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4.2 用数学归纳法证明不等式 课件(人教A选修4-5)

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[读教材· 填要点] 贝努利(Bernoulli)不等式

如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那
么有(1+x)n> . 1+nx

[小问题· 大思维] 在贝努利不等式中,指数n可以取任意实数吗? 提示:可以.但是贝努利不等式的体现形式有所变化.事实 上:当把正整数n改成实数α后,将有以下几种情况出现: (1)当α是实数,并且满足α>1或者α<0时, 有(1+x)α≥1+αx(x>-1). (2)当α是实数,并且满足0<α<1时,用(1+x)α≤1+αx (x>-1).

[研一题] 1 1 1 [例 1] 已知 Sn=1+ + +?+n(n>1,n∈N+), 2 3
n 求证:S2 >1+ (n≥2,n∈N+). 2 [精讲详析] 本题考查数学归纳法的应用, 解答本题需
n

要注意 n 的取值范围,因为 n>1,n∈N+,因此应验证 n0 =2 时不等式成立. (1)当 n=2 1 1 1 25 2 2 时,S2 =1+ + + = >1+ , 2 3 4 12 2

即 n=2 时命题成立.

(2)假设 n=k(k≥2,k∈N+)时命题成立, 1 1 1 k 即 S2k=1+ + +?+ k>1+ . 2 3 2 2 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 k +1 S2 =1+ + +?+ k+ k +?+ k+1 2 3 2 2 +1 2 k 1 1 1 >1+ + k + +?+ k+1 2 2 +1 2k+2 2 k+1 k 2k k 1 >1+ + k =1+ + =1+ . 2 2 +2k 2 2 2 故当 n=k+1 时,命题也成立. n 由(1)、(2)知,对 n∈N+,n≥2,S2 >1+ 都成立. 2
n

[悟一法]
利用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 到 n=k+1 的变形,为满足题目的要求,往往要采用“放缩”等手段, 1 1 1 2k 1 例如在本题中采用了“ k + +?+ k+1> k = ” 2 +1 2k+2 2 2 +2k 2 的变形.

[通一类]
1.证明不等式: 1 1 1 1+ + +?+ <2 n(n∈N*). 2 3 n
证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=2,不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1)时,命题成立,即 1 1 1 1+ + +?+ <2 k. 2 3 k 1 1 1 1 ∵当 n=k+1 时,左边=1+ + +?+ + 2 3 k k+1 2 k?k+1?+1 1 <2 k+ = , k+1 k+1

2 k?k+1?+1 现在只需证明 <2 k+1, k+1 即证:2 k?k+1?<2k+1, 两边平方,整理:0<1,显然成立. 2 k?k+1?+1 ∴ <2 k+1成立. k+1 1 1 1 1 即 1+ + +?+ + <2 k+1成立. 2 3 k k+1 ∴当 n=k+1 时,不等式成立. 由(1)(2)知,对于任何正整数 n 原不等式都成立.

[例 2]

[研一题] n?n-1? 2 n 设 Pn=(1+x) ,Qn=1+nx+ x ,n∈N+, 2

x∈(-1,+∞),试比较 Pn 与 Qn 的大小,并加以证明.

[精讲详析] 本题考查数学归纳法的应用,解答本题需 要先对n取特值,猜想Pn与Qn的大小关系,然后利用数学归 纳法证明. (1)当n=1,2时,Pn=Qn. (2)当n≥3时,(以下再对x进行分类). ①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn. ②若x=0,则Pn=Qn.

③若x∈(-1,0),

则P3-Q3=x3<0,
所以P3<Q3.

P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,
所以P4<Q4.

假设Pk<Qk(k≥3),
则Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk

k?k-1?x2 k?k-1?x3 =1+kx+ +x+kx2+ 2 2 k?k+1? 2 k?k-1? 3 =1+(k+1)x+ x+ x 2 2 k?k-1? 3 =Qk+1+ x <Qk+1, 2 即当 n=k+1 时,不等式成立. 所以当 n≥3,且 x∈(-1,0)时,Pn<Qn.

[悟一法]
(1)利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法

归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归
纳法证明结论成立.

(2)本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化,
变量x也影响Pn与Qn的大小关系,这就要求我们在探索大小

关系时,不能只顾“n”,而忽视其他变量(参数)的作用.

[通一类] 2.已知数列{an},{bn}与函数f(x),g(x),x∈R,满足条件: b1=b,an=f(bn)=g(bn+1)(n∈N*).若函数y=f(x)为R上 的增函数,g(x)=f-1(x),b=1,f(1)<1,证明:对任意

n∈N*,an+1<an.
证明:因为g(x)=f-1(x), 所以an=g(bn+1)=f-1(bn+1), 即bn+1=f(an). 下面用数学归纳法证明an+1<an(n∈N*).

(1)当n=1时,由f(x)为增函数,且f(1)<1,得
a1=f(b1)=f(1)<1, b2=f(a1)<f(1)<1, a2=f(b2)<f(1)=a1, 即a2<a1,结论成立. (2)假设n=k时结论成立,即ak+1<ak. 由f(x)为增函数,得f(ak+1)<f(ak)即bk+2<bk+1,

进而得f(bk+2)<f(bk+1)即ak+2<ak+1.
这就是说当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)和(2)可知,对任意的n∈N*,an+1<an.

[研一题] 1 1 1 1 a [例 3] 若不等式 + + +?+ > 对一 n+1 n+2 n+3 3n+1 24
切正整数 n 都成立,求正整数 a 的最大值,并证明你的结论.

