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中山市古镇高级中学2014届高三数学综合试题(五)

时间:2014-04-24


中山市古镇高级中学 2014 届高三数学综合试题(五)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1. 已知集合 S ? ?0,1? ,集合 T ? ?0? , ? 表示空集,那么 S A. ? B. {0}
2

T ?(



C. {0,1} )

D. {0,1, 0}

2. 命题“存在实数 x ,使 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定为( A.对任意实数 x ,都有 x ? x ? 1 ? 0
2

B.不存在实数 x ,使 x ? x ? 1 ? 0
2

C.对任意实数 x ,都有 x ? x ? 1 ? 0
2

D.存在实数 x ,使 x ? x ? 1 ? 0
2

3. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( 16 9
B.



A.

5 3

5 4

C.

3 5

D.

4 5


4. 直线 y ? 4 ? 0 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 的位置关系是( A.相切 B.相交且直线不经过圆心 C.相离

D.相交且直线经过圆心 ) D. 3

5. 已知 a ? (? 3,1) , b ? (1, x) ,若 a ? b ,则 x 等于( A. 2 B. 2 C. 3 ) C. ?0, ???

x 6. 函数 f ? x ? ? log 2 3 ?1 的定义域为(

?

?

A. ?1, ?? ?

B. ?1, ?? ?

D.

?0, ???


7. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a2 ? 5 , a3 ? a4 ? 9 ,则 S10 为( A. 55 B. 60 C. 65 D. 70

8. 已知函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? 图像如图所示,则 ? , ? 的值分别为( A. 2, ? C. 4, ?

?
2

) 的部分



? ?
3

B. 2, ? D. 4,

?
6

?
3

6

1

9.已知 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,给出下列 4 个命题: ①若 m ? ? , n / /? , 则m / / n ③若 m ? ? , m ? ? , 则? / / ? 其中真命题的序号为( A.①② B.②③ ) C.③④ D.①④ ②若 m ? ? , n / /? , 则m ? n ④若 m / /? , n / /? , 则m / / n

10. 设 D 是正 ?PP 1 2P 3 及其内部的点构成的集合,点 P 0 是 ?PP 1 2P 3 的中心,若集合

S 表示的平面区域是( S ? {P | P ? D,| PP 0 |?| PP i |, i ? 1, 2,3} .则集合
A.三角形区域 B.四边形区域 C.五边形区域 二、填空题: (每小题 5 分,满分 20 分) 11.复数 (1 ? i) 2 的虚部为__________. 12.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为_________.



D.六边形区域

?y ? 0 ? 13.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
最大值为_________. 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系下,圆 ? ? 2 的圆心到 直线 ? sin ? ? 2? cos ? ? 1 的距离为 一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? cos2x . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和最值; (2)求函数 f ( x) 的单调递减区间.
2

17. (本小题满分 12 分) 对某校高一年级学生参加社区服务次数统计, 随机 抽去了 M 名学生作为样本,得到这 M 名学生参加社区 服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表如 下: (1)求出表中 M , r , m, n 的值; (2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于

20 次的学生中任选 2 人, 求至少一人参加社区服务次数
在区间 ? 25,30? 内的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VC ? 底面 ABC , AC ? BC , D 为 AB 的中点, AC ? BC ? VC ? a . (1)求证: AB ? 平面 VCD ; (2)求点 C 到平面 VAB 的距离。

3

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,且 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn

1 an ? 1(n ? N * ) . 2

? log3 (1 ? Sn?1 )(n ? N * ) ,求适合方程 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1
b1b2 b2b3

bnbn?1

?

25 的正整 51

数 n 的值.

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆的一个顶点为 A ? 0, ?1? ,焦点在 x 轴上,若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离 为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆相交于不同的两点 M 、 N ,当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? bx ? c ? b, c ? R ? 3

(1)若函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,求 b, c 的值; (2)若 b ? 1 ,函数 f ( x ) 在区间 ? 0, 2 ? 内有唯一零点,求 c 的取值范围; (3)若对任意的 x1, x2 ?? ?1,1? ,均有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?
4

?

?

