nbhkdz.com冰点文库

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题

时间:2015-03-18

专题之 4、创新与综合题
一、选择题。
1.(2011 年复旦大学)设正整数 n 可以等于 4 个不同的正整数的倒数之和,则这样的 n 的个数 是 A.1 B.2 C.3 D.4

2.(2011 年同济大学等九校联考)设 σ 是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为错误!未找 到引用源。 的旋转,τ 表示坐标平面关于 y 轴的镜面反射,用 τσ 表示变换的复合,先做 τ,再做 σ,
k 2 3 4 用 σ 表示连续做 k 次 σ 的变换,则 στσ τσ τσ 是

A.σ4

B.σ5

C.σ2τ

D.τσ2

二、解答题。
3.(2009 年南京大学)求所有满足 tan A+tan B+tan C≤[tan A]+[tan B]+[tan C]的非直角三角形.

4.(2010 年浙江大学)如图,一条公路两边有六个村庄,要建一个车站,要求到六个村庄的距离 之和最小,应该建在哪里最合适?如果再在边上增加一个村庄呢?

5.(2009 年清华大学)A、B 两人玩一个游戏,A 选择 n 枚硬币,B 根据自己的策略将这些硬币 全部摆放在位点上,之后 A 选取一个至少有 2 枚硬币的位点,取走一枚硬币,再将另一枚硬币移 动到相邻位点,A 若在有限步内根据规则在指定点 P 处放上一个硬币则获胜.问在一条有 5 个

位点的线段和 7 个位点的圆环上,A 分别至少选择多少枚硬币时,无论点 P 的位置如何均可保 证获胜?

6.(2009 年清华大学)有 64 匹马,每匹马的速度保持不变且各不相同,现通过比赛来完成排名, 若每场比赛最多只能有 8 匹马参赛,问理想状态下能否在 50 场比赛内完成排名?

7. (2009 年清华大学)有 100 个集装箱,每个集装箱装有两件货物.在取出来的过程中货物的顺 序被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中.集装箱的体积都是 1,且每个集装箱 最多放两件货物,若装了一件货物后装不下第二件货物 ,那么就将这个集装箱密封,把第二件 货物装到下一个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装箱?

8.(2009 年清华大学)请写出一个整系数多项式 f(x),使得错误!未找到引用源。+错误!未找 到引用源。是其一根.

9.(2010 年清华大学)将长为 n 的棒锯开,要求锯成的每段长都是整数,且任意时刻,锯成的所 有棒中最长的一根严格小于最短的一根的 2 倍,如 6 只能锯一次,6=3+3,而 7 能锯 2 次,7=4+3,4 又能锯为 2+2,问长为 30 的棒最多能锯成几段?

若 a,b,c 中没有 1,则 a≥2,b≥2,c≥2, a+b+c=abc 化为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1, 而 1=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。≤错误!未找 到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,显然 不成立. ∴ 三角形三内角的正切值分别为 1,2,3. 即满足三内角的正切值分别为 1,2,3 的三角形,即为所求. 【解析】无 4.1.首先设六个村庄到达公路的距离之和为 S0,车站 P 到六个村庄的距离之和为 S,下面我们根 据车站所建的位置来讨论它到六个村庄的距离之和. (1)建在 A、B 之间(包括端点 A),则

S=AP+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+4PB. (2)建在 B、C 之间(包括两端点 B、C),则 S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0. (3)建在 C、D 之间(包括端点 D),则 S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+2PC. (4)建在 D、E 之间(包括端点 E),则 S=PA+2PB+PC+PD+PE+S0=AE+BC+BD+S0+2PC+2PD. (5)建在 A 的左侧或 E 的右侧,则 S 均比情况(2)中的大. 综合以上各种情况,我们可以发现:当车站建在 B、C 之间(包括端点 B、C)时最合适.

币.于是由结论① 可知 A 可获胜.

