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椭圆、双曲线另一组离心率公式及其应用

时间:2015-05-09


援   籀: s x ] k @ v i p , 1 6 3   c o n r  

数学 教学通讯 ( 教师版 )  

试 题研究  知识延 伸 

目豳匿

 

仆   椭圆 、 双 曲线另一组离心率公式及其应用 
的 心 题  离 率 分 
心 问 剐 

方 志 平 

一 一 ~ 一  
嚣  
求 

广 东惠州一 中

5 1 6 0 0 7  

求椭圆、 双 曲线 离心 率 一般 涉 及 解析 
几何 、 平 面几 何 、 代数 等 多个 知 识 点 , 综 合  性 强方法 灵活 。解题 关键 是挖 掘题 中 的隐 
2c  
2o  

所以  

: _ 2 c 一 = = > !  

:  

所以 丽 2 a
2 c   2 a  

=   2 c  

:  

s i n a + s i n 8  s i n T   s i n a + s i n l f  

含条件 ,可先 找 出含a , b , c 的等式 关 系 , 再 
求 离心 率. 在 教学 过 程 中 , 笔 者发 现椭 圆 、   双 曲线另 一组离 心率 公式 给我们 解决 某一  类 离心率 问题会 带来 意想 不到 的 “ 神奇” 效  果 !现用 定理 的彤式 叙述并 证 明.  

定 理 2( 如 图 2 ) 设 双 曲 线 手 一 鲁 = l  
( a > O , 6 > 0 ) 的两 个 焦 点 为  ,  , P 是 双 曲线  上 异 于妻 实 {   轴 端 点 的任 意一 点 ,在 △啊  
中, 记  P F I F z = a , /P   = j B ,   是 双 曲 线 的离 心 率 , 则 有  P  = y , e   : = e  

定理3 ( 如 图3) 设 A, B是 椭 圆  +   1 ( n > 6 > 0 ) 的长轴两端点 , P 是 椭 圆上  异 于A。 B的任 意一 点 , /P A B = a, / _ P B A =  


e 是 椭 圆 的离 心率 ,  ̄ l J l t a n o t t a n l f = 1 - e 2 .  
证明 i  ̄P( x 0 , y o ) , X . A( _ 0 , 0 ) , B( a ,  

离心 率公式 

一  
j 

定理1   ( 如图1 ) 设椭圆等 + 导= 1  
a-   o一  

o ) , t a n a = k   =   所r X t a n l f = 一 且

, t a n ( 叮 r ] B )   .  
?且

,  

( a > b > O ) 的两 个焦 点 为  ,  , P 是椭 圆上 异  于 长轴 端 点 的任 意 一 点 , 在 △ 
眠 F 2 = a, /  ,   嘲

中, 记 
, e 是 椭 圆 

k   \  
图2  


所 以t a n o t ? t a   = 一  

=  

的 离心 率 , 则有 
y  

 

证明  ̄AP F I F 2  ̄,  
s l n o /  

L :  
s n/ i 3  

又  + 簪 =   , , 0 i - r X y  ̄ o =  1 一   ) :  


s l n ' ,  



则 

s i n f-s i r  

:  

s i n  

(  

) , 代入( 1 ) ,  

l 『   i 丛L = I 丛L I — i   I   i   i  
s i n a - s i n l f  
● 

s i n y  I ’  
b 2:

所 以 t a n a ' t a  壶 号(  




2 c2
_
.  

:1 _ _ e 2 .  

图1  

证明 在△  

中, 一  !  : l  
S l no /   s 1 I 1  

:  

“ 


定理4 ( )  ̄ F # - 1 4) N A. F 曰 是双曲线  一   az  
l (   > o ) 的 实轴 两 端 点 , P 是 双 曲 线 

I   I则I  

s i n , / ‘   。  s i n a + s i n l — s f i n , /‘  

二 £ L L  
图3  

亡 异 于A, 曰 的任 意一点 ,  P A曰  . Z _ P B A =  

3 9  

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c . 一  三 
, 

\ \ \   / 9 P  
A 7   o   B \ \  
圈4  

点评 :本 题 也 可 设 出正 六 边 形 的边 
长, 利 用椭 圆的定 义进 行 求解.  

D.   2  

例2 ( 2 0 0 7 安徽 ) 如 图6 , F ,  ̄F 2 分 别 
B 

是双曲线等一 旷  等 b ‘   = 1 ( a M ) , b )) M 的两个焦  
点, A 和曰 是以D 为圆心,以l o  I 为半径 
的 圆 与该 双 曲线 左 支 的 两个 交 点 . 且  AF = AB 是 等边 三 角 形 ,则 双 曲线 的离 心 
率为(   )  
圈7  

?I  

/ 3 , e 是 双 曲线 的离 心率 .  ̄ ] 1 t a n a t a n l f = l - - e 2 .  
证明 i  ̄ P ( x 0 , y o ) , 又A( _ Ⅱ , 0 ) , B ( a ,  
, t a n (   )   【 ) _,  
Xo - a 

/  

0 ) , t a n a ,  ̄  - =  
xo +a 

A .、 / 了 
c.  
2  

B . 、 / 了 
D. 1 + 

解 析  由椭 圆 的对称 ? g ̄ , AAl 肌 2  

所 以t a r  = 一 且
xo - a 

,所  ̄ A ' t a n a? t a n l f =  

是 等 腰 三 角 形 .又  Al B Az = 1 2 O 。 。所 以  
占   l = 3 0   由定理 3 得 



 

?



jl _ 0 _一 
. 

