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3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 学案(人教A版必修5)

时间:2016-04-23


3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 学习目标 1.了解二元一次不等式的几何意义; 2.会用二元一次不等式组表示平面区域。 要点精讲 1.直线分平面问题 在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线 Ax ? By ? C ? 0 分成三类: (1)在直线 Ax ? By ? C ? 0 上的点; (2)在直线 Ax ? By ? C ? 0 上方区域内的点; (3)在直线 Ax ? By ? C ? 0 下方区域内的点。 其中,在同一区域内的点 P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? ,把其坐标分别代入 Ax ? By ? C ,所 得结果符号相同。 2.二元一次不等式表示的平面区域的判断方法:代点法。 在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一 侧所有点组成的平面区域,因为在同一侧的所有点的坐标 ? x, y ? 代入 Ax ? By ? C 所得结果 符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点) 。 3.不等式组表示的平面区域 不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分。 范例分析 例 1.画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域. 引申:己知点 A(0,0)、B(1,1)、C ? ,0 ? ,则在 3x ? 2 y ? 1 ? 0 表示的平面区域内的点是( ) A. A, B B. A, C C. C D. B, C

?1 ? ?3 ?

?x ? y ? 5 ? 0 ? 例 2.画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域.。 ?x ? 3 ?
引申:在直角坐标系中,满足不等式 x2-y2≥0 的点(x, y)的集合的阴影部分是( )

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 例 3. (1) 若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形, 则 a 的取值范围是 ( ) ?0 ≤ x ≤ 2 ?
A. a ? 5 B. a ≥ 7 C. 5 ≤ a ? 7 D. a ? 5 或 a ≥ 7 (2)设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则 A 所表示的平面区域(不含边 界的阴影部分)是( )

?x ? y ? 2 ? 0 ? 例 4. (1)在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域的面积是( ?x ? 2 ?
(A) 4 2 (B)4 (C) 2 2 (D)2
[



(2)在平面直角坐标系 xOy ,已知平面区域 A ? {( x, y) | x ? y ? 1, 且 x ? 0, y ? 0} ,则平 面区域 B ? {( x ? y, x ? y) | ( x, y) ? A} 的面积为( A. 2 B. 1 C. )

1 2

D.

1 4

规律总结 1.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断除代点法外还有系数判别法。 系数判别法 表示直线 Ax ? By ? C ? 0 上方区域的不等式等价于 B( Ax ? By ? C ) ? 0 ;

表示直线 Ax ? By ? C ? 0 下方区域的不等式等价于 B( Ax ? By ? C ) ? 0 。 其中, 不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示的区域不包括边界, 直线 Ax ? By ? C ? 0 画成虚线; 不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示的区域包括边界,直线 Ax ? By ? C ? 0 画成实线。 2.二元不等式 y ? kx ? b 表示直线 y ? kx ? b 的上方区域;二元不等式 y ? kx ? b 表示直线

y ? kx ? b 的下方区域。同理,二元不等式 y ? a x ? b ? c 表示折线 y ? a x ? b ? c 的
上方区域;二元不等式 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 表示抛物线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的上 方区域。 基础训练 一、选择题 1.己知直线 ax ? by ? 1 ? 0 ,若 ax ? by ? 1 ? 0 表示区域如下,其正确的区域为 y y y ( y )

0

x

0

x

0

x

0

x

A

B

C

D ( y )

2.如图所示,不等式 ( x ? y)(x ? 2 y ? 4) ? 0 表示的区域是 y y y

0

4 x

0

4

x

0

4

x

0

4x

(A) (B) (C) (D) 3.已知点 P(0,0) ,Q(1,0) ,R(2,0) ,S(3,0) ,则在不等式 3x ? y ? 6 ? 0 表示的 平面区域内的点是 ( ) A.P、Q B.Q、R C.R、S D.S、P 4.设直线 l 的方程为: x ? y ? 1 ? 0 ,则下列说法不 正确的是 ( ) . A.点集{ ( x, y) | x ? y ? 1 ? 0 }的图形与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积是定值 B.点集{ ( x, y) | x ? y ? 1 ? 0 }的图形是 l 右上方的平面区域 C.点集{ ( x, y) | ? x ? y ? 1 ? 0 }的图形是 l 左下方的平面区域 D.点集{ ( x, y) | x ? y ? m ? 0, (m ? R) }的图形与 x 轴、y 轴围成的三角形面积有最小值

? x ? y ≥ ?, ?2 x ? y ≤ 2, ? 5.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( ) y ≥ 0 , ? ? ?x ? y ≤ a 4 4 4 A. a ≥ B. 0 ? a ≤1 C. 1 ≤ a ≤ D. 0 ? a ≤1 或 a ≥ 3 3 3
二、填空题 6. 己知两直线 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0 所夹带形区域为 D, 则点 P(cos? , sin ? ) 与

D 的关系是_____________;
7.己知两点 A(?3,?1), B(4,?6) 在直线 ? 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围 是__________; 8.若不等式 ax+(2a-1)y+1<0 表示直线 ax+(2a-1)y+1=0 的下方区域,则实数 a 的取 值范围为________________________。 三、解答题 9.己知 A(1,?1), B(5,?3), C (4,?5) 组成 ?ABC ,求平面区域是 ?ABC 的约束条件,并画出此 平面区域的图形.

