,
所以 AB=|x1-x2|=4 1+m ,
3
2

所以 AB=4 1+m ≥4, 即当 m=0 时,AB 有最小值 4.

2

第 1 课时 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线

例 1 (2016?无锡模拟)已知直线 l:y=2x+m,椭圆 C: + =1.试问当 m 取何值时,直 4 2 线 l 与椭圆 C: (1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点. 解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立,

x2 y2

y=2x+m, ? ? 2 2 得方程组?x y + =1, ? ?4 2
将①代入②,整理得 9x +8mx+2m -4=0.③
2 2

① ②

方程③根的判别式 Δ =(8m) -4?9?(2m -4)=-8m +144. (1)当 Δ >0,即-3 2<m<3 2时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的 实数解.这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点. (2)当 Δ =0,即 m=±3 2时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实 数解. 这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点, 即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共 点. (3)当 Δ <0,即 m<-3 2或 m>3 2时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时 直线 l 与椭圆 C 没有公共点. 思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标, 也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定, 需注意利用判别式的前提是二次项系数 不为 0. (2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一元方程,此时注意 观察方程的二次项系数是否为 0,若为 0,则方程为一次方程;若不为 0,则将方程解的个 数转化为判别式与 0 的大小关系求解.
4

2

2

2

(2016?全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M, 交抛物线 C:y =2px(p>0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求 ; (2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由.
2

OH ON

?t ? 解 (1)由已知得 M(0,t),P? ,t?, 2 p ? ?
p ?t ? 2 2 又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N? ,t?,ON 的方程为 y= x,代入 y =2px 整理,得 px t ?p ?
-2t x=0,解得 x1=0,x2=
2 2

2

2t

2

p

,因此 H?

?2t ,2t?. ? ?p ?

2

所以 N 为 OH 的中点,即 =2. (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点,理由如下:

OH ON

p 2t 直线 MH 的方程为 y-t= x,即 x= (y-t). 2t p
代入 y =2px,得 y -4ty+4t =0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所 以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点. 题型二 弦长问题 例 2 (2016?全国甲卷)已知 A 是椭圆 E: + =1 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 4 3 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (1)当 AM=AN 时,求△AMN 的面积. (2)当 2AM=AN 时,证明: 3<k<2. (1)解 设 M(x1,y1),则由题意知 y1>0,由 AM=AN 及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 π . 4 又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2. 将 x=y-2 代入 + =1,得 7y -12y=0, 4 3 12 12 解得 y=0 或 y= ,所以 y1= . 7 7 1 12 12 144 因此△AMN 的面积 S△AMN=2? ? ? = . 2 7 7 49 (2)证明 设直线 AM 的方程为 y=k(x+2)(k>0), 代入 + =1,得(3+4k )x +16k x+16k -12=0, 4 3
2 2 2

x2 y2

x2 y2

2

x2 y2

2

2

2

2

5

16k -12 2?3-4k ? 由 x1?(-2)= , 2 ,得 x1= 2 3+4k 3+4k 12 1+k 2 故 AM=|x1+2| 1+k = 2 . 3+4k 1 由题设,直线 AN 的方程为 y=- (x+2),
2

2

2

k

12k 1+k 故同理可得 AN= . 2 3k +4 由 2AM=AN,得
3 2

2

2 k , 2= 2 3+4k 3k +4

即 4k -6k +3k-8=0, 设 f(t)=4t -6t +3t-8,则 k 是 f(t)的零点,f′(t)=12t -12t+3=3(2t-1) ≥0,所 以 f(t)在(0,+∞)上单调递增,又 f( 3)=15 3-26<0,f(2)=6>0,因此 f(t)在(0,+ ∞)上有唯一的零点,且零点 k 在( 3,2)内,所以 3<k<2. 思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中, 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系 时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆 锥曲线的定义求解. (2016?徐州模拟)设椭圆 C1: 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,且△PF1F2 的周长是 4+2 3. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左, 右顶点分别为 A, B, 过椭圆 C1 上的一点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E(点
3 2 2 2

x2 y2 a b

3 ,F1,F2 是椭圆 2

D 与点 A,B 不重合),若 C 点满足AB⊥BC,AD∥OC,连结 AC 交 DE 于点 P,求证:PD=PE.
(1)解 由 e= 3 c 3 3 ,知 = ,所以 c= a, 2 a 2 2



