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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件:第二章 平面解析几何初步-2.2-2.2.1-第2课时

时间:2017-08-09


阶 段 1

阶 段 3

第 2 课时

圆的一般方程
学 业 分 层 测 评

阶 段 2

1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和半径.(易错点) 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程解决简单问 题.(重点、难点)

[ 基础· 初探] 教材整理 圆的一般方程的定义

阅读教材 P109,完成下列问题. 1.圆的一般方程的定义
2 2 D + E -4F>0 (1)当_________________ 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方

? D E? 1 2 2 ?- ,- ? D + E -4F 2 2 2 ? ? 程,其圆心为_____________,半径为_________________.

(2)当 D2+E2-4F=0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
2 2

? D E? ?- ,- ? 2? ? 2 表示点____________.

D +E -4F<0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 不表示任何图形. (3)当_________________

2.点与圆的位置关系 已知点 M(x0,y0)和圆的方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则其 位置关系如下表:
位置关系 点 M 在圆外 点 M 在圆上 点 M 在圆内 代数关系
2 > x2 0+y0+Dx0+Ey0+F______0 2 = x2 0+y0+Dx0+Ey0+F______0 2 x2 + y < 0 0+Dx0+Ey0+F______0

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(√) (2)二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 一定是某个圆的方程.(×) (3)方程 x2+y2-2x+Ey+1=0 表示圆,则 E≠0.(√) (4)二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆应满足的条件是① A=C≠0;②B=0;③D2+E2-4F>0.(√)

2.圆 x2+y2-2x+4y+3=0 化为标准形式为_____________________ . 【解析】 由 x2+y2-2x+4y+3=0,得(x-1)2+(y+2)2=2. 故圆的标准形式为(x-1)2+(y+2)2=2.
【答案】 (x-1)2+(y+2)2=2

3.方程 x2+y2+4x-2y+5m=0 表示圆的条件是______________. 【解析】 由题意可知,16+(-2)2-20m>0,解得 m<1. 【答案】 (-∞,1)

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[ 小组合作型]

二元二次方程的曲线与圆的关系

下列方程能否表示圆?若能,求出圆心坐标和半径. (1)2x2+y2-7x+5=0; (2)x2-2xy+y2+6x+7y=0; (3)x2+y2-2x-4y+10=0; (4)2x2+2y2-4y=0; (5)ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0(a≠0).

【精彩点拨】 根据二元二次方程表示圆的条件判断.
【自主解答】 (1)∵A≠B,∴不能表示圆.

(2)∵xy 前的系数不等于 0,∴不能表示圆. (3)∵D2+E2-4F=(-2)2+(-4)2-4×10<0, ∴不能表示圆. (4)方程变形为 x2+y2-2y=0. 配方得 x2+(y-1)2=1, 故方程表示圆,其圆心为(0,1),半径为 1.

? 4?a-1? 4 2?a-1?? ? ? (5)法一: ∵a≠0, ∴原方程可化为 x +y - a x+ay=0, 即?x- a ? ? ?
2 2 2 ? ? 4[ ? a - 1 ? +1] 2 2 2 +?y+a? = . 2 a ? ?

4[?a-1?2+1] ∵ >0,∴原方程表示圆, a2
?2?a-1? 2? ? ? 此时圆心坐标为? ,- ?, a a ? ?

2 a2-2a+2 半径 r= . |a|

法二:∵a≠0,∴原方程可化为 4?a-1? 4 x +y - a x+ay=0.
2 2 2 16 ? a - 1 ? 16 2 2 ∵D +E -4F= + a2 a2

16?a-1?2+16 = >0, a2 ∴原方程表示圆,
?2?a-1? 2? ? ? 此时圆心坐标为? , ,- ? a a? ?

2 a2-2a+2 半径 r= . |a|

形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的二元二次方程,判定其是否表示圆时有如下 两种方法: ?1?由圆的一般方程的定义判断 D2+E2-4F 是否为正.若 D2+E2-4F>0,则 方程表示圆,否则不表示圆. ?2?将方程配方变形成“标准”形式后,根据圆的标准方程的特征,观察是 否可以表示圆.

