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版高中数学第二章圆锥曲线与方程242抛物线的几何性质学案新人教B版选修2 1(数学教案)

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2.4.2 学习目标 抛物线的几何性质 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线 的性质解决一些简单的抛物线问题. 知识点一 抛物线的范围 思考 观察下列图形,思考以下问题: (1)观察焦点在 x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形,分析其几何图形存在哪些区别? (2)根据图形及抛物线方程 y =2px(p>0)如何确定横坐标 x 的范围? 2 梳理 抛物线 y =2px(p>0)中,x∈__________, 2 y∈__________. 抛物线 y =-2px(p>0)中,x∈__________, 2 y∈__________. 抛物线 x =2py(p>0)中,x∈__________, 2 y∈__________. 抛物线 x =-2py(p>0)中,x∈__________, 2 y∈__________. 知识点二 四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 范围 对称轴 焦点 x≥0,y∈R x轴 p F( ,0) 2 x≤0,y∈R x轴 p F(- ,0) 2 y≥0,x∈R y轴 p F(0, ) 2 y≤0,x∈R y轴 p F(0,- ) 2 1 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 p x=- 2 p x= 2 p y=- 2 p y= 2 O(0,0) e=1 2p 知识点三 直线与抛物线的位置关系 直线 y=kx+b 与抛物线 y =2px(p>0)的交点个数决定于关于 x 的方程组? 的个数,即二次方程 k x +2(kb-p)x+b =0 解的个数. 当 k≠0 时,若 Δ >0,则直线与抛物线有______个不同的公共点;若 Δ =0 时,直线与抛 物线有______个公共点;若 Δ <0 时,直线与抛物线________公共点. 当 k=0 时,直线与抛物线的轴__________,此时直线与抛物线有______个公共点. 2 2 2 2 ? ?y=kx+b, ?y =2px ? 2 解 类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程 例 1 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 9x +4y =36 短轴所在的直线,抛物线焦点 到顶点的距离为 3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 2 2 引申探究 将本例改为“若抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 l 过 F 且垂直于 x 轴,l 与抛物线交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积等于 4”,求此抛物线的标准方程. 反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤 2 跟踪训练 1 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为 x 轴,且与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,|AB|=2 3,求抛物线方程. 2 2 类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题 例 2 (1)过抛物线 y =8x 的焦点,倾斜角为 45°的直线被抛物线截得的弦长为________. (2) 直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点,与抛物线交于 A,B 两点,若|AB|=8,则直线 l 的方 程为________________. (3)过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|=7,则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为________________. 反思与感悟 (1)抛物线上任一点 P(x0, y0)与焦点 F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径, 对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为: ①抛物线 y =2px(p>0),|PF|=|x0+ |= +x0; 2 2 ②抛物线 y =-2px(p>0),|PF|=|x0- |= -x0; 2 2 ③抛物线 x =2py(p>0),|PF|=|y0+ |= +y0;④抛物线 x =-2py(p>0),|PF|=|y0- | 2 2 2 = -y0. 2 (2)已知 AB 是过抛物线 y =2px(p>0)的焦点的弦,F 为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2), 则: ①y1?y2=-p ,x1?x2= ; 4 2p ②|AB|=x1+x2+p= (θ 为直线 AB 的倾斜角); 2 sin θ ③S△ABO= (θ 为直线 AB 的倾斜角); 2sin θ ④ 1 2 + = ; |AF| |BF| p 1 2 2 2 2 2 2 2 2 p p p p p p 2 p p p2 p2 ⑤以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. (3)当直线经过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直时,直线被抛物线截得的线段称为 抛物线的通径,显然通径长等于 2p. 跟踪训练 2 已知直线 l 经过抛物线 y =6x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A,B 两点. (1)若直线 l 的倾斜角为 60°,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段 AB 的中点 M 到准线的距离. 2 3 类型三 抛物线综合问题 命题角度 1 与抛物线有关的最值问题 |PF| 2 例 3 抛物线 y =4x 的焦点为 F,点 P(x,y)为该抛物线上的动点,若点 A(-1,0),求 |PA| 的最小值. 反思与感悟 (1)若曲线和直线相离,在曲线上求一点到直线的距离最小问题,可找到与已 知直线平行的直线,使其与曲线相切,则切点为所要求的点. (2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决. 跟踪训练 3 已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到 直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( 11 37 A.2 B.3 C. D. 5 16 命题角度 2 定值或定点问题 例 4 抛物线 y =2px(p>0)上有两动点 A, B

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