→ →



因为△PF1F2 的周长是 4+2 3,所以 2a+2c=4+2 3, 所以 a=2,c= 3,所以 b =a -c =1, 所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. 4 (2)证明 由(1)得 A(-2,0),B(2,0),设 D(x0,y0), 所以 E(x0,0), → → 因为AB⊥BC,所以可设 C(2,y1), → → 所以AD=(x0+2,y0),OC=(2,y1),
2 2 2

x2

2

6

2y0 → → 由AD∥OC可得(x0+2)y1=2y0,即 y1= . x0+2 所以直线 AC 的方程为

y

2y0 x0+2



x+2
4



整理得 y=

y0 (x+2). 2?x0+2? y0 y0

又点 P 在 DE 上,将 x=x0 代入直线 AC 的方程可得 y= ,即点 P 的坐标为(x0, ),所以 P 2 2 为 DE 的中点, 所以 PD=PE. 题型三 中点弦问题 命题点 1 利用中点弦确定直线或曲线方程 例 3 (1)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两 点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为______________. (2) 已 知 (4,2) 是 直 线 l 被 椭 圆 ________________. 答案 (1) + =1 18 9

x2 y2 a b

x2
36



y2
9

=1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是

x2

y2

(2)x+2y-8=0

1 解析 (1)因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1,-1),所以直线 AB 的方程为 y= (x-3),代入 2

a2 2? 2 3 2 9 2 2 2 x2 y2 ? 椭圆方程 2+ 2=1 消去 y,得? +b ?x - a x+ a -a b =0,所以 AB 的中点的横坐标为 a b 2 4 ?4 ?
3 2 a 2
2

2? ?a 2? +b ? ?4 ?

=1,即 a =2b ,又 a =b +c ,所以 b=c=3,a=3 2.

2

2

2

2

2

所以 E 的方程为 + =1. 18 9 (2)设直线 l 与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 + =1,且 + =1, 36 9 36 9 两式相减得

x2

y2

x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

y1-y2 x1+x2 =- . x1-x2 4?y1+y2?

又 x1+x2=8,y1+y2=4, 所以

y1-y2 1 =- , x1-x2 2
7

1 故直线 l 的方程为 y-2=- (x-4), 2 即 x+2y-8=0. 命题点 2 由中点弦解决对称问题

x 1 2 例 4 (2015?浙江)已知椭圆 +y =1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2

2

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 (1)由题意知 m≠0,可设直线 AB 的方程为

? ? 2 +y =1, 1 y=- x+b.由? m 1 ? ?y=-mx+b,
2

x2

?1 1 ? 2 2b 2 消去 y,得? + 2?x - x+b -1=0. m ?2 m ?
1 x 4 2 2 因为直线 y=- x+b 与椭圆 +y =1 有两个不同的交点,所以 Δ =-2b +2+ 2>0,① m 2 m 将 AB 中点 M?
2

mb mb 1 m +2 ?2 , 2 ? 代入直线方程 y=mx+ ,解得 b=- 2 .② 2 ? 2 2m ?m +2 m +2?
6 6 或 m> . 3 3

2

2

由①②得 m<-

1 ? 6 ? ? 6? (2)令 t= ∈?- ,0?∪?0, ?,则 m ? 2 2? ? ? 3 4 2 -2t +2t + 2 , 1 2 t+ 2

AB= t2+1?

t2+
且 O 到直线 AB 的距离为 d= 设△AOB 的面积为 S(t), 1 1 所以 S(t)= ?AB?d= 2 2

1 2

t2+1

.

