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3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

时间:2018-01-10


授课课题:3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

◆ 课前小测
3 1、已知 cos a ? , 0 ? a ? ? ,求 cos ? a ? ? ? 的值. 5

2、已知 tan a, tan ? 是方程 2 x 2 ? 3x ? 7 ? 0 的两个实数根,求 tan ? a ? ? ? 的值.

3、化简: (1) 3 sin
x x ? cos 2 2

(2) sin 347? cos148? ? sin 77? cos 58?

(3) sin ? a ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? ? ? a ? sin ? ? ? ? ?

1

教 学 内 容
? 考纲要求
1. 重点: ① ② ③ ④ 两角和与差的余弦公式 两角和与差的正弦公式 两角和与差的正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式

2、难点:用两角和与差的正弦和余弦公式进行化简及恒等式证明;

? 知识点回顾

知识点一:两角和与差的余弦公式
________ . 1、两角和的余弦公式:C(α-β): cos(? ? ? ) ? __________

2、两角差的余弦公式:C(α+β): cos?a ? ? ? ? __________ ___.
(? ? ?) ? cos? ? cos? ,并且 cos (? ? ?) ? cos? ? cos? ? 注意:一般情况下, cos

?

(? ? ?)cos ? ? sin (? ? ?)sin? ? cos ? ? ? cos? 公式的逆用:如 cos ? ?? ? ? ? ? ? ?

(? ? ?)cos? ? sin (? ? ?)sin? ? 拆角变换: cos? ? cos ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? cos

例 1、计算 cos(-15o)的值为( A.
6? 2 2

). C.
6? 2 2

B.

6? 2 4

D. )

6? 2 4

练 1、cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°=( 1 1 A.- B. C.0 D.1 2 2

练 2、化简 cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α 得(

)
2

A.cos α C.cos(2α +β )

B.cos β D.sin(2α +β ) ) D. ?
3 2

练 3、sin7ocos23o+sin83ocos67o 的值为( A. ?
1 2

B.

1 2

C.

3 2

知识点二:两角和与差的正弦公式 1、两角和的正弦公式:S(α+β): sin?a ? ? ? ? __________ ___. 2、两角差的正弦公式:S(α-β): sin(? ? ? ) ? __________ _________ . ? 注意:公式的逆用: sin(α ? β)cosβ ? cos(α ? β)sinβ ? sin ? ?? α ? β ? ? β ? ? ? sinα
? cosαsinβ ? sinαcosβ 拆分变换: sin(α ? β)

? 补充内容:两角互余或互补 ① 若α +β =________,其α 、β 为任意角,我们就称α 、β 互余. π π 例如: -α 与__________互余, +α 与________互余. 4 6 ② 若α +β =________,其α ,β 为任意角,我们就称α 、β 互补. π 2 例如: +α 与______________互补,____________与 π -α 互补. 4 3 例 1、计算 sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于( ) 1 3 2 3 A. B. C. D. 2 3 2 2 例 2、 sin 16o cos29o ? cos16o sin 29o ? 练 2、 sin 200o cos140o ? cos160o sin 40o 化简得 . . )

4 3 例 3、若锐角α 、β 满足 cos α = ,cos(α +β )= ,则 sin β 的值是( 5 5 3 7 1 4 A. B. C. D. 5 25 5 25 例 4、化简: 1 3 sin a (1) cos a ? (2) 3 sin x ? cos x 2 2

知识点三:两角和与差的正切公式
3

1、两角和的正切公式: tan( ? ? ? ) ? __________ _________ .

? ? ? ) ? __________ _________ . 2、两角差的正切公式: tan(
sin( ? ? ) cos ? 2 ? 注意:诱导公式: tan( ? ? ) ? ? ? 2 cos( ? ? ) sin ? 2

?

?

例 1、 tan 105 ? =

. .

?? ? 练 1、 tan? ? ? ? ? 2 ,则 tan ? ? ?4 ?

知识点四:二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? 2、 cos 2? ? ; = = ;

3、 tan 2? ? _______________ ; 4、 cos 2 ? ? 5、 sin 2 ? ? 例 1、 tan 75? ? 练 1、
1 ? tan 75 ? ? 1 ? tan 75 ? 例 2、sin105°cos105°的值为(

; .

) C. 3 4 D.- 3 4 ) 3 4

1 A. 4

B.-

1 4

1 π π 例 3、若 sin2α = , <α < ,则 cosα -sinα 的值是( 4 4 2 A. 3 2 B.- 3 2 C. 3 4 D.-

? 题型分析、讲解
4

题型一、给角求值问题 练 1、求值:

(1)cos70°cos335°+sin110°sin25° (2) tan 72o ? tan 42o ? (3 )
3 tan 72o tan 42o 3

sin 7? ? cos15? sin 8? cos 7? ? cos15? sin 8?