Xo +a 

o . 。 Ⅱ 

一( r 

( 2)  

t a n /B A   2 ? t a nLB A    ̄ = l - e   ,  

又   一  =   ,   (  一 ? ) =  (   一  
n 2 ) , 代入 ( 2 ) ,  

即t a n 3 o 。 - t a n 3 0 。 : l 呻 2 j盟
3  

.  

所 以t a n a - t a n  ̄ 一  1 ‘  

 ̄ - a 2 ) :  



 

一 
at   矿  

:l  

\ l >   、 — 。  
图6  



1 - e 2 , e  

, 所 以e :  
3   3  

. 故 选 R 

3  

点评  本题 也 可 由t a n 3 0  ̄ :   .再 利 

注: 若 椭圆、 双 曲线 的焦 点 在y 轴, 或 
中心 不在 原 点 . 同样得 到 相应 的结 论.  

分 析  解本 题 的关 键 是 寻 找 一 个 内  

酉求 解  
倒 4 设 AAB C是 等 腰 三 角 形 ,  
/A B C = 1 2 0 。 , 则 以A, 曰 为顶 点 且 过点 G 的  双 曲线 的 离心 率 为  解析 .   。  

角都 已知 的双 曲线 的 焦点 三 角形 . 如 

@ 公式应用  
例1   如 图5 . 正 六 边形A B C D E 肭 顶  点A, D 为 一椭 圆的两 个 焦 点 , 其 余 四个 顶 
点 , C , E, 胸 在 椭 网上 , 求椭 圆的离 心 率.  

△A  

, 这 样 可利 用定 理2 直接 求 解.   如 图6 , 连 结A  , 由 于 AA B F  ̄  
= 3 o o .  
=  

解析

是 正 三 角形 ,利 用 对称 性得  A  
又 因 为  9 0 。 .   是 圆0的 直 径 , 所 以 

因为 AA B C  ̄ . 等腰 三 角形 . 且 

/ _ ABC = 1 2 0 。 .所 以 / _ _ B AC = 3 0  ̄ .由 定 理 4  
得    ,
t a n  B AC? t a n   ABC =I - e    ̄t a n 3 0 。 ?  

F l F  ̄ - - 6 0 。 .由定理2 得 
s i n   FA  F 1  


, 

I  

1  
B 

0  

个  
? D   I  
C 


  I s i n Z _ A F t F 2 - s i   n / - _   A F : F  ̄ V  


l + 

t a n l 2 0 。 - l _ _ e  

3  

. ( 一  
’  

) : 1  2 ,  

2 - 2, 所 以e =  
x/ 3 故 选 1 ) .  

.  

图5  

点评 本题也可设 I A B l _ l B C I   ,  
求 出C 点坐标 ( 2 a , 、 /  n ) , 而后代入双曲  

分 析  本 题 关 键 是 从 正 六 边 形 

点 评   本 题 也 可 求 出   点 坐 标 ( 一   - 1   c ,  


AB C D E F 中找 出一 个 内角 都 已知 的椭 圆  
的 焦点 三角 形 , 如 AE AD, 这 样 可利 用 定  理1 直接 求解.  

) , 再 将 此 坐 标 代 入 双 曲 线 方 程 ,  

线 方 程   一 鲁 = 1 (  , 6 > 0 ) , 再 利 用 e =  
求 解 

且 利 用6   = c 2 _ n 2 进 行 求解 . 比较 麻 烦.  

解析

如 图5 , 连 结A E, 易知  A肋 =  

例3 ( 东北区三省四市2 0 0 8 年第一  次联合考试 ) 椭圆的长轴为A   , B 为短轴 

由于椭 圆 、双 曲 线有 着 统 一 的 内在  规律。 所 以它们 之 间还存 在 着很 多类 似 的  对 偶 性 质.只要 我们 在 教 学 中 细 心 观 察 
:  

90 。, / DAE=3 0 。,   , 4DE=6 0 。 .  

由 定理 1 得 :  

!  

:  


s i n/DAE  i n   ADE  :   :~  一1 .  

端点 , 若  A。 B A   2 = 1 2 0 。 , 则 椭 圆 的 离 心  )  
B.  

率为(  

和 认 真 总结 , 有些 有 用 、 有趣 的性 质 一 定 
会 被发 现.以上是 我 教 学 中 的一 点 体验 .  

s i n 3 0  ̄ + s i n 6 0  ̄   1 、 / 了 



 

A.  

仅 供参 考.  


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