2 ? 2 1?2 -2?t - ? +2≤ , 2? 2 ?

8

1 2 当且仅当 t = 时,等号成立. 2 故△AOB 面积的最大值为 2 . 2

思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有 x1+

y1-y2 x2,y1+y2, 三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求 x1-x2
得斜率. (2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由 根与系数的关系求解. (3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外, 还要注意: 如果点 A, B 关于直线 l 对称, 则 l 垂直直线 AB 且 A,B 的中点在直线 l 上的应用. 设抛物线过定点 A(-1,0),且以直线 x=1 为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; 1 (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M,N,且线段 MN 恰被直线 x=- 平分,设弦 MN 的垂 2 直平分线的方程为 y=kx+m,试求 m 的取值范围. 解 (1)设抛物线顶点为 P(x,y),则焦点 F(2x-1,y). 再根据抛物线的定义得 AF=2,即(2x) +y =4, 所以轨迹 C 的方程为 x + =1. 4
2 2 2

y2

? 1 ? (2)设弦 MN 的中点为 P?- ,y0?,M(xM,yM),N(xN,yN),则由点 M,N 为椭圆 C 上的点, ? 2 ?
? ?4xM+yM=4, 可知? 2 2 ?4xN+yN=4. ?
2 2

两式相减,得 4(xM-xN)(xM+xN)+(yM-yN)(yM+yN)=0,

? 1? 将 xM+xN=2??- ?=-1,yM+yN=2y0, ? 2?
yM-yN 1 y0 =- 代入上式,得 k=- . xM-xN k 2

9

? 1 ? 又点 P?- ,y0?在弦 MN 的垂直平分线上, ? 2 ?
1 所以 y0=- k+m. 2 1 3 所以 m=y0+ k= y0. 2 4 1 由点 P(- ,y0)在线段 BB′上 2 1 (B′,B 为直线 x=- 与椭圆的交点,如图所示), 2 所以 yB′<y0<yB,也即- 3<y0< 3. 3 3 3 3 所以- <m< ,且 m≠0. 4 4 3 3 3 3 即 m 的取值范围为(- ,0)∪(0, ). 4 4

1.(2016?南京模拟)已知椭圆 + =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若 PF1 9 2 =4,则 PF2=______,∠F1PF2 的大小为________. 答案 2 120°

x2 y2

解析 由题意得 PF1+PF2=2a=6,所以 PF2=2. 又 F1F2=2c=2 7,在△PF1F2 中,由余弦定理可得 4+16-28 1 cos∠F1PF2= =- ,即∠F1PF2=120°. 2?2?4 2 2.直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y =x 交于 A,B 两点,若 AB=4,则弦 AB 的中点到直线 x 1 + =0 的距离等于________. 2 答案 9 4
2

10

1 2 解析 易知直线 4kx-4y-k=0 过抛物线 y =x 的焦点( ,0),∴AB 为焦点弦. 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB 中点 N(

x1+x2 y1+y2
2 , 2 2

), = . 4

∴AB=x1+x2+p=4.∴

x1+x2 7

1 7 1 9 ∴AB 中点到直线 x+ =0 的距离为 + = . 2 4 2 4 3.(2016?连云港一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y =1 相交于 A,B 两点,则 AB 的最大 4 值为________. 答案 4 10 5

x2

2

解析 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 直线 l 的方程为 y=x+t,
? ?x +4y =4, 由? ?y=x+t ?
2 2

消去 y,得 5x +8tx+4(t -1)=0,
2

2

2

8 4?t -1? 则 x1+x2=- t,x1x2= . 5 5 ∴AB= 1+k |x1-x2| = 1+k ? ?x1+x2? -4x1x2 = 2? 8 2 4?t -1? ?- t? -4? 5 5
2 2 2 2

