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高中数学 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域2教案 北师大版必修5

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3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 一、教学目标 1.知识与技能:巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域;能根据实际 问题中的已知条件,找出约束条件; 2.过程与方法:经历把实际问题抽象为数学问题的过程,体会集合、化归、数形结合的数 学思想; 3.情态与价值:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生 创新。 二、教学重点:理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式(组)所表示的平面区域画 出来。 教学难点:把实际问题抽象化,用二元一次不等式(组)表示平面区域。 三、教学方法:启发引导式 四、教学过程 (一).课题导入 [复习引入] 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组 成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 判断方法:由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点 (x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点( x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时, 常把原点作为此特殊点) 。 随堂练习 1 1、画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域. ?x ? y ? 5 ? 0 ? 2、画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域。 ?x ? 3 ? (二).探析新课 【应用举例】 例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的 数据表格(以班级为单位) : 学段 初中 高中 班级学生人数 45 40 配备教师数 2 3 硬件建设/万元 26/班 54/班 教师年薪/万元 2/人 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。 解:设开设初中班 x 个,开设高中班 y 个,根据题意,总共招生班数应限制在 20-30 之间, 所以有 20 ? x ? y ? 30 考虑到所投资金的限制,得到 26 x ? 54 y ? 2 ? 2 x ? 2 ? 3 y ? 1200 即 x ? 2 y ? 40 另外,开设的班数不能为负,则 x ? 0, y ? 0 把上面的四个不等式合在一起,得到: ?20 ? x ? y ? 30 ? x ? 2 y ? 40 ? ? x?0 ? ? y?0 ? 用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分) 例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 18t; 生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t,在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面 区域。 解:设 x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件: ? 4 x ? y ? 10 ?18 x ? 15 y ? 66 ? ? x?0 ? ? y?0 ? 在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分) 。 [补充例题] 例 1、画出下列不等式表示的区域 (1) ( x ? y)(x ? y ? 1) ? 0 ; (2) x ? y ? 2x 分析:(1)转化为等价的不等式组; (2)注意到不等式的传递性,由 x ? 2 x ,得 x ? 0 ,又 用 ? y 代 y ,不等式仍成立,区域关于 x 轴对称。 解:(1) ? ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 矛盾无解,故点 ( x, y ) 在一带形区域内 ? 0 ? x ? y ? 1或 ? ?x ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ? 1 (含边界) 。 (2) 由 x ? 2 x , 得 x ? 0; 当 y ? 0 时, 有? 当 y ? 0 ,由对称性得出。 指出:把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解 ?x ? y ? 0 点 ( x, y ) 在一条形区域内(边界); ?2 x ? y ? 0 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 例 2、利用区域求不等式组 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的整数解 ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ? 分 析 : 不 等 式 组 的 实 数 解 集 为 三 条 直 线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , l 2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 , l3 : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 所围成的三角形区域内部(不含边界)。设 l1 ? l 2 ? A , l1 ? l3 ? B , 再代回原不等式组转化为 y l 2 ? l3 ? C ,求得区域内点横坐标范围,取出 x 的所有整数值, 的一元不等式组得出相应的 y 的整数值。 解 : 设 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , l 2 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 , l3 : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 , l1 ? l 2 ? A , l1 ? l3 ? B , l 2 ? l3 ? C ,∴ A( 15 3 75 12 , ) , B(0,?3) , C ( ,? ) 。于是看出区域内点的 8 4 19 19 ? ? y ? ?1 ? 75 4 ? 横坐标在 (0, ) 内,取 x = 1 , 2 , 3 ,当 x = 1 时,代入原不等式组有 ? y ? ? 19 3 ? 12 ? y?? ? 5 ? ? 12 ? y ? ?1 ,得 y =- 2,∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点 (2,0), 5 (2,-1),(3,-1)。 指出: 求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点, 它为线性规划中求最优整数解 作铺垫。常有两种处理方法,一种是通过打出网络求整点;另一种是本题解答中所采用的, 先确定区域内点的横坐标的范围,确定 x 的所有整数值,再

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