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2019-2020年高一下学期期中考试数学试题 含答案(VII)

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2019-2020 年高一下学期期中考试数学试题 含答案(VII) 数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)、第 II 卷(非选择题 )两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项:
1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答 题卷上。
2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上 新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不 按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)

1.化简 BC ? AB ? AC 的结果是( )

A. 0

B. 2BC

C. ?2BC

D. 2AC

2.已知向量 a ? (1,3) , b ? (3, x) ,若 a ? b ,则实数 x 的值为 ( )

A. 9

B. ?9

C.1

D. ?1

3. 已知角? 的终边经过点 P(?3,4) ,那么 sin? ? 2cos? 的值等于( )

A. 2 B. 1

5

5

C. ? 2 5

D. ? 1 5

4.已知函数 f (x) ?| x |, x ? R ,则 f (x) 是( )

A.奇函数且在 (0, ??) 上单调递增 B.奇函数且在 (0, ??) 上单调递减

C.偶函数且在 (0, ??) 上单调递增

D.偶函数且在 (0, ??) 上单调递减

5.设 m, n 是两条不同的直线,? , ? ,? 是三 个不同的平面,下列命题正确的是( )

A. 若m //?, n //?,则m // n

B. 若m ? ?, n //?,则m ? n

C. 若m // n, m //?,则n //?

D. 若? ? ? , ? ? ? ,则? // ?

6.已知直线 l1 : ax ? y ? 2a ? 0 与直线 l2 : (2a ?1)x ? ay ? a ? 0 互相垂直,则 a 等于( )

A.0 B.1

C.1 或-1 D.1 或 0

7.已知 e1 ? (2,1),e2 ? (1,3), a ? (?1, 2) ,若 a ? ?1e1 ? ?2 e2 ,则实数对( ?1, ?2 )为( )

A. (1,1)

B. (?1,1)

C. (?1, ?1)

D. 无数对

8.若

a

?

log4

3,

b

?

20.5

,

c

?

log2

(sin

? 3

)

,则(

)

A. a ? b ? c B. a ? c ? b

C. b ? a ? c D. c ? b ? a

9.若点 P(1,1)为圆 C(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为( ).

A.2x-y-1=0

B.x+2y-3=0

C.2x+y-3=0

D.x-2y+1=0

10. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期为 3,当 x ? (? 3 , 0) 时, 2

f (x) ? log2 (1? x) ,则 f (2014) ? f (2016) ? ( )
A.-1 B.-2 C. 1 D.2

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

2 4

11.函数 y ? lg(x ?1) 的定义域为

.

x

12.已知几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为

4

.4
正视图

4
侧视图

俯视图

13.先将 y=sin x 的图象向右平移π5 个单位,再变化各点的横坐标(纵坐标不变),得到最

小正周期为

2π 3

的函数

y=sin(ω x+φ )(其中

ω >0)的图象,则

ω =________,φ



________.

14.已知 A、B、C 的坐标分别为 A(3, 0) , B(0,3) , C(cos?,sin? ) , ? ? (? , 3? ) .若 22

OC / / AB , O 为坐标原点,则角? 的值是____________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15、(本题满分 12 分)已知向量 a 与 b 共线同向, b=(1,2), a ?b=10 .

(1)求 a 的坐标; (2)若 c =(2,-1),求 a(b ?c) 及 (a ?b)c .

16、(本题满分12分)已知函数 f (x) ? 2sin(1 x ? ? ), x ? R 36
(1)求 f (5? ) 的值; 4

(2)设?

,

?

?

???0,

? 2

? ??

,

f (3?

? ?) 2

? 10, 13

f(3 ?

?2 ?)

? 6, 5

求 cos(?

? ? ) 的值.

17 、( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 点 A(sin 2x,1) , B(1, cos(2x ? ? )) , 设 函 数 6
f ( x)? O A? O(B?x ,) 其R 中 O 为坐标原点.
(1) 求函数 f (x) 的最小正周期 (2)当 x ?[0, ? ] 时,求函数 f (x) 的最大值与最小值.
2 (2) 求函数 f (x) 的单调减区间.

18、(本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,

侧面 PAD ? 底面ABCD ,且 PA ? PD ? 2 AD ,若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2
P
(1)求证: EF ∥平面 PAD ;

(2)求证:平面 PDC ? 平面 PAD .

E

D

C

F

19、(本小题满分 14 分)某公司要将一批不易存放的蔬菜从 A 地运到 B 地,有汽车、火车



种运输工具可供选择,两种运输工具的主要参考数据如下表:

运输工具

途中速度 (km/h)

途中费用 (元/km)

装卸时间 (h)

装卸费用 (元)

汽车

50

8

2

1000

火车

100

4

4

2000

若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为 300 元/h,设 A、B 两地距离为 x km

(I)设采用汽车与火车运输的总费用分别为 f (x) 与 g (x) ,求 f (x) 与 g (x) ;

(II)试根据 A、B 两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小). (注:总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用)

20、(本小题满分 14 分)已知 A(?2, 0) , B(2, 0) , C(m, n) . (1)若 m ? 1, n ? 3 ,求 ?ABC 的外接圆的方程; (2)若以线段 AB 为直径的圆 O 过点 C(异于点 A, B ),直线 x ? 2 交直线 AC 于点 R , 线段 BR 的中点为 D , 试判断直线 CD 与圆 O 的位置关系,并证明你的结论.
惠来一中 2014--2015 年度高一第二学期期中考试 数学试题答案
一、选择题: ADCCB DBCAA

二、填空题:11、 (0, ??) ;

12、 64 ? 4? ;

13、3(2 分) -π5 (3 分) ;

14、 3? 4

15、(本小题 12 分)解 (1)设 a=λ b=(λ ,2λ ) (λ >0),则有 a·b=λ +4λ =10,

∴λ =2,∴a=(2,4).