?| x | ? 2 ≤ 0 ? 10. 设不等式组 ? y ? 3 ≤ 0 所表示的平面区域为 D ,若 A ,B 为 D 内的两个点, 求 | AB | ?x ? 2 y ≤ 2 ?
的最大值。 四、能力提高 11.在坐标平面上,不等式组 ?

? y ? x ? 1 所表示的平面区域的面积为( ? y ? ?3 x ? 1
(C)



(A) 2

(B)

3 2

3 2 2

(D)2

12.已知直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,M1(x1,y1) 、M2(x2,y2)为直线 l 异侧的任意两点, M1、M3(x3,y3)为直线 l 同侧的任意两点,求证: (1)Ax1+By1+C 与 Ax2+By2+C 异号; (2)Ax1+By1+C 与 Ax3+By3+C 同号. 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 28 例 1.解:先画直线 2 x +y-6=0(画成虚线). 取原点(0,0) ,代入 2 x +y-6,∵2×0+0-6=-6<0, ∴原点在 2 x +y-6<0 表示的平面区域内, 不等式 2 x +y-6<0 表示的区域如图: 引申:D; y 例 2.解:不等式 x -y+5≥0 表示直线 x -y+5=0 上及右下 x+y=0 A(3,8) 方的点
5 5 B(- , ) 2 2 x-y+5=0 6 x=3 0 3 C(3,-3) x

的集合, x +y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.不等式组表示平面 区域即为图示的三角形区域: 评注:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点 集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 引申:B; 例 3.解: (1)C;画出可行域。

? ? 1 ? ? ?? x ? 2 ? y ? 1 ? x ? ? ? x ? y ? 1? x ? y ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? (2) A ? ?? x, y ? ? x ? ?1 ? x ? y ? ? y ? 0 ? ? ?? x, y ? ? 0? y? ? ,选 A。 2 ? ? ? ? y ? ?1 ? x ? y ? ? x ? 0? ? ? ? ? ? 1 ? ? 0? x? ? ? ? 2 ? ? ?
例 4. (1)由题知可行域为 ?ABC ,

S ?ABC ?

4?0 ?2 2

? 4 ,故选择 B。

C ?0,2?

A?2,4?
B?2,0?

(2)令 ?

?u ? x ? y ?2 x ? u ? v ,则 ? , ?v ? x ? y ?2 y ? u ? v
x?2

平面区域 B ? {( x ? y, x ? y) | ( x, y) ? A}

? ? u ?1 ? ? ? ? ? ?? u, v ? ?u ? v ? 0 ? ,画出可行域,知三角形面积为 1,选 B。 ? ?u ? v ? 0 ? ? ? ?
参考答案 1~5 CBCCD; 6. P ? D ; 7. ?? 7,24?; 8.a ?

1 ; 提示: 因直线 ax+ (2a―1) y+1=0 恒过定点 (―2, 1) , 2

而显然点(―2,0)在点(―2,1)的下方,故它应满足不等式,将点(―2,0)代入 不等式,即得―2a+1<0。

? x ? 2y ?1 ? 0 ? 9.解: ?2 x ? y ? 13 ? 0 ;图略。 ?4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ?
10.平面区域 D 是以 E ? ?2, ?2? 、 F ? 2,0? 、G ? 2,3? 、 H ? ?2,3? 为顶点的四边形区域(含 边界) ,所有点落在以 EG 为直径的圆内,故 | AB | 的最大值为 EG ? 5 。 11.C;画出可行域。 12.证明:(1)因 M1、M2 在 l 异侧,故 l 必交线段 M1M2 于点 M0.

设 M0 分 M1M2 所成的比为λ ,即 M1M 0 ? ? M 0 M 2 , 则分点 M0 的坐标为 x0=

?????? ?

???????

x1 ? ?x 2 y ? ?y 2 ,y0= 1 , 1? ? 1? ?

代入 l 的方程得 A(

x1 ? ?x 2 y ? ?y 2 )+B( 1 )+C=0, 1? ? 1? ?

从而得 Ax1+By1+C+λ (Ax2+By2+C)=0.解出λ ,得 λ =?

Ax1 ? By1 ? C Ax2 ? By2 ? C

∵M0 为 M1M2 的内分点,故λ >0. ∴Ax1+By1+C 与 Ax2+By2+C 异号. (2)∵M3、M1 在 l 同侧,而 M1、M2 在 l 异侧,故 M3、M2 在 l 异侧, 利用(1)得 Ax3+By3+C 与 Ax2+By2+C 异号, 又∵Ax1+By1+C 与 Ax2+By2+C 异号, ∴Ax1+By1+C 与 Ax3+By3+C 同号


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