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2018版高中数学人教版A版选修1-2:3.1.2 复数的几何意义_图文

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第三章 §3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们 之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 复平面 思考1 实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢? 答案 任何一个复数 z = a + bi ,都和一个有序实数对 (a , b) 一一 对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一 一对应. 答案 思考2 判断下列命题的真假: ①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; ②在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上; ③在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; ④在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数; ⑤在复平面内,对应于非纯虚数的点都分布在四个象限. 答案 ①②③正确,④⑤错误 . 因为原点在虚轴上,而其表示实 数,所以④错 . 因为非纯虚数包括实数,而实数对应的点在实轴 上,故⑤错. 答案 梳理 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ,x轴叫做 实轴 ,y轴叫 做 虚轴 .实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 知识点二 复数的几何意义 知识点三 复数的模 → → 复数z=a+bi(a,b∈R),对应的向量为OZ,则向量 OZ 的模r叫做复数z=a 2 2 a + b +bi的模,记作 |z| 或 |a+bi| .由模的定义可知:|z|=|a+bi|=r=_________ (r≥0,r∈R). 题型探究 类型一 复数与复平面内的点的关系 例1 实数x分别取什么值时,复数z=(x2+x-6)+(x2-2x-15)i对应的点 Z在: (1)第三象限; 解 因为x是实数,所以x2+x-6,x2-2x-15也是实数. 2 ? ?x +x-6<0, 当实数 x 满足? 2 ? ?x -2x-15<0, 即当-3<x<2时,点Z在第三象限. 解答 (2)直线x-y-3=0上. 解 z=x2+x-6+(x2-2x-15)i对应的点Z(x2+x-6,x2-2x-15), 当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0, 即当x=-2时,点Z在直线x-y-3=0上. 解答 引申探究 若例1中的条件不变,其对应的点在: (1)虚轴上; 解 当实数x满足x2+x-6=0, 即当x=-3或2时,点Z在虚轴上. 解答 (2)第四象限. 解 2 ? ?x +x-6>0, 当实数 x 满足? 2 ? ?x -2x-15<0, 即当2<x<5时,点Z在第四象限. 解答 反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系,每一个复 数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表 示的点,就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值. 跟踪训练1 实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i (1)对应的点在x轴上方; 解 由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5, 所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点在x轴上方. 解答 (2)对应的点在直线x+y+4=0上. 解 由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0, 5 得 m=1 或 m=-2, 5 所以当 m=1 或 m=-2时, 复数z对应的点在直线x+y+4=0上. 解答 类型二 复数与复平面内的向量的关系 例2 → → (1)向量OZ1对应的复数是 5-4i,向量OZ2对应的复数是-5+4i, → → 则OZ1+OZ2对应的复数是 A.-10+8i C.0 解析 B.10-8i D.10+8i → → 由复数的几何意义,可得OZ1=(5,-4),OZ2=(-5,4), → → 所以OZ1+OZ2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0), → → 所以OZ1+OZ2对应的复数为 0. 解析 答案 → → (2)设 O 是原点,向量OA,OB对应的复数分别为 2-3i,-3+2i,那么 → 向量BA对应的复数是 A.-5+5i C.5+5i 解析 B.-5-5i D.5-5i → → 由复数的几何意义,得OA=(2,-3),OB=(-3,2), → → → BA=OA-OB=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5). → 所以BA对应的复数是 5-5i. 解析 答案 反思与感悟 (1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时, 向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后, 从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点 一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 跟踪训练 2 → (1)在复平面内,O 是原点,向量OA对应的复数为 3+2i, → 3-2i 若点 A 关于实轴的对称点为点 B,则向量OB对应的复数为________. 解析 复数3+2i表示的点A(3,2)关于实轴对称的点为B(3,-2), → ∴OB对应的复数为 3-2i. 解析 答案 4 → 3 (2)复数 z=3+4i 对应的向量OZ所在直线的斜率为________. 解析 ∵复数z对应点Z(3,4), 4 → ∴向量OZ所在的直线的斜率为3. 解析 答案 类型三 复数的模的计算 例3 若复数z=1+ai(i是虚数单位)的模不大于2,则实数a的取值范围是 [- 3, 3] ____________. 解析 复数z=1+ai(i是虚数单位)的模不大于2, 即 1+a2≤4,即 a2≤3,可得 a∈[- 3, 3]. 解析 答案 反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其

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