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高考数学复习第3章三角函数解三角形第4讲简单的三角恒等变形知能训练51

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第 4 讲 简单的三角恒等变形 1.若 tan θ= 3,则 A. 3 C. 3 3 sin 2θ =( 1+cos 2θ B.- 3 D.- 3 3 ) 解析:选 A. sin 2θ 2sin θcos θ = =tan θ= 3. 1+cos 2θ 1+2cos2θ -1 cos 40° =( cos 25° 1-sin 40° B. 3 D.2 ) 2.(2016·赣州联考)化简 A.1 C. 2 cos220°-sin220° 解析:选 C.原式= = cos 25° (cos 20°-sin 20°)2 (cos 20°+sin 20°)(cos 20°-sin 20°) cos 20°+sin 20° = = cos 25°(cos 20°-sin 20°) cos(45°-20°) cos 20°+sin 20° = 2. cos 45°cos 20°+sin 45°sin 20° 3.已知 α 、β 均为锐角,且 tan β= =( A. ) 3 3 B. 1 2 cos α-sin α ,则 tan(α +β ) cos α+sin α C. 3 解析:选 D.因为 tan β= D.1 cos α-sin α 1-tan α ,所以 tan β= = cos α +sin α 1+tan α π π ?π ? tan? -α ?.又 α 、 β 均为锐角, 所以 β = -α , 即 α +β = , 所以 tan(α 4 4 ?4 ? +β )=tan π =1. 4 5 10 ,sin(α -β )=- ,α,β均为锐角,则角 β 等 5 10 4.已知 sin α= 于( A. ) 5π 12 π 4 B. π 3 π 6 C. D. 解析:选 C.因为 α ,β均为锐角, 所以- π π <α-β < . 2 2 10 3 10 ,所以 cos(α -β )= . 10 10 又 sin(α -β )=- 又 sin α= 5 2 5 ,所以 cos α= , 5 5 所以 sin β=sin[α -(α -β )]=sin αcos(α -β )-cos αsin(α - β )= 5 3 10 2 5 ? 2 10? ?= . × - ×?- 5 10 5 ? 10 ? 2 π . 4 π? 1 π π 3 ? ?π β ? ,- <β<0,cos?α+ ?= ,sin? - ?= ,则 4? 3 2? 3 2 2 ? ?4 ) 3 3 所以 β = 5.若 0<α < β ? ? cos?α + ?=( 2? ? A. 3 3 B.- C. 6 3 D.- 6 9 解析:选 C.由已知得 π π 3π π π β π < +α < , < - < , 4 4 4 4 4 2 2 6 ?π ? 2 2 ?π β ? 所以 sin? +α ?= ,cos? - ?= , 2? 3 3 ?4 ? ?4 β ? ? ??π ? ?π β ?? cos?α+ ?=cos?? +α ?-? - ?? 2? 2 ?? ? ?? 4 ? ?4 ?π ? ?π β ? ?π ? ?π β ? =cos? +α ?cos? - ?+sin? +α ?sin? - ? 2? 2? ?4 ? ?4 ?4 ? ?4 = 6 . 3 1 6.(2016·温州八校联考)若 sin α+cos α= ,0<α<π,则 sin 2α+ 3 cos 2α的值为( A. 8+ 17 9 -8- 17 9 ) B. -8+ 17 9 -8± 17 9 1 <1 且 0<α <π,所以 α 为钝角. 3 C. D. 解析:选 C.因为 sin α+cos α= 1 1 又由 sin α+cos α= 得 1+2sin αcos α= , 3 9 1 8 所以 sin 2α=2sin αcos α=-1+ =- , 9 9 sin α-cos α= (sin α+cos α)2-2sin 2α= 17 17 = , 9 3 1 ? 8? -2×?- ?= 9 ? 9? 所以 cos 2α=cos2α-sin2α=-(sin α+cos α)·(sin α-cos α) 1 17 17 =- × =- , 3 3 9 ? 8? ? 17? -8- 17 ?= 从而 sin 2α+cos 2α=?- ?+?- . 9 9 ? ? 9? ? 4 α α α 7.设 α 是第二象限角,tan α=- ,且 sin <cos ,则 cos = 3 2 2 2 ________. 解析:因为 α 是第二象限角,所以 α α 可能在第一或第三象限.又 sin < 2 2 cos α α α ,所以 为第三象限角,所以 cos <0. 2 2 2 4 因为 tan α=- , 3 3 α 所以 cos α=- ,所以 cos =- 5 2 答案:- 5 5 1+cos α 5 =- . 2 5 π? π? 2 ? ? 8.已知 cos4α-sin4α= ,且 α ∈?0, ?,则 cos?2α+ ?=________. 2? 3? 3 ? ? 解析:因为 cos4α-sin4α=(sin2α+cos2α)(cos2α-sin2α)=cos 2α π? 2 ? = ,又 α ∈?0, ?, 2? 3 ? 所以 2α ∈(0,π), 所以 sin 2α= 1-cos22α= 5 , 3 π? 1 3 1 2 3 5 2- 15 ? 所以 cos?2α+ ?= cos 2α- sin 2α= × - × = . 3? 2 2 2 3 2 3 6 ? 答案: 2- 15 6 1 9. 已知锐角 α ,β满足:sin β-cos β= ,tan α+tan β+ 3tan 5 α·tan β= 3,则 cos α=________. 解析:由 tan α

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