4 2 2 = ? 5-t , 5 4 10 当 t=0 时,(AB)max= . 5

b x2 y2 4.(2017?无锡月考)直线 y= x+3 与双曲线 2- 2=1 的交点个数是________. a a b
答案 1 解析 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y= x 平行,所以它与双曲线只有 1 个交点. 5.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点,则双曲 线的离心率为______. 答案 5
11

b a

b a

x2 y2 a b

2

解析 双曲线 2- 2=1 的一条渐近线为 y= x,

x2 y2 a b

b a

b ? ?y= x, 由方程组? a ? ?y=x2+1
2

消去 y,

得 x - x+1=0 有唯一解, 所以 Δ =( ) -4=0, =2,

b a

b a

2

b a

c a2+b2 e= = = a a

1+? ? =
2

b a

2

5.

6.已知 F 为抛物线 y =8x 的焦点,过点 F 且斜率为 1 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,则 |FA-FB|的值为________. 答案 8 2 解析 依题意知 F(2,0),所以直线 l 的方程为 y=x-2, 联立方程,得?
2

?y=x-2, ? ? ?y =8x,
2

消去 y,得 x -12x+4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x2=4,x1+x2=12, 则|FA-FB|=|(x1+2)-(x2+2)| =|x1-x2|= ?x1+x2? -4x1x2 = 144-16=8 2. 7.在抛物线 y=x 上关于直线 y=x+3 对称的两点 M,N 的坐标分别为________. 答案 (-2,4),(1,1) 解析 设直线 MN 的方程为 y=-x+b, 代入 y=x 中,整理得 x +x-b=0, 1 令 Δ =1+4b>0,∴b>- . 4 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=-1,
2 2 2 2

y1+y2
2

=-

x1+x2
2

1 +b= +b, 2

1 1 由(- , +b)在直线 y=x+3 上, 2 2 1 1 即 +b=- +3,解得 b=2, 2 2
12

联立?

?y=-x+2, ? ?y=x , ?
2 2

解得?

?x1=-2, ? ?y1=4, ?

?x2=1, ? ? ?y2=1. ?

8.已知抛物线 y =4x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2,则 AB 的最大值为________. 答案 6 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4, 那么 AF+BF=x1+x2+2, 又 AF+BF≥AB? AB≤6,当 AB 过焦点 F 时取得最大值 6. 9.过椭圆 + =1 内一点 P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是____________. 16 4 答案 3x+4y-13=0 解析 设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由于 A,B 两点均在椭圆上, 故 + =1, + =1, 16 4 16 4 两式相减得 ?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? + =0. 16 4 又∵P 是 A,B 的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=2, ∴kAB=

x2

y2

x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

y1-y2 3 =- . x1-x2 4

3 ∴直线 AB 的方程为 y-1=- (x-3). 4 即 3x+4y-13=0. 10.已知双曲线 C:x - =1,直线 y=-2x+m 与双曲线 C 的右支交于 A,B 两点(A 在 B 3 的上方),且与 y 轴交于点 M,则 的取值范围为________. 答案 (1,7+4 3)
? ?y=-2x+m, 解析 由? 2 2 ?3x -y -3=0 ?
2

y2

MB MA

可得 x -4mx+m +3=0,

2

2

由题意得方程在[1,+∞)上有两个不相等的实根, 2m>1, ? ? 2 2 设 f(x)=x -4mx+m +3,则?f?1?≥0, ? ?Δ >0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2), 得 x1=2m- 3?m -1?,x2=2m+ 3?m -1?,
13
2 2

得 m>1,

MB x2 2m+ 3?m -1? 所以 = = MA x1 2m- 3?m2-1?
=-1+ 2- 4 3?1- 2? 1 ,

2

m

由 m>1 得, 的取值范围为(1,7+4 3). 11.如图,定直线 l 的方程为 x=-4,定点 F 的坐标为(-1,0),P(x,y)为平面上一动点, 作 PQ⊥l 于 Q,若 PQ=2PF.

