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【数学】2012届高三数学一轮复习:圆锥曲线方程及性质

时间:2011-10-31


知识改变命运, 知识改变命运,学习成就未来
2011~2012 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料

第 33 讲
【课标要求】 一. 课标要求】 【课标要求

圆锥曲线方程及性质

1. 了解圆锥曲线的实际背景, 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、 几何图形及简单性质; 3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质

【命题走向】 二. 命题走向】 【命题走向
本讲内容是圆锥曲线的基础内容, 也是高考重点考查的内容, 在每年的高考试卷中一般 有 2~3 道客观题,难度上易、中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性 质, 从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。 圆锥曲线在高考试题中占有稳定 的较大的比例, 且选择题、 填空题和解答题都涉及到, 客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、 标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法 对于本讲内容来讲,预测 2010 年: (1)1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题,主要是求值问题; (2)可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用,结合三种形式的圆锥曲线的定义。

【要点精讲】 三. 要点精讲】 【要点精讲
1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两 个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有

| MF1 | + | MF2 |= 2a
椭圆的标准方程为:

(a > b > 0) (焦点在 y 轴上) 。

x2 y2 y2 x2 + 2 =1( a > b > 0 ) (焦点在 x 轴上)或 2 + 2 = 1 a2 b a b
2 2 2

注:①以上方程中 a, b 的大小 a > b > 0 ,其中 c = a ? b ;

x2 y2 y 2 x2 + 2 = 1 和 2 + 2 = 1 两个方程中都有 a > b > 0 的条件,要分清焦点的位置, a2 b a b x2 y 2 2 只要看 x 和 y 2 的分母的大小。例如椭圆 + = 1 ( m > 0 , n > 0 , m ≠ n )当 m > n m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m < n 时表示焦点在 y 轴上的椭圆
②在 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程

y = ±b 所围成的矩形里;

x2 y2 + = 1 知 | x |≤ a , | y |≤ b ,说明椭圆位于直线 x = ± a , a2 b2

②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点

( x, ? y ) 也在曲线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ? x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。若同时以 ? x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中
心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭 圆的标准方程中,令 x = 0 ,得 y = ±b ,则 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。

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同理令 y = 0 得 x = ± a ,即 A1 ( ? a,0) , A2 ( a, 0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2a 和 2b , a 和

b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;在 Rt ?OB2 F2 中,| OB2 |= b ,

| OF2 |= c , | B2 F2 |= a ,且 | OF2 |2 =| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 ,即 c 2 = a 2 ? c 2 ; c ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e = 叫椭圆的离心率。∵ a > c > 0 ,∴ 0 < e < 1 , a 且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就 越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a = b 时, c = 0 ,两焦 2 2 2 点重合,图形变为圆,方程为 x + y = a 。
2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线 。 ( || PF1 | ? | PF2 ||= 2a ) 注意:①(*)式中是差的绝对值,在 0 < 2a <| F1 F2 | 条件下; | PF1 | ? | PF2 |= 2a 时 为双曲线的一支(含 F2 的一支) | PF2 | ? | PF1 |= 2a 时为双曲线的另一支(含 F1 的一支) ; ; ② 当 2a =| F1 F2 | 时 , || PF1 | ? | PF2 ||= 2a 表 示 两 条 射 线 ; ③ 当 2a >| F1 F2 | 时 ,

|| PF1 | ? | PF2 ||= 2a 不表示任何图形; ④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点, F1 F2 | 叫做焦距。 |
椭圆和双曲线比较:

椭 圆 定 | PF1 | + | PF2 |= 2a (2a >| F1 F2 |) 义 方 x2 y2 x2 y2 + 2 =1 + 2 =1 a2 b b2 a 程 焦 F (± c, 0) F (0, ± c) 点 注意:如何有方程确定焦点的位置!
(2)双曲线的性质 ①范围:从标准方程





线

|| PF1 | ? | PF2 ||= 2a (2a <| F1 F2 |)
x2 y2 ? 2 =1 a2 b y2 x2 ? =1 a2 b2

F (± c, 0)