[精讲详析]

本题考查数学归纳法的应用以及探索型

问题的求解方法.解答本题需要根据n的取值,猜想出a的

最大值,然后再利用数学归纳法进行证明.

1 1 1 a 当 n=1 时, + + > , 1+1 1+2 3×1+1 24 26 a 即 > , 24 24 ∴a<26,而 a∈N+, ∴取 a=25. 1 1 1 25 下面用数学归纳法证明 + +?+ > . n+1 n+2 3n+1 24 (1)n=1 时,已证. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时, 1 1 1 25 + +?+ > , k+1 k+2 3k+1 24

则当 n=k+1 时,有 1 1 1 1 1 + +?+ + + + ?k+1?+1 ?k+1?+2 3k+1 3k+2 3k+3 1 3?k+1?+1 1 1 1 1 1 1 =( + +?+ )+( + + - k+1 k+2 3k+1 3k+2 3k+3 3k+4 1 25 1 1 2 )> +[ + - ]. k+1 24 3k+2 3k+4 3?k+1? 6?k+1? 1 1 2 ∵ + = 2 > , 3k+2 3k+4 9k +18k+8 3?k+1?

1 1 2 ∴ + - >0, 3k+2 3k+4 3?k+1? 1 1 1 25 ∴ + +?+ > 也成立. ?k+1?+1 ?k+1?+2 3?k+1?+1 24 1 1 由(1)、(2)可知,对一切 n∈N+,都有 + +?+ n+1 n+2 1 25 > ,∴a 的最大值为 25. 3n+1 24

[悟一法] 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是:先通过
观察、判断,猜想出结论, 然后用数学归纳法证明.这种 分析问题和解决问题的思路是非常重要的,特别是在求解 存在型或探索型问题时.

[通一类] 3. 对于一切正整数 n, 先猜出使 tn>n2 成立的最小的正整数 t,
lg3 然后用数学归纳法证明,并再证明不等式:n(n+1)· 4 >lg(1· 3· n). 2· ?·

解:猜想当t=3时,对一切正整数n使3n>n2成立.下面
用数学归纳法进行证明. 当n=1时,31=3>1=12,命题成立. 假设n=k(k≥1,k∈N+)时,3k>k2成立,

则有3k≥k2+1.

对n=k+1,3k+1=3·k=3k+2·k 3 3
≥k2+2(k2+1)>3k2+1. ∵(3k2+1)-(k+1)2 =2k2-2k=2k(k-1)≥0, ∴3k+1>(k+1)2,

∴对n=k+1,命题成立.
由上知,当t=3时,对一切n∈N+,命题都成立.

再用数学归纳法证明: lg3 n(n+1)· >lg(1· 3· n). 2· ?· 4 lg3 lg3 当 n=1 时,1· (1+1)· = >0=lg1,命题成立. 4 2 假设 n=k(k≥1,k∈N+)时, lg3 k(k+1)· >lg(1· 3· k)成立. 2· ?· 4 lg3 当 n=k+1 时,(k+1)(k+2)· 4

lg3 lg3 =k(k+1)· +2(k+1)· 4 4 1 k+1 >lg(1· 3· k)+ lg3 2· ?· 2 1 >lg(1· 3· k)+ lg(k+1)2 2· ?· 2 =lg[1· 3· k· 2· …· (k+1)].命题成立. 由上可知,对一切正整数 n,命题成立.

本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考 查数学归纳法的应用.2012年全国卷将数列、数学归纳法 与直线方程相结合考查,是高考模拟命题的一个新亮点.

[考题印证] (2012· 大纲全国卷)函数f(x)=x2-2x-3.定义数列{xn} 如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线 PQn与x轴交点的横坐标. (1)证明:2≤xn<xn+1<3;

(2)求数列{xn}的通项公式.
[命题立意] 本题考查数学归纳法证明不等式问题,

考查学生推理论证的能力.

[解]

(1)用数学归纳法证明:2≤xn<xn+1<3.

①当 n=1 时,x1=2,直线 PQ1 的方程为 f?2?-5 y-5= (x-4), 2-4 11 令 y=0,解得 x2= ,所以 2≤x1<x2<3. 4 ②假设当 n=k 时,结论成立,即 2≤xk<xk+1<3. 直线 PQk+1 的方程为 f?xk+1?-5 y-5= (x-4), xk+1-4 3+4xk+1 令 y=0,解得 xk+2= . 2+xk+1

由归纳假设知 3+4xk+1 5 5 xk+2= =4- <4- =3; 2+xk+1 2+xk+1 2+3 ?3-xk+1??1+xk+1? xk+2-xk+1= >0, 2+xk+1 即 xk+1<xk+2. 所以 2≤xk+1<xk+2<3, 即当 n=k+1 时, 结论成立. 由①、②知对任意的正整数 n,2≤xn<xn+1<3.

3+4xn (2)由(1)及题意得 xn+1= . 2+xn 设 bn=xn-3,则 5 = +1, bn+1 bn 1 1 1 + =5(b + ), 4 bn+1 4 n 1 1 3 数列{b + }是首项为- ,公比为 5 的等比数列. 4 4 n 1 1 3 n-1 因此b + =- · , 5 4 4 n 1 1

即 bn=- n-1 , 3· +1 5 所以数列{xn}的通项公式为 xn=3- n-1 . 3· +1 5 4

4

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