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河南省郑州市重点中学2014届高三数学11月模拟试题试题 文 新人教A版

时间:2013-12-26


郑州市重点中学高三月考试题 (文科试题)
总分:150 分 时间:120 分钟 第Ⅰ卷 命题人:

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 M ? x x2 ? 5x ? 0 , N ? x p ? x ? 6

?

?

?

?
8

,且 M ? N ? x 2 ? x ? q ,则

?

?

p?q ?
(A)

6

(B) 7

(C)

(D) 9

2.已知复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A(l,2) ,B(-1,3) ,则 A.1+i 3.设 ? ? R,则“? ? B.i C.1-i

z2 ? z1

D.一 i

?
2

”是f ( x) ? sin( x ? ? ) 为偶函数”的
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4.函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1 ? 的图象是 ? ? x? ?

A.

B.

C.

D.

5.已知向量a ? (sin ? ,cos ? ),向量b ? (cos ? ,sin ? ), 则a? ? b A. sin 2? B. ? sin 2? C.

cos 2?

D. 1

6.如果等差数列 ?a n ?中, a5 ? a6 ? a7 ? 15 ,那么 a3 ? a4 ? ... ? a9 等于 A.21 B.30 C.35
x

D.40

7.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? 3 ? m (m 为常数) ,则 f( ? 1og35) 的值为 A.4 B. ? 4 C.6 D. ? 6
1

8.右图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R) 在区间 [? ? , 5? ] 上的图象. 为了得到这个函数 6 6 的图象,只需将 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点

A.向左平移

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 3 2 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6

B.向左平移

C.向左平移

D.向左平移

9.已知偶函数 f (x) 在 R 上的任一取值都有导数, f '(1) ? 1 , f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 则曲线 且

y ? f (x) 在 x ? ?5 处的切线的斜率为
A.2 B.-2 C.1 D.-1

10.已知 ? ? ? ? , ? ?, cos? ? ?

? ?

3 ? 2 ?

4 ? , 则 tan( ? ? ) 等于 5 4
C. ?

A.7

B.

1 7

1 7

D. ? 7

11. 若 O 为 ?ABC 所 在 平 面 内 一 点 , 且 满 足 (OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA ) ? 0 , 则

?ABC 的形状为
A.正三角形 12.函数 y ? B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形

x ? sin x 的图象大致是 3

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若点 A ?1,1? 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上,其中 mn ? 0, 则

1 1 ? 的最小值为 m n

.

2

? ?lgx,x>0, 14. 设 f(x)=? x ?10 ,x≤0, ?

则 f(f(-2))=________.

15.设直线 nx ? ( n ? 1) y ? +S2012 的值为

2(n ? N *)与两坐标轴围成的三角形的面积为 Sn,则 S1+S2+?
.

16.在区间[0,1]上随机取两个数m,n,则关于函数f(x)=

4 3 mx -nx+1在[1,+∞)上 3

为增函数的概率为 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)已知 ?ABC 的角 A、B、C,所对的边分别是 a、b、c,且 C ? 设向量 m ? (a, b), n ? (sin B,sin A), p=(b-2,a-2) (1)若 m / /n ,求 B; (2)若 m ? p,S?ABC ? 3 ,求边长 c。

?
3



?? ?

?

?

.

?? ?

?

?? ?

?

18.(本小题满分 12 分)首届世界低碳经济大会 2012 年 11 月 17 日在中国召开,本届大会 以“节能减排,绿色生态”为主题。某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用 了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示 为: y ? 元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损?

1 2 x ? 200 x ? 80000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 2

3

19 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, 且 (

1 a cos C ? c ? b . 2
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围.

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2 - (1)若 f(x)=2,求 x 的值;

x

1 |x|. 2

(2)若 2 f(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

t

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax ? b , (其中 a≠0)若 f(3)=5,且 f (1), f (2), f (5) 成等比数列。 (1)求 f (n) ; (2)令 bn ? f (n ) ? 2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn
n

22.(本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? x1nx ? ax ? x?a ? R ? 。
2

(1)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)若函数 f (x) 的图象在直线 y ? ? x 图象的下方,求 a 的取值范围; (3)求证: 2013
2012

? 20122013 .

4

试题参考答案及评分标准 一 选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 B 5 A 6 C 7 B 8 A 9 D 10 B 11 C 12 C

二.填空题:

13

2

.

14 -2



15

2012 2013

.

16

7 8

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分)已知 ?ABC 的角 A、B、C,所对的边分别是 a、b、c,且

C?