F (0, ± c)

x2 y2 ? = 1 ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线 a 2 b2 x = ± a 的外侧。即 x 2 ≥ a 2 , x ≥ a 即双曲线在两条直线 x = ± a 的外侧。 x2 y2 ②对称性:双曲线 2 ? 2 = 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双 a b x2 y2 曲线的对称轴,原点是双曲线 2 ? 2 = 1 的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中 a b
心。

x2 y2 ? = 1 的方程里, a 2 b2 对 称 轴 是 x, y 轴 , 所 以 令 y = 0 得 x = ± a , 因 此 双 曲 线 和 x 轴 有 两 个 交 点
③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线

x2 y2 A (? a,0) A2 (a,0) ,他们是双曲线 2 ? 2 = 1 的顶点。 a b 令 x = 0 ,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点。
1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点) ,双曲线的顶

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点分别是实轴的两个端点。 2)实轴:线段 A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚 轴:线段 B B2 叫做双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长 ④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为 双曲线的渐近线。从图上看,双曲线

x2 y2 ? = 1 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接 a 2 b2

近。 ⑤等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: a = b ; (2)渐近线互相垂直 2)等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: y = ± x ; 注意以上几个性质与定义式彼此等价。 亦即若题目中出现上述其一, 即可推知双曲线为 等轴双曲线,同时其他几个亦成立。 3)注意到等轴双曲线的特征 a = b ,则等轴双曲线可以设为: x 2 ? y 2 = λ (λ ≠ 0) , 当 λ > 0 时交点在 x 轴,当 λ < 0 时焦点在 y 轴上 ⑥注意

x2 y2 y 2 x2 ? = 1 与 ? = 1 的区别:三个量 a, b, c 中 a, b 不同(互换) c 相同, 16 9 9 16

还有焦点所在的坐标轴也变了。 3.抛物线 (1)抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 方程 y 2 = 2 px

( p > 0 ) 叫做抛物线的标准方程。
p ,0) ,它的准线方 2

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐标是 F( 程是 x = ?

p ; 2

(2)抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物 线的标准方程还有其他几种形式: y 2 = ?2 px , x 2 = 2 py , x 2 = ?2 py .这四种抛物线的 图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:

标准方程

y 2 = 2 px ( p > 0) y l

y 2 = ?2 px ( p > 0) y l

x 2 = 2 py ( p > 0) y

x 2 = ?2 py ( p > 0)

o F
图形

x

F o

x

l

F o

x

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焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率

p ( , 0) 2 p x=? 2 x≥0 x轴 (0, 0) e =1

(?

p , 0) 2 p x= 2 x≤0 x轴 (0, 0) e =1

p (0, ) 2 p y=? 2 y≥0 y轴 (0, 0) e =1

p (0, ? ) 2 p y= 2 y≤0 y轴 (0, 0) e =1

说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性 质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3) 注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离。

【典例解析】 四. 典例解析】 【典例解析
题型 1:椭圆的概念及标准方程 例 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: 椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于 10 ; (1) 两个焦点的坐标分别是 ( ?4, 0) 、(4, 0) , (2)两个焦点的坐标分别是 (0, ?2) 、 (0, 2) ,并且椭圆经过点 ( ?

3 5 , ); 2 2

b; (4)焦点在 y 轴上, a + b = 5 ,且过点 ( ? 2, 0) ; (5)焦距为 b , a ? b = 1 ; 3 5 (6)椭圆经过两点 ( ? , ) , ( 3, 5) 。 2 2
2 2

(3)焦点在 x 轴上, a : b = 2 :1 , c =

解析: (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,故设椭圆的标准方程为 ∵ 2a = 10 , c = 4 ,∴ b = a ? c = 9 ,
2 2 2

