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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1课件:第3章 导数及其应用 3.2.2_图文

时间:2017-07-20

阶 段 一

阶 段 三

3.2.2

函数的和、 差、 积、 商的导数
学 业 分 层 测 评

阶 段 二

1.掌握导数的和、差、积、商的四则运算法则.(重点) 2.会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 函数和、差、积、商的求导法则 阅读教材 P82~P83 例 2 以上部分,完成下列问题. 公式 语言叙述
[f(x)+g(x)]′=

f′(x)+g′(x)
[f(x)-g(x)]′=

两个函数和的导数等于这两个函数导数的 和 两个函数差的导数等于这两个函数导数的 差

f′(x)-g′(x)

[C(f(x)]′= Cf′(x) (C 为常数) [f(x)· g(x)]′=

常数与函数的积的导数等于常数与函数的导 数的 积 两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘

f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
? f ? x? ? ? ? ?g?x??′= ? ?

上第二个函数, 加上 第一个函数乘上第二个 函数的导数

两个函数商的导数等于分母上的函数乘上分 子的导数, 减去 分子乘以分母的导数所得

f′?x?g?x?-f?x?g′?x? g2?x?

的差除以分母的平方

(g(x)≠0)

1.判断正误: (1)若 f(x)=a2+2ax+x2,则 f′(a)=2a+2x.( ) )

(2)运用法则求导时,不用考虑 f′(x),g′(x)是否存在.( (3)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g′(x).( )

【解析】 (1)×.∵f′(x)=2a+2x,∴f′(a)=2a+2a=4a. (2)×.运用法则求导时,要首先保证 f′(x)、g′(x)存在. (3)×.[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
【答案】 (1)× (2)× (3)×

x 2.若 f(x)= ,则 f′(x)=________. x-2
【解析】 x-2-x 2 f′(x)= 2 =- 2. ?x-2? ?x-2?

【答案】

2 - ?x-2?2

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 2:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________ 疑问 3:________________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________________

[小组合作型]

导数运算法则的应用
求下列函数的导数: (1)y=x4-3x2-5x+6; (2)y=x· tan x; (3)y=(x+1)(x+2)(x+3); x+1 (4)y= . x-1 【导学号:24830075】

【精彩点拨】

仔细观察和分析各函数的结构规律,紧扣导数公式,不具备

求导条件的可进行适当的恒等变形,再结合基本初等函数的导数公式,小心计算. 【自主解答】 (1) y′=(x4-3x2-5x+6)′=(x4)′-(3x2)′-(5x)′+6′= 4x3-6x-5.

(2)

y′=(x· tan

?xsin x? x)′=? cos x ?′ ? ?

?xsin x?′cos x-xsin x?cos x?′ = cos2 x ?sin x+xcos x?cos x+xsin2x sin xcos x+x = = . cos2x cos2x

(3)∵(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′=(x3+6x2+11x+6)′=3x2+12x+11.
?x+1? ?x+1?′?x-1?-?x+1??x-1?′ ? ? (4)y′=? 2 ?′= x - 1 ? x - 1 ? ? ?

x-1-?x+1? 2 = =- 2 2. ?x-1? ?x-1?

深刻理解和掌握导数的四则运算法则是解决求函数的和、差、积、商的导数 问题的前提.在具体求导时,可结合给定函数本身的特点,先分清函数结构,再将 各部分的导数求出,具体的求解策略主要有以下几种. (1)直接求导:利用导数运算法则直接求导数,此法适用于一些比较简单的函 数的求导问题. (2)先化简后求导:在求导中,有些函数形式上很复杂,可以先进行化简再求 导,以减少运算量. (3)先分离常数后求导:对于分式形式的函数,往往可利用分离常数的方法使 分式的分子不含变量,从而达到简化求导过程的目的.

[再练一题] 1.求下列函数的导数:
x ln x + 2 1 (1)y=2x3-x+x ;(2)y=2xtan x; (3)f(x)= x2 .

【解】 (2)

(1)y′=(2x
x

3

?1? 1 2 ? ? )′-x′+ x ′=6x -1-x2. ? ?
x x x x

y′=(2 tan x)′=(2 )′tan x+2 (tan x)′=2 ln 2tan x+2

? sin x ? ? ?′ ?cos x?

2 2 cos x + sin x x x x x x 2 x = 2 ln 2tan x + 2 = 2 ln 2tan x + 2 + 2 tan x = 2 (1 + ln 2tan x + 2 cos x

tan2x).

1 2 x -ln x· 2x 2x?ln 2· ?ln x 2x? ?ln x? ?2x? x2-2x? x· (3)f′(x)=? x2 +x2?′=? x2 ?′+?x2?′= + x4 x4 ? ? ? ? ? ? ?1-2ln x?x+?ln 2· x2-2x?· 2x = x4 1-2ln x+?ln 2· x-2?2x = . x3

复杂曲线的切线问题

(1)(2016· 聊城高二检测)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 ________. x (2)(2016· 南京高二检测)曲线 y= 在点(1,1)处的切线方程为________. 2x-1
【精彩点拨】 利用导数的几何意义求出切线的斜率,再求出切点坐标,代

入直线的点斜式方程得切线方程.

【自主解答】 (1)∵y′=3ln x+4,∴k=3×ln 1+4=4,故切线方程为 y-1 =4(x-1),即 4x-y-3=0. 2x-1-2x 1 (2)由 y′= 2 =- 2,所以 k=-1,得切线方程为 y-1=-(x ?2x-1? ?2x-1? -1),即 x+y-2=0.