4 ,求 b 的取值范围. 3

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。

题号 答案

1
C

2
A

3
B

4
A

5
D

6
D

7
C

8
A

9
B

10
D

1. 【解析】因为 T ? S ,所以 S

T ? S ,选 C ;
2

2. 【解析】特称命题的否定为:对任意实数 x ,都有 x ? x ? 1 ? 0 ,选 A ;

x2 y 2 ? ? 1 可知 a 2 ? 16, b2 ? 9 , c 2 ? a 2 ? b2 ? 16 ? 9 ? 25 所以 c ? 5, a ? 4 , 3. 【解析】由 16 9
离心率 e ?

c 5 ? ,选 B a 4

4. 【解析】圆心 ? 2, ?1? 到直线 y ? ?4 的距离为 ?4 ? ? ?1? ? 3 ,而圆的半径为 3 , 距离等于半 径,所以直线与圆相切,选 A ; 5. 【解析】由 a ? b 得 ? 3 ?1 ? 1? x ? 0 ,解得 x ? 3 , 选 D ; 6. 【解析】要使解析式有意义,必须满足 3 ? 1 ? 0 ,解得 x ? 0 ,选 D ;
x

7. 【解析】 ? a3 ? a4 ? ? ? a1 ? a2 ? ? 9 ? 5 ,即 4d ? 4, d ? 1 ,得 a1 ? 2 ,据等差数列前 n 项和公式

Sn ? a1n ?

n ? n ? 1? 10 ? ?10 ? 1? d 得 S10 ? 2 ?10 ? ? 65 ,选 C 2 2

? ? 5 ?? ? ? ? ? ? ? 12 2 8. 【解析】据五点法可得 ? ,解得 ? ? 2 , ? ? ? ,选 A ; 3 ? 11 ?? ? ? ? 3? ? ?12 2
9. 【解析】若 m ? ? , n / /? , 则 m 与 n 的位置关系不能确定,所以命题①错误, 若 m ? ? , n / /? , 则m ? n ,命题②正确,若两平面垂直于同一条直线,则这两平面平行,所以 命题③正确,两直线同时平行于一个平面,这两条直线的位置关系 不能确定,所以命题④正确,综上所述,选 B ; 10. 【解析】因为正三角形中心为正三角形的重心,重心为中线
5

的一个三等分点,如图所示,图中六边形 PA PB P CP DP EP F 区域为集合 S 所表示的平面区域,选 D 。 二、填空题(本大题共 5 小题,第 14、15 小题任选一道作答,共 20 分) 11. ?2 12. 11 13. 6 14.

12
11. 【解析】由 ?1 ? i ? ? ?2i ,可得虚部为 ?2 ;
2

5 5

15. 4

12. 【解析】第一次循环: s ?

1 3 , n ? 4 ; 第二次循环: s ? , n ? 6 ; ; 2 4 11 11 第三次循环: s ? , n ? 8 ;跳出循环,输出 s ? ; 12 12

13. 【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,当目标函 数对应的直线过点 ? 3, 0 ? 时;

z ? 2 x ? y 的值最大,即 zmax ? 6 ;
2 2 2 14. 【解析】 ? ? 2 化为普通方程为 x ? y ? 2 ,可知圆心

坐标为 ? 0, 0 ? ,? sin ? ? 2? cos ? ? 1 化为普通方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 , d?
2

2 ? 0 ? 1? 0 ? 1 22 ? 12

?

5 ; 5

15. 【解析】据切割线定理可得 BD ? BD ? 3? ? CD ,即 BD ? BD ? 3? ? 2 7

?

?,
2

解得 BD ? 4 或 ?7 ,舍去 ?7 ,所以 BD ? 4 。 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

sin 2 x ? cos 2 x?2sin( 2x? ) 解: (1) f ( x ) ? 3 6 ??????????3 分
? T? 2? ?? 2

?

??????????4 分

x? ?2 k ?? 即 x?k ?? (k? Z )时, f ? x ? 取最大值 2;????5 分 当2 x? ?2 k ?? 即 x?k ?? (k? Z )时, f ? x ? 取最小值-2????6 分 当2 6 2 6
6

?

?

?

?

6

?

2

?

3

(2)由 2 k ?? k ?? ?2 x? ?2

?

?

得k ? ?? x ? k ? ?? ( k ? z ) ?????????10 分

?

2

6

3 ?(k?z), 2

?????????8 分

3

∴单调递减区间为 [ . k ? ? ,k ? ? ]( k ? z )

?

