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河南省中原名校2014届高三上学期期中联考试卷 (1)

时间:2014-09-02


河南省中原名校 2014 届高三上学期期中联考试卷 数学(理) Word 版
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,分别答在答题卷上。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若集 A={x|-1≤2x+1≤3},B={x|

x-2 ≤0},则 A∪B= x

A.{x|-1≤x<2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1} 2.设 f(x)=lgx+x-3,用二分法求方程 lgx+x-3=0 在(2,3)内近似解的过程中得 f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0,f(3)>0,则方程的根落在区间 A. (2,2.25) B. (2.25,2.5) C. (2.5,2.75) D. (2.75,3) 3.已知α ,β 为不重合的两个平面,直线 m ? α ,那么“m⊥β ”是“α ⊥β ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (其中 A>0,ω >0,| ? |< 了得到 g(x)=sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象

? )的图象如图所示,为 2

? 个长度单位 6 ? B.向右平移 个长度单位 3 ? C.向左平移 个长度单位 6 ? D.向左平移 个长度单位 3
A.向右平移 5.已知{ an }为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为{ an }的前 n 项 和,n∈N﹡,则 S10 的值为 A.-110 B.-90 6.已知 x>0,y>0,若 A.m≥4 或 m≤-2 C.-2<m<4 C.90 D.110

2 y 8x + >m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y
B.m≥2 或 m≤-4 D.-4<m<2

7.已知向量 a =(cosθ ,sinθ ) ,向量 b =( 3 ,-1),则|2 a - b |的最大值与最小值得和 A.4 2 B.6
n

r

r

r

r

C .4
n ?2

D.16

8.已知函数 f(x)= x + an-1xn?1 + an- 2 x

+?+ a1 x + a0 (n>2 且 n∈N﹡)设 x0 是函数 f(x)的零

点的最大值,则下述论断一定错误的是
页 1第

A. f ?( x0 ) ? 0

B. f ?( x0 ) =0

C. f ?( x0 ) >0

D. f ?( x0 ) <0

9.给出下列四个命题: ①命题 p: ?x ∈R,sinx≤1,则 ? p : ?x ∈R,sinx<1. ②当 a≥1 时,不等式|x-4|+|x-3|<a 的解集为非空. ③当 x>0 时,有 lnx+

1 ≥2. ln x

④设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=1-i. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2

D.3

x 2 y2 10.已知 F 是双曲线 2 - 2 = 1(a>0,b>0)的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴 a b
的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为 A. (1,+∞) B. (1,2) C. (1,1+ 2 ) D. (2,1+ 2 )

11.已知 an = ( ) ,把数列{ an }的各项排列成如下的三角形状,

1 3

n

记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10,12)= A. ( )

1 3

93

B. ( )

1 3

92

C. ( )

1 3

94

D. ( )

1 3

112

12.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(5,0) ,对于某个正实数 k,存在函数 f(x)=a x

2

uur uuu r OA (a>0) .使得 OP =λ · ( uur + OA

uuu r OQ (λ 为常数) ,这里点 P、Q 的坐标分别为 uuu r ) OQ
D.[8,+∞)

P(1,f(1) ) ,Q(k,f(k) ) ,则 k 的取值范围为 A. (2,+∞) B. (3,+∞) C.[4,+∞)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. ( x+

1 2 x

)8 的展开式中常数项为___________________.