? 小结: “给值求角”问题,实际上也可转化为“给值求值”问题,求一个角的值,可分以下三 步进行: ①求角的某一三角函数值; ②确定角所在的范围(找一个单调区间); ③确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目而定.

题型二、给值求值问题 常见: 1、已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差. 2、已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系,或“互余、互补”关系. 练 1、在△ABC 中,∠A=15°,则 A. 2 B. 2 2 C. 3 2

3sinA-cos(B+C) 的值为(
D. 2

)

3 5 练 2、在△ABC 中, cosA ? , cos B ? ,求 cos C 的值. 5 13

5

3 3 ?? ? ? 3? 练 3、已知 sin a ? , a ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? ? ? ? , 2 4 ?2 ? ? 2

? ? ,求 sin ? a ? ? ? ,cos ? a ? ? ? , tan ? a ? ? ? . ?

? 小结:给式求值或给值求值问题,即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值),求另 外一些角的三角函数值,关键在于“变式”或“变角” ,使“目标角”换成“已知角” .注意公 式的正用、逆用、变形用,有时需运用拆角、拼角等技巧. 题型三、给值求角 练、已知 sin(a ? 答案:

?
2

)?

? ? ? ? ? ?? 5 ? 10 的值。 , sin(? ? ) ? , 且 ? ? ? (0, ), ? ? ? (0, ) ,求 2 2 2 2 2 5 2 10

? 4

题型四、三角函数的化简求值 练 1、化简:

1 3 (1) cos a ? sin a . 2 2
(2) 3 15 sin x ? 3 5 cos x

练 2、化简 答案:0

sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? ? sin ? sin ? sin ? sin ? sin ? sin ?

6

题型五、三角函数恒等式的证明 练、求证:
sin( 2? ? ? ) sin ? ? 2 cos( ? ? ? ) ? sin ? sin ?

题型六、三角形中的有关问题 练 1、在△ABC 中,已知 sinAcosA=sinBcosB,则△ABC 是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 )

练 2、在三角形 ABC 中,三内角分别是 A、B、C,若 sin C=2cos Asin B,则三角形 ABC 一定 是( ) A.直角三角形 C.等腰三角形 B.正三角形 D.等腰直角三角形

3 5 练 3、在△ABC 中, sin A ? (0o <A<45 o ),cosB ? (45 o <B<90 o ) ,求 sin C 与 cos C 的值 5 13

题型七、二倍角的求值问题 (1) sin 15o ? cos15o (2) cos
6 2
1 4

?
12

cos

5? 12

7

题型八、二倍角公式在三角形中的应用
4 练、在△ABC 中, cos A ? , tan B ? 2 ,求 tan(2 A ? 2B) 的值 5

? 课堂练习
一、选择题: 1.sin105°cos105°的值为( A. C. 1 4 3 4 ) B.- D.- 1 4 3 4 B

1 1 1 解析 原式= sin210°=- sin30°=- .答案 2 2 4

3 ?? ?? ? ? 已知 cos ? x ? ? =- ,则 cosx+cos ? x ? ? 的值是( 3 6? 3? ? ? 2 3 A.- 3 C.-1 答案:C B.± 2 3 3

)

D.±1

3 π 12 2、已知 cosα =- ,α ∈( ,π ),sinβ =- ,β 是第三象限角,则 cos(β -α ) 5 2 13 的值是( 33 A.- 65 C. 56 65 ) B. 63 65 16 65

D.-

3、在△ABC 中,已知 sinAcosA=sinBcosB ,则△ABC 是(

)
8

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析 ∵sin2A=sin2B,∴∠A=∠B,或∠A+∠B= 答案 D 4、cos 15° 的值是________. 1 π π 5、已知 sinθ = ,θ ∈( ,π ),则 cos(θ - )的值为________. 5 2 3 6、已知 a, ? ∈( 3π 3 π 12 π ,π ),sin(α +β )=- ,sin(β - )= ,求 cos(α + )的值. 4 5 4 13 4 π . 2

2 ?? ? ? ? 3? 7、已知 cos ? x ? ? = , x ? ? , 4 ? 10 ? ?2 4 (1)求 sinx 的值;

? ?. ?

?? ? (2)求 sin 2 ? x ? ? 的值. 3? ?

9

? 课后作业 学生签名:
A.cos(α +2β ) C.cosα

授课日期:

成绩:
)

1、化简 cos(α +β )cosβ +sin(α +β )sinβ 的结果为( B.cos(2α +β ) D.cosβ

解析:cos(α +β )cosβ +sin(α +β )sinβ =cos[(α +β )-β ]=cosα . 答案:C 2cos10°-sin20° 2、化简: =________. cos20°

10


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