③ 对于 4 个位点线段的情况,A 只要选择 8 枚硬币,不妨设点 P 为 P1,P2,P3 三点中的一点,并设 点 P4 处有硬币 S 枚,则点 P4 处的硬币尽可能移到点 P3 处后,点 P1,P2 与 P3 处共有:8?S+[错误! 未找到引用源。]≥4

② 左半环内有 7 枚硬币. a.若这 7 枚硬币全在点 P7 处,则看右半环内的 4 枚硬币,若点 P1 处有 2 枚,则将其移动到点 P7 处后,点 P7 处就有 8 枚硬币,就能保证通过左半环的通路移动硬币,最终让点 P 处有硬币;若点 P1 处仅有 1 枚或没有硬币,则可将点 P7 处的硬币移动 3 枚到点 P1 处,再将点 P1 处的硬币移动 到点 P2 处后,点 P2 与点 P3 处的硬币就不少于 4 枚.这样,通过右半环的通路,最终可将至少 1 枚 硬币移动到点 P4 处. b.若这 7 枚硬币不全在点 P7 处,则将点 P7 处的硬币移到点 P6 处后,在点 P5 与点 P6 两处的硬币 就不少于 4 枚.于是通过左半环的通路,最终也可保证有硬币移动到点 P4 处.

③ 左半环有 6 枚硬币,则右半环就有 5 枚硬币. a.左半环内的 6 枚硬币全在点 P7 处,将它们移动到点 P1 处后,右半环内就有了 8 枚硬币,则通 过右半环的通路,可最终保证至少移动 1 枚硬币到点 P4 处. b.左半环内的 6 枚硬币,点 P7 处有 5 枚,则再看点 P1 处,若点 P1 处的硬币数不足 2 枚,则在点 P2 与点 P3 处就有 4 枚硬币,则从右半环的通路,就能移动硬币到点 P4;若点 P1 处的硬币数有 2 枚 或 2 枚以上,则至少可从点 P1 处移动 1 枚硬币到点 P7 处.这样,点 P7 处就有 6 枚硬币,于是可移 3 枚到点 P6 处.这样点 P5 与点 P6 处就有 4 枚硬币,通过左半环可移动硬币到点 P4 处. c.左半环内的 6 枚硬币,点 P7 处有 4 枚或不足 4 枚,则在点 P6 与点 P5 处就有 2 枚或 2 枚以上, 则将点 P7 处的硬币移动到点 P6 处以后,在点 P6 与点 P5 处的硬币数就不少于 4 枚,于是通过左 半环可移动硬币到点 P4 处. ④ 若左半环内的硬币数不足 6 枚,则右半环内的硬币就在 6 枚或 6 枚以上,则对右半环内硬币 的分布情况进行相同的讨论,亦可发现必可将硬币移动到点 P4 处.

各自的前 4 名,共 8 匹马进行一场比赛.这 8 匹马中的前 4 名,就是 A 组与 B 组 32 匹马中的前 4 名;接下来,又在 A 组与 B 组中分别扣除 32 匹马中的前 4 名后,再分别按照 A 组与 B 组中的 排名,再各取 4 匹马,这 8 匹马进行一场比赛,它们中的前 4 名,就是 A 组与 B 组 32 匹马中的第 5 名到第 8 名;重复上述过程,又可分别确定第 9 名到第 12 名;……;最后留下的 8 匹马,只需进 行一场比赛,就能确定第 25 名到第 32 名的排名.这样进行了 7 场比赛,就将 A 组与 B 组中的 32 匹马进行了排名. 同理进行 7 场比赛,又可将 C 组与 D 组中的 32 匹马进行排名.这样第三步共进行 14 场比赛. 第四步:要来完成 AB 组的 32 匹马与 CD 组的 32 匹马(它们各自内部的排名已经完成)共计 64 匹马的排名. 采用第三步中的方法,每次分别选择 AB 组与 CD 组中留下的前 4 名进行一场比赛,都能确定 其中 4 匹马在总体中的排名,这样 14 场比赛后,就确定了前 56 匹马的排名,最后留下的 8 匹马, 只需进行一场比赛,就确定了第 57 名到第 64 名的排名. 因此,只需 15 场比赛就能完成这两大组 64 匹马的排名. 综观以上四个步骤,一共进行:8+12+14+15=49(场).所以,可以在 50 场比赛内完成排名. 【解析】无 7.由题意知共有 200 件货物.设 a1≤a2≤…≤a99≤a100,b1≥b2≥…≥b99≥b100,令 ai+bi=1,ai≥bi,则将它们 按如下顺序排列:a1,a2,b1,a3,b2,a4,b3,…,a99,b98,a100,b99,b100,则 a1+a2>1,a2+b1>1,b1+a3>1,…,a100+b99>1,错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。<1,a1 到 a100,b1 到 b98 各在一个箱中,b99,b100 在一个箱子中,则在最坏情况下需要 199 个箱子.换个角 度考虑,无论 200 件货物如何排列,体积最小的货物总能与它前面的或后面的货物合装进一个 集装箱的,故有 199 个集装箱就一定能将 200 件货物全部装下. 【解析】无 8.设 x=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,则(x 错误!未找到引用源。)3=3,即 x3?3x2· 错误!未找到引用源。+3x·2?2 错误!未找到引用源。=3, ∴ x3+6x?3=(3x2+2)· 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ,∴ (x3+6x?3)2=2· (3x2+2)2, 整 理
6 4 3 2 6 4 3 2 得:x ?6x ?6x +12x ?36x+1=0,则 f(x)=x ?6x ?6x +12x ?36x+1 即为所求的一个整系数多项式.