? x+y≥0 ? 14.设 z=2x+y,其中 x,y 满足 ? x-y≤0 ,若 z 的最大值为 6,则 z 的最小值为_________. ?0≤y≤k ?
15.在平面直角坐标系中,记抛物线 y=x- x 与 x 轴所围成的平面区域为 M,该抛物线与直线 y=kx(k
页 2第
2

>0)所围成的平面区域为 A,向区域 M 内随机抛掷一点 P,若点 P 落在区域 A 内的概率为 的值为__________. 16. 如图, 在四边形 ABCD 中, (λ ∈R) , | BC =λ AD

8 ,则 k 27

uuu r

uuu r

uuu r AB |=|
以 BC 为斜

uur uuu uuu r r AD |=2,| CB - CD |=2 3 ,且△BCD 是
边 的 直 角 三 角 形 , 则 CB · BA 的 值 为 __________. 三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)已知α ,β 为锐角,且 sinα = 求 cosβ 的值.
2 2 18. (本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列{ an }满足 an ?1 - an+1an -2 an =0,

uur

uur

3 1 ,tan(α -β )=- . 5 3

n∈N﹡,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{ an }的通项公式; (2)若 bn = an log 1 an , Sn =b1+b2+?+ bn ,求 Sn 的值.
2

19. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,A、B、C 为三个内角,a、b、c 为相应的三条边,

? ? b sin 2C <C< ,且 = . 3 2 a ? b sin A ? sin 2C
(1)判断△ABC 的形状; (2)若| BA + BC |=2,求 BA · BC 的取值范围.

uur

uuu r

uur

uuu r

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= ax -(a+2)x+lnx. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f (1) )处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e)上的最小值为-2,求 a 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)已知 A(-5,0) ,B(5,0) ,动点 P 满足| PB |, 8 成等差数列. (1)求 P 点的轨迹方程; (2)对于 x 轴上的点 M,若满足| PA |·| PB |= PM ,则称点 M 为点 P 对应的“比例点” 。问: 对任意一个确定的点 P,它总能对应几个“比例点”? 22. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)= x +

2

2

uur

1 uur | PA |, 2

uur

uur

uuur 2

1 1 ,g(x)= ln(2ex) (其中 e 为自然对数 4 2
3第

的底数) (1)求 y=f(x)-g(x) (x>0)的最小值; (2)是否存在一次函数 h(x)=kx+b 使得 f(x)≥h(x)且 h(x)≥g(x)对一切 x>0 恒成立;若存在,求出一次函数的表达式,若不存在,说明理由: (3)数列{ an }中,a1=1, an =g( an ?1 ) (n≥2) ,求证:
n 1 3 < an+1 < an <1 且 ? (ak ? ak+1 )gak+1 < . 2 8 k ?1

中原名校 2013—2014 学年上学期期中联考

高三数学(理)参考答案
一.选择题 1---5 BCAAD 二.填空题 三.解答题 17.解: 6---10 DCDAB 14. -2 11---12 15. AA 16. -4

13.

35 8

1 3

? ? ? ?? ?,? ? ? 0, ?, ?? ? ? ? ? ? ;
? 2? 2 2

1 ? 又 Q tan ?? ? ? ? ? ? ? 0,?? ? ? ? ? ? 0,...............................2分 3 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? 10 ?????????????????4分 10

3 10 , .................................5分 10 3 4 Q ? 为锐角,sin? = , cos ? ? ,...................................................6分 5 5 ? cos ? ? cos ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? cos ? cos ?? ? ? ? ? sin? sin ?? ? ? ? 4 3 10 3 ? 10 ? 9 10 ? ? ? ?? ? ? ? ? 50 .??????..............................10分 5 10 5 ? ? 10 ?
18.解: (1)
2 an?1 ? an?1an ? 2an ? 0,?? an?1 ? an ?? an?1 ? 2an ? ? 0. ?1 分



4第

Q 数列?a n ?的各项均为正数, ? an ?1 ? an ? 0, an ?1 ? 2an ? 0,?????? 2分 ? an ?1 ? 2an , n ? N ?, ? 数列?a n ? 是以2为公比的等比数列。 ??????3分 Q a3 ? 2是a2与a4的等差中项, ? a2 +a4 =2a3 ? 4, ? 2a1 ? 8a1 ? 8a1 ? 4, a1 ? 2,? 数列?a n ?的通项公式为an =2n.????......6分
n (2)由()及 1 bn ? an log a 2n.??????7分 1 , 得bn =-ng

2

Q S n ? b1 ? b2 ? ???bn ,? S n ? ?2 ? 2g22 ? 3g23 ? ??? ? ng2 n , 2 S n ? ?22 ? 2g23 ? 3g24 ? ??? ? ng2n ?1 , ? Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n ? ng2n ?1 ? 2 ?1 ? 2n ?