?
3

,设 向量 m ? (a, b), n ? (sin B,sin A), p=(b-2,a-2) (1)若 m / /n ,求 B; (2)若 m ? p,S?ABC ? 3 ,求边长 c。 17.证明: (1)? m // n,? a sin A ? b sin B ????2 分 由 正 弦 定 理 得 a ? b 即a ? b ? ? ? 4 分
2 2

?? ?

?

?

.

?? ?

?

?? ?

?



?c ?

?
3
? ?ABC为等边三角形 B?

?
3

???4 分

5

由 题 意 可 知 m. p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 ①????7 分 由 正 弦 定 理 和 ① ② 得

? a ? b ? ab ? ? ?

,

1 3 ? . sin c.ab 2

?C ?

?
3

,? sin C ?

3 2

?ab ? 4 ???②????9 分
? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab ? 16 ? 12 ? 4 ?c ? 2
?????10 分

18.(本小题满分 12 分)首届世界低碳经济大会 2012 年 11 月 17 日在中国召开,本 届大会以“节能减 绿色生态”为主题。某单位在国家科研部门的支持下,进行技术 种可利用的化工产品.已知该单位每月的处 理量 x (吨)之间的函 用

攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一

理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y (元)与月处 数关系可近似的表示为:y ? 的化工产品价值为 100 元.

1 2 且每处理一吨二氧化碳得到可利 x ? 200 x ? 80000 , 2

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补 贴多少元才能使该单 位不亏损?

解: (1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:

1 80000 y 1 80000 x? ? 200 ? 200 ,??????4 分 ? x? ? 200 ? 2 2 x x 2 x
当且仅当

1 80000 ,即 x ? 400 时等号成立, x? 2 x

??????5 分

故每月处理量为 400 吨时, 才能使每吨的平均处理成本最低, 最低成本为 200 元. ??? 6分 (2)设该单位每月获利为 S , 则

1 1 S ? 100 x ? y ? 100 x ? ( x 2 ? 200 x ? 80000) ? ? x 2 ? 300 x ? 80000 ? ? ? 2 2
?????9 分

1 ??????????????10 分 ? ? ( x ? 300)2 ? 35000 . 2 因为 400 ? x ? 600 ,所以当 x ? 400 时, S 有最大值 ?40000 .?????????
11 分 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000 元,才能不亏损?????????12 分
6

19 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, 且 (

1 a cos C ? c ? b . 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围.
解(Ⅰ)由 a cos C ?

1 1 c ? b 得 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2

????2 分

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

1 1 ????4 分 ? sin C ? ? cos A sin C ,? sin C ? 0,? cos A ? ? 2 2 2? 又? 0 ? A ? ? ? A ? ????6 分 3
(Ⅱ)由正弦定理得: b ?

a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin ? A ? B ? ? 3 3

? 1?
?A?

2 1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin( B ? ) ????9 分 2 3 3 2 3
2? ? ? ? 2? ,? B ? (0, ),? B ? ? ( , ) , ????10 分 3 3 3 3 3
故 ?ABC 的周长的取值范围为 (2,

? 3 ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 2


2 3 ? 1] . ????12 3

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2 - (1)若 f(x)=2,求 x 的值;

x

1 |x|. 2

(2)若 2 f(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 20.解(1)当 x<0 时,f(x)=0; 1 x 当 x≥0 时,f(x)=2 - x. 2 1 x 2x x 由条件可知 2 - x=2,即 2 -2·2 -1=0, 2 解得 2 =1± 2.
x

t

????4 分 ????6 分

∵2 >0,∴x=log2(1+ 2).

x

7

1 ? ? t 1? t? 2t (2)当 t∈[1,2]时,2 ?2 - 2t?+m?2 - t?≥0, 2 ? ? 2? ? 即 m(2 -1)≥-(2 -1). 2t 2t ∵2 -1>0,∴m≥-(2 +1). ∵t∈[1,2],∴-(1+2 )∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞) ????12 分
2t 2t 4t

????9 分

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax ? b , (其中 a≠0)若 f(3)=5,且 f (1), f (2), f (5) 成等比数列。 (1)求 f (n) ; (2)令 bn ? f (n ) ? 2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn
n

22.(本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? x1nx ? ax ? x?a ? R ? 。
2

(1)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)若函数 f (x) 的图象在直线 y ? ? x 图象的下方,求 a 的取值范围; (3)求证: 2013
2012

? 20122013 .

8

9


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