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) , a2 b2

x2 y 2 所以,椭圆的标准方程为 + =1。 25 9
(2)∵椭圆焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义知,

y 2 x2 + = 1( a > b > 0 ) , a 2 b2

3 5 3 5 3 1 2a = (? ) 2 + ( + 2) 2 + (? )2 + ( ? 2) 2 = 10 + 10 = 2 10 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a = 10 ,又∵ c = 2 ,∴ b = a ? c = 10 ? 4 = 6 ,
所以,椭圆的标准方程为 (3)∵ c =
2 2

y 2 x2 + = 1。 10 6

6 ,∴ a 2 ? b 2 = c 2 = 6 ,①
2 2

又由 a : b = 2 :1 代入①得 4b ? b = 6 , ∴ b = 2 ,∴ a = 8 ,又∵焦点在 x 轴上, 所以,椭圆的标准方程为

x2 y 2 + = 1。 8 2

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(4)设椭圆方程为 ∴

y 2 x2 + = 1, a 2 b2

2 = 1 ,∴ b 2 = 2 , 2 b 2 2 2 又∵ a + b = 5 ,∴ a = 3 , y 2 x2 所以,椭圆的标准方程为 + = 1. 3 2 (5)∵焦距为 6 ,∴ c = 3 , 2 2 2 ∴ a ? b = c = 9 ,又∵ a ? b = 1 ,∴ a = 5 , b = 4 , x2 y 2 y 2 x2 所以,椭圆的标准方程为 + =1或 + = 1. 25 16 25 16 x2 y 2 (6)设椭圆方程为 + = 1 ( m, n > 0 ) , m n 5 2 ? 3 2 ? (? 2 ) ( 2 ) + =1 ? 由? m 得 m = 6, n = 10 , n ?3 5 ? + =1 ?m n
所以,椭圆方程为

y 2 x2 + + =1. 10 6

点评: 求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义, 还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间 的关系 例 2. (06 山东)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) (1) ,且长轴长是 短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 。 (2) (06 天津理,8)椭圆的中心为点 E ( ?1 0) ,它的一个焦点为 F ( ?3, ,相应于焦 , 0) 点 F 的准线方程为 x = ?

7 ,则这个椭圆的方程是( 2
B.



A.

2( x ? 1) 2 2 y 2 + =1 21 3 ( x ? 1) 2 + y2 = 1 5

2( x + 1) 2 2 y 2 + =1 21 3 ( x + 1) 2 + y2 = 1 5

C.

D.

?b 2 = 4 ? ?a = 2b, c = 2 3 ? 2 2 y2 ? 解析: (1)已知 ? ? ? ?a = 16 ? x + = 1 为所求; 16 4 ?a 2 ? b 2 = c 2 ? ? F ( ?2 3,0) ? ? (2)椭圆的中心为点 E ( ?1, 0), 它的一个焦点为 F (?3, 0), 7 ∴ 半焦距 c = 2 ,相应于焦点 F 的准线方程为 x = ? . 2

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a2 5 (x +1)2 2 = , a2 = 5, b2 =1,则这个椭圆的方程是 + y =1,选 D。 c 2 5

点评:求椭圆方程的题目属于中低档题目,掌握好基础知识就可以。 题型 2:椭圆的性质 例 3. (06 山东理,7)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到 (1) 相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为( (A) 2 (B) )

2 2

(C)

1 2

(D)

2 4

(2) (2009 全国卷Ⅰ理)设双曲线 切,则该双曲线的离心率等于( A. 3 B.2

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相 a2 b2

) C. 5
'

D. 6

【解析】设切点 P ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 y 由题意有

|x = x0 = 2 x0 .

y0 = 2 x0 又 y0 = x0 2 + 1 x0
2

解得: x0 = 1,∴ 【答案】C

b b = 2, e = 1 + ( ) 2 = 5 . a a

点评:本题重点考查了椭圆和双曲线的基本性质。 例 4. 1) 2009 全国卷Ⅰ理) ( ( 已知椭圆 C : (

x2 + y 2 = 1 的右焦点为 F ,右准线为 l , A ∈ l , 点 2 uuuu r
) D. 3

线段 AF 交 C 于点 B ,若 FA = 3FB ,则 | AF | =( A.