1? 2 b sin 2C ? 19.解: (1)由 及正弦定理,有 a ? b sin A ? sin 2C

? ng2n ?1 ? ?1 ? n ?g2 n ?1 ? 2,??12分

sin B ? sin 2C , ??????.........................................................................2分 ? B ? 2C或B ? 2C ? ? .??????............................................................4分 ? ? 2? 若B ? 2C,且 ? C ? ,? ? B ? ? , B+C>? (舍), ???.....................5分 3 2 3 ? B ? 2C ? ?,则A=C, ?VABC为等腰三角形。 ??????......................6分 uur uuu r (2) Q BA ? BC ? 2, ? a 2 ? c 2 ? 2acgcos B ? 4,??????.........................8分 结合a ? c, 2 ? a2 , 而 cos B = ? cos 2C , a2 1 4 ? cos B ? 1,?1 ? a 2 ? , ??????........................................................10分 2 3 由()知 1 a=c, uur uuu r ?2 ? ? BAgBC ? a 2 cos B ? 2 ? a 2 ? ? ,1? .??????......................................12分 ?3 ? 得 cos B =
)当a ? 1时,f ? x ? ? x 2 ? 3x ? ln x, f ? ? x ? ? 2 x ? 3 ? 20.解: (1 1 , ??…………1 分 x

? f ? ?1? ? 0, f ?1? ? ?2,???.................................................3分 所以切线方程是y=-2. ???....................................................4分 (2)函数f ? x ? ? ax 2 ? ? a ? 2 ? x ? ln x的定义域是 ? 0, +? ?,
2 1 2ax ? ? a ? 2 ? ? 1 当a ? 0时,f ? ? x ? ? 2ax ? ? a ? 2 ? ? ? ? x ? 0 ? ......5分 x x 2ax 2 ? ? a ? 2 ? ? 1 ? 2 x ? 1?? ax ? 1? 令f ? ? x ? ? 0,即f ? ? x ? ? = ? 0, x x 1 1 所以x ? 或x ? .???.............................................................6分 2 a

当0 ?


1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在[1,e]上单调递增, a
5第

所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ?2 ;??????8 分 当1 ? 当

1 1 ? e 时, f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; 10 分 a a

1 ? e 时, f ( x) 在[1,e]上单调递减, a

所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意??????11 分 故 a 的取值范围为 ?1, ?? ? ;?????????????????????12 分 21.解: (1)由已知得 PA ? PB ? 8,

uur

uur

? P点的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,且a=4,b=3,c=5, x2 y2 ? P点的轨迹方程为 ? ? 1? x ? 4 ? ? 标x ? 0不扣分,不标扣1分 ? .........................5分 16 9 x2 y2 (2)设P ? x0 , y0 ?? x0 ? 4 ? , M ? m, 0 ? . Q 0 ? 0 ? 1, 16 9 2 uur ?x ? uur 2 ? y0 ? 9 ? 0 ? 1? ; 又 PA ? ? ?5 ? x0 , ? y0 ? , PB ? ? 5 ? x0 , ? y0 ? , ? 16 ? uur uur 2 2 2 2 则 PA g PB ? ? ?5 ? x0 ? ? ? ? y0 ? g ? 5 ? x0 ? ? ? ? y0 ? 25 2 ? 25 2 ? ? ? x0 ? 16 ? ? x0 ? 16 16 ? 16 ? uuur 2 uuur 2 25 2 2 2 又 PM ? PM ? ? x0 ? m ? ? ? y0 ? ? x0 ? 2mx0 ? m 2 ? 9, 16 uur uur uuur 2 由 PA g PB = PM 得,m 2 ? 2mx0 +7=0, ?????????..........................................10分
2 Q ? =4 x0 ? 28 ? 36 ? 0,? 方程 ? ?? 恒有两个不等实根 2

? 对任意一个确定的点P,它总能对应2个“比例点” ?..............................12分
22. 解: (1)

x ? 0时,y? ? 2 x ?