MB MA

(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; → → → (2)过定点 F 作直线交曲线 E 于 A、B 两点,若曲线 E 的中心为 O,且AO+3OF=2OB,求三角 形 OAB 的面积. 解 (1)由|x+4|=2 ?x+1? +y , 化简得轨迹 E 的方程为 + =1. 4 3 (2)设直线 AB 的方程为 ky=x+1,与椭圆方程联立消去 x 得(3k +4)y -6ky-9=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2). → → → ∵AO+3OF=2OB,O(0,0),F(-1,0),∴y1=-2y2. 12k - 6k ∴y1= 2 ,y2= 2 , 3k +4 3k +4 ∴ -72k -9 4 2 ,∴k = . 2 2= 2 ?3k +4? 3k +4 5
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

18|k| k +1 ∴AB= 1+k |y1-y2|= , 2 3k +4 又点 O 到直线 AB 的距离 d= 9|k| 9 5 ∴S△OAB= 2 = . 3k +4 16 12. (2016?泰州模拟)设点 F1(-c,0), F2(c,0)分别是椭圆 C: 2+y =1(a>1)的左, 右焦点, 1

k2+1



x2 a

2

P 为椭圆 C 上任意一点,且PF1?PF2的最小值为 0.





14

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,作 F1M⊥l,F2N⊥l 分别交直 线 l 于 M,N 两点,求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值. → → 解 (1)设 P(x,y),则PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y),

a -1 2 → → 2 2 2 2 ∴PF1?PF2=x +y -c = 2 x +1-c ,x∈[-a,a], a
由题意,得 1-c =0,c=1,则 a =2, ∴椭圆 C 的方程为 +y =1. 2 (2)将直线 l 的方程 l:y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 +y =1 中,得(2k +1)x +4kmx+2m 2 -2=0, 则 Δ =16k m -4(2k +1)(2m -2)=0, 化简得 m =2k +1. |-k+m| |k+m| 设 d1=F1M= ,d2=F2N= 2 . 2 k +1 k +1 ①当 k≠0 时,设直线 l 的倾斜角为 θ , 则|d1-d2|=MN?|tan θ |, ∴MN= 1 ?|d1-d2|, |k| 4 1 |m|+ |m| ,
2 2 2 2 2 2 2 2

2

x2

2

x2

2

2

2

2

1 1 2|m| 4|m| ∴S= ? ?|d1-d2|?(d1+d2)= 2 = 2 = 2 |k| k +1 m +1

∵m =2k +1,∴当 k≠0 时,|m|>1,|m|+

2

2

1 >2,即 S<2. |m|

②当 k=0 时,四边形 F1MNF2 是矩形,此时 S=2. ∴四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2. 13. (2015?江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 为 2 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2

x2 y2 a b

15

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C, 若 PC=2AB,求直线 AB 的方程. 解 (1)由题意,得 =

c a

2 a 且 c+ =3, 2 c

2

解得 a= 2,c=1,则 b=1, 所以椭圆的标准方程为 +y =1. 2 (2)当 AB⊥x 轴时,AB= 2,又 CP=3,不合题意. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将 AB 的方程代入椭圆方程, 得(1+2k )x -4k x+2(k -1)=0, 2k ± 2?1+k ? 则 x1,2= , 2 1+2k 故 C 的坐标为?
2 2 2 2 2 2

x2

2

? 2k 2, -k 2?, ? ?1+2k 1+2k ?
2 2

2

且 AB= ?x2-x1? +?y2-y1?

2 2?1+k ? 2 2 = ?1+k ??x2-x1? = . 2 1+2k 若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k≠0,故直线 PC 的方程为

2

y+

2k ? 1? =- ?x- 2?, 1+2k k? 1+2k ?

k

2

2

则 P 点的坐标为?-2,
2

? ?

5k +2 ? , k?1+2k2?? ?
2

2

2?3k +1? 1+k 从而 PC= . 2 |k|?1+2k ? 2?3k +1? 1+k 4 2?1+k ? 因为 PC=2AB,所以 = , 2 2 |k|?1+2k ? 1+2k 解得 k=±1. 此时直线 AB 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1.
2 2 2

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