uuu r

uuu r

2

B. 2

C. 3

【解析】 过点 B 作 BM ⊥ l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N, 易知 FN=1.由题意 FA = 3FB , 故 | BM |= 【答案】A

uuu r

uuu r

2 2 2 2 .又由椭圆的第二定义,得 | BF |= ? = ∴| AF |= 2 .故选 A 3 2 3 3

(2) (2009 浙江理)过双曲线

x2 y2 ? = 1 (a > 0, b > 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线, a2 b2

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该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB = ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 10

uuu r

r 1 uuu BC ,则双曲线的离心率是 2

【解析】对于 A ( a, 0 ) ,则直线方程为 x + y ? a = 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C,

? a2 ab ? a2 ab B? , , C( ,? ) 则有 ? a ?b a ?b ? a+b a+b?

uuu r r uuu uuu r r 2a 2b 2a 2b uuu ? ab ab ? 2 2 , BC = ( 2 2 , ? 2 2 ), AB = ? ? ,因 2 AB = BC ,∴ 4a = b ,∴ e = 5 . ? a ?b a ?b a+b a+b? ?
【答案】C

题型 3:双曲线的方程 例 5. (1)已知焦点 F1 (5, 0), F2 ( ?5, 0) ,双曲线上的一点 P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值 等于 6 ,求双曲线的标准方程; (2)求与椭圆

x2 y 2 + = 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程; 25 5

( 3 ) 已 知 双 曲 线 的 焦 点 在 y 轴 上 , 并 且 双 曲 线 上 两 点 P , P2 坐 标 分 别 为 1

9 (3, ?4 2), ( ,5) ,求双曲线的标准方程。 4
解 析 :( 1 ) 因 为 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上 , 所 以 设 它 的 标 准 方 程 为

x y2 ? 2 = 1 (a > 0, b > 0) , a2 b 2 2 2 ∵ 2a = 6, 2c = 10 ,∴ a = 3, c = 5 ,∴ b = 5 ? 3 = 16 。 x2 y 2 所以所求双曲线的方程为 ? = 1; 9 16 x2 y 2 (2)椭圆 + = 1 的 焦 点 为 (2 5, 0), (?2 5, 0) , 可 以 设 双 曲 线 的 方 程 为 25 5 x2 y2 ? = 1 ,则 a 2 + b 2 = 20 。 a2 b2 18 2 又∵过点 (3 2, 2) ,∴ 2 ? 2 = 1 。 a b x2 y2 2 2 综上得, a = 20 ? 2 10, b = 2 10 ,所以 ? = 1。 20 ? 2 10 2 10 点评:双曲线的定义;方程确定焦点的方法;基本量 a, b, c 之间的关系。 (3)因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为 y 2 x2 ? = 1(a > 0, b > 0) ①; a 2 b2

2

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∵点 P , P2 在双曲线上,∴点 P , P2 的坐标适合方程①。 1 1

? (?4 2) 2 32 ? 2 =1 ? 2 b 9 ? a 将 (3, ?4 2), ( ,5) 分别代入方程①中,得方程组: ? 9 2 4 ? 25 ( ) ? 2 ? 42 = 1 b ?a 1 ?1 ? a 2 = 16 1 1 ? 将 2 和 2 看着整体,解得 ? , 1 1 a b ? = ? b2 9 ? 2 ?a = 16 y 2 x2 ? ∴? 2 即双曲线的标准方程为 ? = 1。 16 9 ?b = 9 ?
点评:本题只要解得 a , b 即可得到双曲线的方程,没有必要求出 a, b 的值;在求解的 过程中也可以用换元思想,可能会看的更清楚 例 6.已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,且焦距与虚轴长之比为 5 : 4 , 则双曲线的标准方程是____________________. 解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,则焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距与 虚轴长之比为 5 : 4 ,即 c : b = 5 : 4 ,解得 c = 5, b = 4 ,则双曲线的标准方程是
2 2

x2 y 2 ? = 1; 9 16

点评: 本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。 充分挖掘双 曲线几何性质,数形结合,更为直观简捷 题型 4:双曲线的性质 例 7. (1) (2009 安徽卷理)下列曲线中离心率为 6 的是 2 A.