5 6

3

5 ? 6

?????????12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为

9 ? 0.45 ,所以 M ? 20 M 又因为 9 ? 5 ? m ? 2 ? 20 ,所以 m ? 4 5 4 ? 0.25 , r ? ? 0.2 所以 n ? 20 20

……………2 分 ……………3 分 ……………4 分

(2)设参加社区服务的次数在 ? 25,30? 内的学生为 A 1, A 2 ,参加社区服务的次数在 ? 20,25? 内的 学生为 A3 , A4 , A5 , A6 ; ……………5 分

任选 2 名学生的结果为: ? A1 , A 2 ? , ? A1 , A 3 ? , ? A1 , A 4 ? , ? A1 , A 5 ? , ? A1 , A 6 ? ,

? A2 , A3 ? , ? A2 , A 4 ? , ? A2 , A5 ? , ? A2 , A6 ? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A5 ? , ? A3 , A6 ? , ? A4 , A5 ? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A 6 ? 共 15 种情况
; ……………8 分

其中至少一人参加社区服务次数在区间 ? 25,30? 内的情况有 ? A1 , A 2 ? , ? A1 , A 3 ? ,

? A1, A 4 ? , ? A1, A 5 ? , ? A1, A 6 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , A 4 ? , ? A2 , A5 ? , ? A2 , A 6 ? ,共 9 种情况…10 分
每种情况都是等可能出现的,所以其中至少一人参加社区服务次数在区间 ? 25,30? 内的概率为

p?

9 3 ? . 15 5

……………12 分

18.(本小题满分 14 分) 证明: (1)因为 VC ? 平面 ABC , AB ? 平面 ABC , 所以 VC ? AB …………2 分 又因为在 ?ABC 中, AC ? BC , D 为 AB 的中点, 所以 CD ? AB …………4 分 又 VC ? 平面 VCD , CD ? 平面 VCD ,且 VC CD ? C ,
7

所以 AB ? 平面 VCD ………6 分 (2)法一:因为 AB ? 平面 VCD 且 AB ? 平面 VAB 所以平面 VCD ? 平面 VAB , ……………8 分 又因为平面 VCD 平面 VAB ? VD , 所以点 C 到 VD 的距离 h 即为点 C 到平面 VAB 的距离, 在直角三角形 VCD 中,由 VD ? h ? VC ? DC ……………10 分 ……………11 分



h?

VC ? DC ? VD

a?

2 a 2 ? 3a 3 6 a 2

……………13 分

所以点 C 到平面 VAB 的距离为

3 a . ………………………14 分 3

法二:设点 C 到平面 VAB 的距离为 h , 据 VV-ABC 即 ?

? VC-VAB

………8 分

1 1 1 3 a?a?a ? ? 3 2 3 4

?

2a h ,得 h ?

?

2

3 a ………………………13 分 3

所以点 C 到平面 VAB 的距离为 19. (本小题满分 14 分)

3 a . ………………………14 分 3
1 2 a1 ? 1 ,得 a1 ? ????????1 分 2 3

(1) 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 s1 ? 当 n ? 2 时,∵ sn ? 1 ? ∴ sn ? sn ?1 ? ∴ an ?

1 1 an , sn ?1 ? 1 ? an ?1 , ???????2 分 2 2

1 1 ? an?1 ? an ? ,即 an ? ? an?1 ? an ? 2 2
????????????????5 分

1 a n ?1 (n ? 2) 3

∴ ?an ? 是以 故 an ?

2 1 为首项, 为公比的等比数列.?????????????6 分 3 3
????????????????7 分

2 1 n ?1 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) n (n ? N ? ) 3 3 3

(2) 1 ? sn ?

1 1 1 an ? ( ) n , bn ? log 3 (1 ? sn ?1 ) ? log 3 ( ) n ?1 ? ?n ? 1 ?????9 分 2 3 3
8

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 ????????????????11 分
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 ??13 分
解方程

1 1 25 ,得 n ? 100 ? ? 2 n ? 2 51

????????????????14 分

20.(本小题满分 14 分) 解: (1)依题意可设椭圆方程为 则右焦点 F 的坐标为

x2 ? y 2 ? 1 ,………………………….2 分 2 a

?

a2 ? 1,0 ,

?

