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2015届高考二轮数学文科金版学案专题复习课件7.1概率

时间:2015-09-14


随堂讲义· 第一部分

知识复习专题

专题七 概率与统计、推理与证明、
算法初步、框图、复数 第一讲 概率

1.古典概型、几何概型是每年必考内容,重点考 查古典概型. 2.相互独立事件和独立重复试验为常考内容,以

复杂事件的概率为背景,考查学生分类讨论的数学
思想和分析问题、解决问题的能力. 4.预测2015年高考,考第2点的可能性大一些.

Z 主 干考点 梳 理

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Z 主 干考点 梳 理

考点1 随机事件的概率
1.概率的几个性质. (1)0≤P(A)≤1; (2)若事件A为必然事件,则P(A)= 1 ________; (3) 若事件 A 为不可能事件,则 P(A) 0 = ________ ; 2.互斥事件的概率加法公式.
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若 事 件 A 与 事 件 B 互 斥 , 则 P(A∪B) = P(A)+P(B) ________.
3.对立事件. 若事件A与事件B互为对立事件,则P(A∪B)= 1 ________ ,即P(A)= ________ 1- P(B) .

Z 主 干考点 梳 理

考点2 古典概型与几何概型
1.古典概型的概率公式. 对于古典概型,任何事件的概率为: P(A)=________________. 2.几何概型的概率公式. 在几何概型中,事件A的概率计算公式为:
构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)=________________ . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
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Z 主 干考点 梳 理

考点自测
1. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任 取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是 C ( )
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A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红

球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

Z 主 干考点 梳 理

解析 由互斥事件的概念知:“恰有一个黑 球”与“恰有两个黑球”不能同时发生, 但也不对立,故选C.
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G 高 考热点 突 破

2.(2014· 江西卷)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( B ) 1 1 1 1 A. B . C . D. 18 9 6 12
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解析 掷两颗均匀的骰子,共有 36 种基本事件,点数
之和为 5 的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)这四种, 4 1 因此所求概率为 = .故选 B 36 9

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3. (2013· 湖南卷)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随 1 AD 机取一点 P, 使△APB 的最大边是 AB”发生的概率为 , 则 2 AB =( D ) 1 1 3 7 A. B. C. D. 2 4 2 4
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解析

根据几何概型的特点寻找满足条件的

点P,利用直角三角形的性质求解.
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1 由于满足条件的点 P 发生的概率为 ,且点 P 在边 CD 2 上运动,根据图形的对称性当点 P 在靠近点 D 的 CD 边的 1 分点时,EB=AB(当点 P 超过点 E 向点 D 运动时,PB> 4 AB).设 AB=x,过点 E 作 EF⊥AB 交 AB 于点 F,则 BF 3 7 = x.在 Rt△FBE 中,EF2=BE2-FB2=AB2-FB2= 4 16 7 AD 7 x2,即 EF= x,∴AB = . 4 4
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4.(2014· 广东卷)从字母a、b、c、d、e中任 取 两 个 不 同 的 字 母 , 则 取 到 字 母2a 的 概 率 为 ________.

5

解析 所有的基本事件有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、

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(b,c)、(b,d)、(b,e)、(c,d)、(c,e)、(d,e),共 10 个, 其中事件“取到字母 a”所包含的基本事件有(a,b)、(a, 4 2 c)、(a,d)、(a,e),共 4 个,故所求事件的概率为 = . 10 5

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突破点1 互斥事件、对立事件的概率
例 1 某小组共有 10 名学生,其中女生 3 名,现选举 2 名代表,至少有 1 名女生当选的概率为( B ) 7 8 3 A. B. C. D.1 15 15 5
思路点拨: 本题中“至少有1名女生当选”,可 分为两种情况,“一男生一女生当选”或
“二女生当选”或考虑其对立事件“2名男生 当选”.
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解析 解法一 设 A=“至少有 1 名女生当选”;B=“1 男生 1 女生当选”;C=“2 女生当选”;且事件 B 与 事件 C 为互斥事件. 则 P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C). 7×3 7 又 P(B)= = , 10×9 15 2 3 1 P(C)= = , 10×9 15 2

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8 ∴P(A)=P(B)+P(C)= . 15

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解法二 设 A=“至少有 1 名女生当选”, 则- A =“2 名男生当选”, 7×6 7 - 且 P(A )= = , 10×9 15 8 - ∴P(A)=1-P(A )= . 15
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规律方法

(1) 当所求事件情况较复杂时,一般要分类
计算,这就要用到互斥事件的概率加法公式或考 虑其对立事件. (2) 当所求事件中含有 “ 至少 ”“ 至多 ” 或 分类情况较多时,可考虑其对立事件.
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? 跟踪训 练 1 .乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比 分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0
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分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分
的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、 乙的一局比赛中,甲先发球. (1) 求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (2)求开始第5次发球时,甲得分领先的概率.