x2 y2 ? =1 2 4

B.

x2 y 2 ? =1 4 2

2 2 C. x ? y = 1

4

6

2 2 D. x ? y = 1

4

10

【解析】由 e = 【答案】B 】B

6 c2 3 b2 3 b2 1 得 2 = ,1 + 2 = , 2 = ,选 B. 2 a 2 a 2 a 2

(2) (2009 江西卷文)设 F1 和 F2 为双曲线

x2 y2 ? = 1 ( a > 0, b > 0 )的两个焦点, 若 a2 b2

F1,F2 , P (0, 2b) 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
A.

3 2

B. 2

C.

5 2

D.3

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【解析】由 tan 【答案】B

π
6

=

c 3 c = 有 3c 2 = 4b 2 = 4(c 2 ? a 2 ) ,则 e = = 2 ,故选 B. 2b 3 a

(3) (2009 天津卷文)设双曲线 双曲线的渐近线方程为( ) A. y = ± 2 x B . y = ±2 x

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则 a2 b2

C.y = ±

2 x 2

D. y = ±

1 x 2

【解析】由已知得到 b = 1, c = 近线方程为 y = ± 【答案】C

3 , a = c 2 ? b 2 = 2 ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,故渐

b 2 x=± x a 2

【考点定位】 本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。 考察了同学们的运算能力和推理 能力。

例 8. (1)(2009 湖北卷理)已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? = 1 的准线过椭圆 + 2 = 1 的焦点,则直 2 2 4 b
)

线 y = kx + 2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是( A. K ∈ ? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?

B. K ∈ ? ?∞, ? ? 2 D. K ∈ ? ?∞, ?
a2 2 = ± = ±1 b 2
x2 y2 + =1 4 3

? ?

1?

U ? , +∞ ? ? ? ?2

?1

?

C. K ∈ ? ?

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

? ? ?

? 2? ? 2 , +∞ ? ?U? ? 2 ? ? 2 ?

【解析】易得准线方程是 x = ±

所以 c 2 = a 2 ? b 2 = 4 ? b 2 = 1 即 b 2 = 3 所以方程是

联立 y = kx + 2 可得 3x 2 +(4k 2 +16k)x + 4 = 0 由 ? ≤ 0 可解得 A. 【答案】A

(2) (2009 四川卷文、理)已知双曲线

x2 y2 ? = 1(b > 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 , 2 b2

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其一条渐近线方程为 y = x ,点 P ( 3 , y 0 ) 在双曲线上.则 PF1 · PF2 =( A. -12 B. -2 C. 0 D. 4 )

2 2 【解析】由渐近线方程为 y = x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x ? y = 2 ,于 】

是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0) ,且 P ( 3 ,1) 或 P ( 3 ,?1) .不妨去 P ( 3 ,1) ,则

PF1 = (?2 ? 3 ,?1) , PF2 = (2 ? 3 ,?1) .
∴ PF1 · PF2 = ( ?2 ? 3 ,?1)(2 ? 3 ,?1) = ?( 2 + 3 )( 2 ? 3 ) + 1 = 0 【答案】C 】

(3) (2009 全国卷Ⅱ理)已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 = 1( a > 0, b > 0 ) 的右焦点为 F ,过 F 且斜 b2
( )

率为 3 的直线交 C 于 A、B 两点,若 AF = 4 FB ,则 C 的离心率为
m

A.