………………………….3 分

a2 ?1 ? 2 2
由题意得

2

? 3 ,解得 a 2 ? 3 ,
x2 ? y 2 ? 1. 3

故所求椭圆的标准方程为

………………………….5 分

(2)设 P xP , y p 、 M ? xM , yM ? 、 N ? xN , yN ? ,其中 P 为弦 MN 的中点,

?

?

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 ,得 ? 3k ? 1? x ? 6mkx ? 3 ? m ? 1? ? 0 …………………….7 分 2 ? ? y ?1 ?3
因为直线与椭圆相交于不同的两点,所以 ? ? ? 6mk ? ? 4 3k ? 1 ? 3 m ? 1 ? 0
2 2 2

?

? ?

?

即 m ? 3k ? 1
2 2

①,

………………………….8 分

x ? xN 6mk 3mk ?? 2 ,所以 xP ? M , 2 3k ? 1 2 3k ? 1 m 从而 yP ? kxP ? m ? 2 , ………………………….9 分 3k ? 1 xM ? x N ? ?
所以 k AP ?

yP ? 1 m ? 3k 2 ? 1 , ?? xP 3mk

………………………….10 分

又 AM ? AN ,所以 AP ? MN ,
9

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ,即 2m ? 3k 2 ? 1 因而 ? 3mk k
2

②, ……………………….11 分

把②式代入①式得 m ? 2m ,解得 0 ? m ? 2 , 由②式得 k ?
2

………………………….12 分 ………………………….13 分 ………………………….14 分

2m ? 1 1 ? 0 ,解得 m ? , 3 2 1 综上所述,求得 m 的取值范围为 ? m ? 2 . 2

21. (本小题满分 14 分) (1) f ' ? x ? ? x2 ? b ,所以 f ' ?1? ? 1 ? b ? 2 ,得 b ? ?1 .………………2 分



1 5 f (1) ? 2 ? 1 ? 3 ,所以 ? b ? c ? 3 ,得 c ? .………………3 分 3 3
1 3 x ? x?c, 3

(2) 因为 b ? 1 所以 f ? x ? ? 当 x ? ? 0,1? 时, 所以

f ' ( x) ? x 2 ? 1

.………………4 分

f ' ( x) ? 0 ,当 x ? ?1, 2? 时, f ' ( x) ? 0
………………5 分

f ( x) 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, 2? 上单调递增

又 f ? 0? ? c ? f ? 2? ?

2 ? c ,可知 f ? x ? 在区间 ? 0, 2 ? 内有唯一零点等价于 3
.………………7 分

? ? f ?0? ? 0 , f ?1? ? 0 或 ? ? ? f ? 2? ? 0
得c ?

2 2 或? ? c ? 0 . 3 3

.………………8 分

(3) 若对任意的 x1, x2 ?? ?1,1? ,均有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

4 ,等价于 3
……………10 分

f ? x ? 在 ??1,1? 上的最大值与最小值之差 M ?
(ⅰ) 当 b ? 0 时,在 ??1,1? 上

4 3

f ' ( x) ? 0 , f ? x ? 在 ??1,1? 上单调递增,
2 4 1 ? 2b ? ,得 b ? ? , 3 3 3
.………………9 分

由 M ? f ?1? ? f ? ?1? ? 所以 ?

1 ?b?0 3

(ⅱ)当 b ? 0 时,由

f ' ( x) ? 0 得 x ? ? b
10

? ? 所以 f ? 2 b ? ? f ? ? b ? ,同理 f ? ?2 b ? ? f ? b ?
由 f ? x? ? f ? b 得 x ? 2 b 或 x ? ? b

.………………10 分

1) 当 b ? 1,即 b ? 1 时, M ? f ? ?1? ? f ?1? ? 2b ?

2 4 ? ,与题设矛盾; 3 3
.………………11 分

1 ? b ? 1 时, 4 3 3 2 4 4 M ? f ? b ? f b ?? b ? 2b b ? b ? 恒成立;……………12 分 3 3 3 1 2 4 3) 当 2 b ? 1 ,即 0 ? b ? 时, M ? f ?1? ? f ? ?1? ? ? 2b ? 恒成立; 4 3 3

2) 当 b ? 1 ? 2 b ,即

?

? ? ?

? ?

? ?

.………………13 分 综上所述, b 的取值范围为 ? ? ,1? .

? 1 ? ? 3 ?

.………………14 分

11


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