(2)∵b·c=1×2-2×1=0,

a·b=1×2+2×4=10,

∴a(b·c)=0a=0,

(a·b)c=10×(2,-1)=(20,-10).

16、(本小题 12 分) (1) f ( 5 ? ) ? 2sin(1 ? 5 ? ? ? ) ? sin ? ? 2

4

34 6

42

(2) f (3? ? ? ) ? 10 ?2sin[1 (3? ? ? ) ? ? ] ? 10 ?sin? ? 5

2 13

3

2 6 13

13

f (3? ? 2? ) ? 6 ?2sin[1 (3? ? 2? ) ? ? ] ? 6 ?cos ? ? 3

5

3

65

5

?, ? ?[0, ? ] ?cos? ? 12 sin ? ? 4

2

13

5

?cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ? 12 3 ? 5 4 ? 16 13 5 13 5 65

------------------12



17、(本小题 14 分)

解: A(sin 2x,1) B(1, cos(2x ? ? )) ?OA ? (sin 2x,1) , OB ? (1, cos(2x ? ? )) -----1 分

6

6

? f (x) ? OA?OB ? sin 2x ? cos(2x ? ? )= sin 2x ? cos 2x cos ? ? sin 2x cos ?

6

6

6

= 1 sin 2x ? 3 cos 2x ? sin 2x cos ? ? cos 2x sin ? ? sin(2x ? ? ) ----------6 分

2

2

3

3

3

(1) f (x) 的最小正周期T ? 2? ? ? ---------------------------------------8 分 2

(2) 0 ? x ? ? ?? ? 2x ? ? ? 4? ?? 3 ? sin(2x ? ? ) ? 1

23

33

2

3

? f (x) 的最大值和最小值分别为 1 和 ? 3 --------------------------11 分 2

(3)由 ? +2k? ? 2x ? ? ? 3? ? 2k?, k ?Z 得 ? +k? ? x ? 7? ? k? , k ? Z

2

32

12

12

? f (x) 的单调减区间是[ ? ? k? , 7? ? k? ], k ? Z -----------------------------14 分 12 12

18、(本小题 14 分)

(1)证明:连结 AC,则 F 是 AC 的中点,在△ CPA 中,EF∥PA, 且 PA ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,
∴EF∥平面 PAD ……6 分

…………3 分

(2)证明:因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又 CD⊥AD,所以,CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PA ……9 分

又 PA=PD= 2 AD,所以△PAD 是等腰直角三角形,且 ?PAD ? ? ,即 PA⊥PD ……12 分

2

2

又 CD∩PD=D, ∴ PA⊥平面 PDC,

又 PA ? 平面 PAD, 所以 平面 PAD⊥平面 PDC

…………14 分

19、(本小题 14 分)

(I)解:由题意可知,用汽车运输的总支出为:

f (x) ? 8x ?1000 ? ( x ? 2) ?300 ? 14x ?1600(x ? 0) -----------------3 分 50





















g(x ? x ?)

? 4x ? ? 2? x ? 0 x ? 0 ------0----------(-6 分

4

)

3

100

(II) (1)由 f (x) ? g(x) 得 x ? 1600 ; 7

(2)由 f (x) ? g(x) 得 x ? 1600 7

(3)由 f (x) ? g(x) 得 x ? 1600 7

-----------------12 分

答:当 A、B 两地距离小于 1600 km 时,采用汽车运输好 当 A、B 两地距离等于 1600 km 时,

7

7

采 用 汽 车 或 火 车 都 一 样 当 A 、 B 两 地 距 离 大 于 1600 km 时 , 采 用 火 车 运 输 好 7

---------------14 分

20.(本小题满分 14 分)

解析:(1)设所求圆的方程为 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

? 4 ? 2D ? F ? 0

由题意可得

? ?

4

?

2D

?

F

?

0

,解得 D ? E ? 0, F ? ?4,

??1? 3 ? D ? 3E ? F ? 0

∴ ?ABC 的外接圆方程为 x2 ? y2 ? 4 ? 0 ,即 x2 ? y2 ? 4 .-----------------6 分

(2)由题意可知以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2 ? y2 ? 4 ,设点 R 的坐标为 (2,t) ,

∵ A,C, R 三点共线,∴ AC // AR ,----------------8 分

而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4,t) ,则 4n ? t(m ? 2) ,

∴ t ? 4n , m?2

∴点 R 的坐标为 (2, 4n ) ,点 D 的坐标为 (2, 2n ) ,-----------------10 分

m?2

m?2

∴直线 CD 的斜率为 k

?

n

? 2n m?2
m?2

?

(m

? 2)n ? 2n m2 ? 4

?

mn m2 ?

4



而 m2 ? n2 ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 ,

∴k

?

mn ?n2

?

?

m n

,-----------------12



∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ? m (x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n
∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 4 ? 4 ? 2 ? r , m2 ? n2 4

所以直线 CD 与圆 O 相切.
-----------------14 分


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