6 5
x2 a

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5

【解析】设双曲线 C: 2 ? 】

y2 = 1 的右准线为 l ,过 A、B 分 别作 AM ⊥ l 于 M , BN ⊥ l 于 b2

N , BD ⊥ AM 于D , 由 直 线 AB 的 斜 率 为

3 , 知 直 线 AB 的 倾 斜 角

60°∴∠BAD = 60°,| AD |=
由双曲线的第二定义有

1 | AB | , 2

r uuu r r uuu r 1 uuu 1 1 uuu | AM | ? | BN |=| AD |= (| AF | ? | FB |) = | AB |= (| AF | + | FB |) . e 2 2 uuu 5 uuu r r 1 6 又Q AF = 4 FB ∴ ? 3 | FB |= | FB |∴ e = . e 2 5
【答案】A 】 题型 5:抛物线方程 例 9. (1))焦点到准线的距离是 2; (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0, ? 2),求它的标准方程 解析: (1)y 2 =4x,y 2 = ? 4x,x 2 =4y,x 2 = ? 4y;

方程是 x 2 = ? 8y。 点评:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数 p,因此只 要给出确定 p 的一个条件, 就可以求出抛物线的标准方程。 当抛物线的焦点坐标或准线方程 给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求

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的标准方程就会有多解。 题型 6:抛物线的性质 例 10. (1)若抛物线 y 2 = 2 px 的焦点与椭圆 ( ) A. ?2
2

x2 y 2 + = 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2
D. 4

B. 2

C. ?4 ) (C) y = ?2

(2)抛物线 y = 8 x 的准线方程是( (A) x = ?2 (B)

x = ?4
2

(D) y = ?4 ) D. 4,0) (-

(3) (2009 湖南卷文)抛物线 y = ?8 x 的焦点坐标是( A. (2,0) B. 2,0) (C. (4,0)

x2 y 2 解析: (1)椭圆 + = 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 = 2 px 的焦点为(2,0),则 6 2 p = 4 ,故选 D;
(2)2p=8,p=4,故准线方程为 x=-2,选 A; (3) 解析】由 y 2 = ?8 x ,易知焦点坐标是 ( ? 【 】

p , 0) = (?2, 0) ,故选 B. 2

【答案】B 】 点评:考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。 例 11.1)全国卷 I) ( ( 抛物线 y = ? x 2 上的点到直线 4 x + 3 y ? 8 = 0 距离的最小值是 ( ) A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

(2)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) 。 2 (3)对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范 围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,2 ] C.[0,2] D.(0,2)

能使这抛物线方程为 y2=10x 的条件是
2

. (要求填写合适条件的序号)

解析: (1)设抛物线 y = ? x 上一点为(m,-m2),该点到直线 4 x + 3 y ? 8 = 0 的距离

| 4m ? 3m 2 ? 8 | 2 4 为 ,当 m= 时,取得最小值为 ,选 A; 3 3 5
(2)答案:②,⑤ 解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定⑤。 (3)答案:B

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y 解析:设点 Q 的坐标为( 0 ,y0) , 4
由 |PQ|≥|a|,得 y02+(

2

y0 -a)2≥a2. 4

2

整理,得:y02(y02+16-8a)≥0, ∵y02≥0,∴y02+16-8a≥0.

y y 即 a≤2+ 0 恒成立.而 2+ 0 的最小值为 2. 8 8
∴a≤2.选 B。 点评:抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。

2

2

【思维总结】 五. 思维总结】 【思维总结
在复习过程中抓住以下几点: (1)坚持源于课本、高于课本,以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》. 并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定, 其实质是精通课本, 而本章考题大多 数是课本的变式题,即源于课本,因此掌握双基、精通课本是关键; (2)在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧,椭圆、双曲线、抛 物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离 心率有关量的关系问题,若能用定义法,可避免繁琐的推理与运算; ,F (3)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的 焦半径公式分别为(p>0) :

p ; y 2 = ?2 px : PF = ? x1 + 2 p x 2 = 2 py : PF = y1 + ; x 2 = ?2 py : PF = ? y1 + 2 y 2 = 2 px : PF = x1 +

p 2 p 2

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