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解析

记 Ai 表示事件:第 1 次和第 2 次这两次发球,

甲共得 i 分,i=0,1,2; Bi 表示事件:第 3 次和第 4 次这两次发球,甲共得 i 分, i=0,1,2; A 表示事件:第 3 次发球,甲得 1 分; B 表示事件:开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1∶2; C 表示事件:开始第 5 次发球时,甲得分领先. (1)B=A0·A+A1·- A, P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,
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P(A1)=2×0.6×0.4=0.48, P(B)=P(A0·A+A1·- A) =P(A0·A)+P(A1·- A) =P(A0)P(A)+P(A1)P(- A) =0.16×0.4+0.48×(1-0.4) =0.352. (2)P(B0)=0.62=0.36,P(B1)=2×0.4×0.6=0.48, P(B2)=0.42=0.16, P(A2)=0.62=0.36.
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C=A1·B2+A2·B1+A2·B2 P(C)=P(A1·B2+A2·B1+A2·B2) =P(A1·B2)+P(A2·B1)+P(A2·B2) =P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2) =0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16 =0.307 2.
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突破2 古典概型的概率问题
如图,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0, 2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点.
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(1)求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2)求这 3 点与原点 O 共面的概率.

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解析: 果是:

从这6个点中随机选取3个点的所有可能结

x轴上取2个点,有A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1, A1A2C2,共4种; y轴上取2个点,有B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1, B1B2C2,共4种; z轴上取2个点,有C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1, C1C2B2,共4种;
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所选取的3个点在不同坐标轴上,有A1B1C1,A1B1C2, A1B2C1,A1B2C2,A2B1C1,A2B1C2,A2B2C1, A2B2C2,共8种.

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解析: 因此,从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果为
20 种. (1)选取的这 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的 所有可能结果有:A1B1C1,A2B2C2,共 2 种,因此,这 3 个 2 1 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为 P1= = . 20 10 (2) 选取的这 3 个点与原点 O 共面的所有可能结果有 A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,B1B2A1,B1B2A2,B1B2C2, B1B2C1,C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共 12 种,因此 12 3 这 3 个点与原点 O 共面的概率为 P2= = . 20 5
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规律方法

(1) 有关古典概型的概率问题,关键是求出
基本事件总数和事件A包含的基本事件数.

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(2) 在用列举法把所有基本事件一一列出时,
要做到不重复、不遗漏,可借助于 “ 树状图 ” 列 举.

G 高 考热点 突 破 ? 跟踪训



2.某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现

采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生 进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数 目;
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(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一
步数据分析,

①列出所有可能的抽取结果;
②求抽取的2所学校均为小学的概率.

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解析 (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1.
(2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3, 2 所中学分别记为 A4,A5,大学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有 可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6}, {A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5}, {A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有 可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共 3 种. 3 1 所以 P(B)= = . 15 5
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突破点3 几何概型的概率问题
例 3 如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA, OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点 取自阴影部分的概率是( A )
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2 A . 1- π

1 1 B. - 2 π

2 C. π

1 D. π

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解析

此题明显可见是几何概型问题,

设圆O半径为2;总基本事件为π,阴
影部分面积为π-2.

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规律方法 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、 体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型
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求解;
(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的

全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,
有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的 区域.

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? 跟踪训 练 3 .已知 |x|≤2 , |y|≤2 ,点 P 的坐标为 (x , y). (1)求当x,y∈R时,P满足(x-2)2+(y- 2)2≤4的概率; (2)求当x,y∈Z时,P满足(x-2)2+(y- 2)2≤4的概率.
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解析 (1)点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边界),满足
(x-2)2+(y-2)2≤4 的点的区域为以(2,2)为圆心,2 为半径 的圆面(含边界). π ×22 π 4 所求的概率 P1= = . 4×4 16 (2)满足 x,y∈Z,且|x|≤2,|y|≤2 的点有 25 个, 满足 x,y∈Z,且(x-2)2+(y-2)2≤4 的点有 6 个, 6 所求的概率 P2= . 25
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小结反思
1.理解互斥事件与对立事件两个重要概念, 掌握概率的加法公式. (1)互斥事件:若事件 A与事件B在任何一次试 验中不会同时发生,即 A∩B 为不可能事件,则事
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件A与事件B互斥.
(2)概率的加法公式:若事件 A与事件B互斥, 则P(A+B)=P(A)+P(B).

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(3)对立事件:若事件 A与事件B在任何一次试验 中有且仅有一个发生,即 A∩B 为不可能事件,且 A∪B 为必然事件,则称事件 A 与事件 B 互为对立事 件. 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A) + P(B) =1. 2.理解古典概型的定义,掌握古典概型的概率 公式. (1)基本事件的特点.
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①任何两个基本事件是互斥的;

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②任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成基本事件 的和. (2)古典概型的定义. 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型, 简称古典概型: ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ( 有
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限性);
②每个基本事件出现的可能性相等(等可能性). (3)古典概型的概率公式. 对于古典概型,任何事件A的概率为

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A包含的基本事件的个数 P(A)= . 基本事件的总数 利用这个公式计算概率,首先必须确定基本事件具备古典 概型的两个特点, 其次确定基本事件的总数及所求事件 A 中包 含的基本事件的个数. 3.理解几何概型的定义,掌握几何概型的概率公式. (1)几何概型的定义: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面 积或体积 )成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简 称几何概型. (2)几何概型的特点:
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①试验中可能出现的结果不是有限个(即有无限多个); ②试验结果在一个区域内均匀分布,即随机事件的概率大小 与所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关. (3)几何概型的概率公式: 在几何概型中,事件 A 的概率为 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) 利用这个公式求概率,关键是求得事件所占区域和整个区域 的几何度量(长度、面积或体积).
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