【答案】 (1)4x-y-3=0 (2)x+y-2=0

利用常见函数的导数与导数运算公式来简化曲线切线的求法. (1)在点 P(x0,y0)处的切线方程:y-y0=f′(x0)(x-x0); (2)过点 P(x1,y1)的切线方程:设切点坐标为(x0,y0),则切线方程为 y-y0= f′(x0)(x-x0),代入点 P(x1,y1)求出 x0,即可得出切线方程(求出的 x0 的个数就是 过这点的切线的条数).

[再练一题] 2.曲线 y=x3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为________. 【导学号:24830076】
【解析】 由导数的定义得 y′=3x2-2,∴k=1,∴切线方程为 y=x-1. 【答案】 y=x-1

[探究共研型]

导数的综合应用
探究 1 在曲线 y=f(x)上有一点(x0,f(x0)),那么曲线在这一点处切线的斜率 是什么?

【提示】

k=f′(x0).

探究 2 在探究 1 中,若还已知切线上另外一点(x1,f(x1)),那么该切线的斜率 还可以如何表示?和探究 1 中得到的结论有什么关系?
【提示】 f?x1?-f?x0? f?x1?-f?x0? k= ,f′(x0)= . x 1 -x 0 x1-x0

探究 3 若已知曲线 y=ax2 在点 P 处的切线方程为 y=2x-1, 能否求出切点 P 的坐标?能否求出曲线的方程?

【提示】 设切点 P 的坐标为(x0, y0 ) , 因为 y′=2ax, 所以切线的斜率为 2ax0 =2,又因为切点(x0,y0)在曲线 y=ax2 和切线 y=2x-1 上,所以有 y0=ax2 0,且 y0 =2x0-1,

?2ax0=2 ? 即?y0=2x0-1, ?y =ax2 ? 0 0 ?x0=1 ? 解之得?y0=1 ?a=1 ?

,所以切点 P 的坐标为(1,1),曲线的方程为 y=x2.

探究 4 通过以上讨论,你认为如何解决有关曲线切线的问题?

【提示】

解决曲线的切线问题应充分利用切点满足的三个关系式:一是切

线的斜率是函数在此切点处的导数;二是切点的坐标满足切线的方程;三是切点 的坐标满足切线的方程.可根据上述三个方面的条件建立相关的方程(组)求解未知 数.

b 设函数 f(x)=ax-x , 曲线 y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 7x-4y -12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三 角形的面积为定值,并求此定值.

【精彩点拨】

(1)利用已知切线的斜率、切点的坐标满足曲线的方程和切线

的方程构建方程组可求出 a,b 的值,可得函数 f(x)的解析式; (2)根据已知条件求出曲线 y=f(x)上任一点处的切线方程,得到所求面积的表 达式即知其为定值.

【自主解答】 1 ∴f(2)=2,①

7 1 (1)由 7x-4y-12=0,得 y=4x-3.当 x=2 时,y=2,

7 b 又∵f′(x)=a+x2,∴f′(2)=4.② b 1 ? ?2a-2=2, 由①②得? ?a+b=7, 4 4 ?
? ?a=1, 解得? ? ?b=3.

3 故 f(x)=x- x.

3 (2)证明:设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+x2知,曲线在点 P(x0,y0) 处的切线方程为 6 =-x , 0 从而得切线与直线 x=0
? 6? 的交点坐标为?0,-x ?. ? 0? ? 3? y-y0=?1+x2?(x-x0), 即 ? 0? ? 3? ? 3? y-?x0-x ?=?1+x2?(x-x0).令 ? ? 0? 0?

x=0, 得y

令 y=x,得 y=x=2x0,

从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0).所以点 P(x0,y0)处的切线与直 1 6 线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为:2|-x ||2x0|=6.故曲线 y=f(x)上任一点处的 0 切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6.

利用导数来处理与切线斜率有关的问题是一种非常有效的方法,它适用于任 何导数存在的函数,一般可以根据条件建立相关的方程(组)求解未知量.

[再练一题] 3.已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+cx 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处 有公共切线.求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线的方程.

【解】

由题意,得 f′(2)=g′(2),f(2)=g(2)=0.

∵f′(x)=6x2+a,g′(x)=2bx+c, ?16+2a=0, ? ∴?4b+2c=0, ?24+a=4b+c, ? ?a=-8, ? 解得?b=8, ?c=-16. ?

∴f(x)=2x3-8x,g(x)=8x2-16x,即 f′(x)=6x2-8,∴f′(2)=16,∴在点 P 处的公切线方程为 y=16(x-2).

[构建· 体系]

1.(2016· 潍坊高二检测)函数 y=x3cos x 的导数是______. 【解析】 y′=3x2cos x+x3(-sin x)=3x2cos x-x3sin x. 【答案】 3x2cos x-x3sin x

x 2.函数 y= 的导数为 ________. x+2
【解析】
? x ? x′?x+2?-x?x+2?′ x+2-x 2 ? ? ∵y′=?x+2?′= = 2 2= 2. ? x + 2 ? ? x + 2 ? ? x + 2 ? ? ?

【答案】

2 ?x+2?2

3.已知函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,则 a 的值为________. 【解析】 ∵f′(x)=2ax,∴f′(1)=2a=2,∴a=1. 【答案】 1

1 3 2 4.曲线 f(x)=3x -x +5 在 x=1 处的切线的倾斜角为________. 3π 【解析】 f′(x)=x -2x,k=f′(1)=-1,故切线的倾斜角为 4 .
2

3π 【答案】 4

5.求下列函数的导数: 1 cos x (1)y=x sin x;(2)y=ln x+x ;(3)y= ex ;
2

【解】 (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
? (2)y′=?ln ? ?1? 1? 1 1 ? ? ? x+x ′=(ln x)′+ x ′= - 2. x x ? ? ?

?cos x? ?cos (3)y′=? ex ?′= ? ?

x?′ex-cos x?ex?′ sin x+cos x =- . ex ?ex?2

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________


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