【解析】无

9.首先,由题意可知 :当我们锯了若干次之后 ,产生若干根棒,它们中有长度相等与仅差一个单 位的棒(例如:7,8,9;6,6,7;5,5,6,6 等),这些棒除了 2k?2,2k?1,2k 与 2k?1,2k?1,2k 这两种情况,其 他无论锯开哪一根,均不能符合最长的一根严格小于最短一根的 2 倍,有了这样的认识,我们就 可以用枚举法来解本题了. (1)30=11+19=11+7+12=11+7+6+6=5+6+7+6+6,


2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新....doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4创新与综合题 - 专题之 4、创新与综合题 一、选择题。 1.(2011 年复旦大学)设正整数 n 可以等于 4 个不...

2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新....doc

2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4创新与综合题 - 高考数学精品复习资料 2019.5 专题之 4、创新与综合题 一、选择题。 1.(复旦大学)设正整数 ...

高三数学高校自主招生考试 真题分类解析4 创新与综合题.doc

2015 年高三数学高校自主招生考试 真题分类解析 4 创新与综合题一、选择题。 1.(2011 年复旦大学)设正整数 n 可以等于 4 个不同的正整数的倒数和,则这样...

《高校自主招生考试》数学真题完整版分类解析(打包9套....doc

平面向量 2015 年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之 3、三角函数 2015 年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之 4创新与综合题 2015 年《高校自主招生...

历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析Word版....doc

历年《高校自主招生考试》 数学真题专题分类解析(共九大专题) 目录: 专题一:不等式 专题二:复数、平面向量 专题三:三角函数 专题:创新与综合题 专题五:概率 ...

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率.doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率 - 专题之 5、概率

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面....doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何 - 专题之 8、平

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式.doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式 - 专题之 10、不

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角....doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角函数 - 专题之 3、三

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析....doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何 - 专题之 7、解

《高校自主招生考试》数学真题分类解析之数列与极限.doc

《高校自主招生考试》数学真题分类解析之数列与极限 - 专题之 6、数列与极限 一

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数....doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数、平面向量 - 专题之

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列....doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限 - 专题之 6、

历年《高校自主招生考试》数学真题分类解析专题一:不等式.doc

历年《高校自主招生考试》数学真题分类解析专题一:不等式 - 历年《高校自主招生考试》数学真题分类解析 专题一:不等式 一、选择题。 1.(复旦大学)若实数 x 满足...

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列....doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理 -

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角....doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角函数 - 专题之 3、三

新编《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式.doc

新编《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式 - 专题之 10、不等式

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率.doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率 - 专题之 5、概率

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数....doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数、平面向量 - 专题之

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列....doc

2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限 - 专题之 6、