1 4 x2 ?1 ? , 2x 2x

1 1 易知0 ? x ? 时y? ? 0, x ? 时y? ? 0, 2 2 ? 1? ?1 ? 所以y ? f ? x ? ? g ? x ? 在 ? 0, ? 上递减,而在 ? , +? ? 上递增, ?????? 2分 ? 2? ?2 ? 1 故x= 时y ? f ? x ? ? g ? x ? 取最小值0; ??????..........................................3分 2
(2)由(1)可知, f ? ? ? g ? ? ?

?1? ?2?

?1? ?2?

1 , 2



6第

所以若存在一次函数h ? x ? ? kx ? b使得f ? x ? ? h ? x ? 且h ? x ? ? g ? x ? 总成立,则 1 ?1? 1 ?1? 1 ? h ? ? ? , 即h ? ? = ; 2 ?2? 2 ?2? 2 1 k k 1 所以可设h ? x ? ? kx + - , 代入f ? x ? ? h ? x ? 得x 2 ? kx ? ? ? 0恒成立, 2 2 2 4 所以? = ? k ? 1? ? 0, 所以k ? 1, h ? x ? ? x,
2

1 1 ln ? 2ex ? , 则G ? ? x ? ? 1 ? , 2 2x ? 1? ?1 ? 易知G ? x ? 在 ? 0, ? 上递减,在 ? , +? ? 上递增, ? 2? ?2 ? 此时设G ? x ? ? h ? x ? ? g ? x ? ? x ?

?1? 所以G ? x ? ? G ? ? =0,即h ? x ? ? g ? x ? 对一切x ? 0恒成立; ?2? 综上,存在一次函数h ? x ? =x符合题目要求。 ??????...........................6分
(3)先证 ?an ? 递减且
由(2)知x>

1 ? an ? 1(n ? 2), 2

1 1 时g ? x ? ? x, 又g ? x ? 在 ? 0, +? ? 上递增,所以当 ? x0 ? 1 时 2 2 1 1 ?1? 总有 =g ? ? ? g ? x0 ? ? x0 ? 1 ,即 ? g ? x0 ? ? 1也成立。 2 2 ?2? 1 下面用数学归纳法证明 ? an ? 1( n ? 2). 2 1 1 ?1? (1) n ? 2时,因为 =g ? ? ? g ? a1 ? =g ?1? ? 1, 所以 ? a2 ? 1成立; 2 2 ?2? 1 (2)假设n ? k ? k ? N ? , k ? 2 ? 时结论成立,即 ? ak ? 1? k ? 2 ? , 2 1 由于x ? 时,g ? x ? ? x, 又g ? x ? 在 ? 0, +? ? 上递增, 2 1 ?1? 1 则1 ? ak ? g ? ak ? ? g ? ? ? , 即 ? ak +1 ? 1也成立。 2 2 ?2? 1 1 由(1) (2)知, ? an ? 1( n ? 2)恒成立;而 ? an ? 1 时an ?1 ? g ? an ? ? an, 2 2 所以?an ? 递减。 综上所述 1 ? ? ? ? ? an ? an -1 ? ? ? ? ? a1 =1 , ??????..............................9分 2 2 n n n a ? ak ?1 a 2 ? ak ?1 所以? ? ak ? ak ?1 ?g ak ?1 ? ? ? ak ? ak ?1 ?g k ?? k 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 1 1? 2 2 a1 ? an ?1 4 ? 3 .??????.........................................................12分 ? ? 2 2 8



7第


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