[ 再练一题] 1.讨论方程 x2+y2+2ay+1=0(a∈R)表示曲线的形状.

【解】 当 a<-1 或 a>1 时,此方程表示的曲线是圆心为(0,-a),半径为 a2-1的圆; 当 a=± 1 时,此方程表示的曲线是一个点,坐标为(0,-a); 当-1<a<1 时,此方程不表示任何曲线.

圆的一般方程的求法

已知△ABC 三个顶点的坐标为 A(1,3),B(-1,-1),C(- 3,5), 求这个三角形外接圆的一般方程, 并判断点 M(1,2), N(4,5), Q(2,3) 与圆的位置关系.
【精彩点拨】 解答本题,可设出圆的一般方程,用待定系数法求解.也

可根据圆的性质,求圆心、半径,再写方程.

【自主解答】

(1)法一:设所求圆的方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). ∵此圆过 A,B,C 三点, ?12+32+D+3E+F=0, ? 2 2 ? - 1 ? + ? - 1 ? -D-E+F=0, ? ∴ ??-3?2+52-3D+5E+F=0, ? ?D=4, ? 解得?E=-4, ?F=-2. ? ∴圆的方程为 x2+y2+4x-4y-2=0.

法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ① ??1-a?2+?3-b?2=r2, ? 2 2 2 则??-1-a? +?-1-b? =r , ② ??-3-a?2+?5-b?2=r2, ③ ?
? ?a+2b-2=0, ②-①,③-①得? ? ?2a-b+6=0,

解得 a=-2,b=2. ∴r2=10. ∴圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=10. 即圆的一般式方程为 x2+y2+4x-4y-2=0.

1 法三:AB 的中垂线方程为 y-1=-2(x-0), 1 BC 的中垂线方程为 y-2=3(x+2), 联立解得圆心坐标为(-2,2). 设圆的半径为 r,则 r2=(1+2)2+(3-2)2=10, ∴圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=10, 即圆的一般式方程为 x2+y2+4x-4y-2=0.

-1-3 5-3 1 法四:由于 kAB= =2,kAC= =-2, -1-1 -3-1 ∴kAB· kAC=-1,∴AB⊥AC, ∴△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形, ∴外接圆圆心为 BC 的中点,即(-2,2), 1 半径 r=2|BC|= 10, ∴圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=10. 即圆的一般式方程为 x2+y2+4x-4y-2=0.

(2)∵M(1,2), ∴12+22+4×1-4×2-2=-1<0, ∴点 M(1,2)在圆内. ∵N(4,5), ∴42+52+4×4-4×5-2=35>0, ∴点 N(4,5)在圆外. ∵Q(2,3), ∴22+32+4×2-4×3-2=7>0, ∴点 Q(2,3)在圆外.

本题法一、法二中采用了待定系数法.用待定系数法求圆的方程时: (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列 方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出 a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再 用待定系数法求出常数 D,E,F.

法三则是充分利用了圆的性质:“弦的中垂线过圆心”.通过求两条弦的 中垂线的交点求出圆心,再求出半径后写出圆的标准方程,再将标准方程化成 一般方程.圆的标准方程和一般方程有如下关系: (1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,可以直接看出圆心坐标(a,b)和半 径 r,圆的几何特征明显.

(2)由圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的方程 是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显.

(3)

[ 再练一题] 2.已知圆 C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线 x+y-1=0 上,且圆心 在第二象限,半径为 2,求圆的一般方程. ? D E? 【解】 圆心 C?- 2 ,- 2 ?, ? ?
∵圆心在直线 x+y-1=0 上, D E ∴- 2 - 2 -1=0,即 D+E=-2,① D2+E2-12 又 r= = 2, 2 ∴D2+E2=20,②

? ?D=2, 由①②可得? ? ?E=-4

? ?D=-4, 或? ? ?E=2.

D 又圆心在第二象限,∴- 2 <0,即 D>0,
? ?D=2, ∴? ? ?E=-4,

∴圆的方程为 x2+y2+2x-4y+3=0.

[ 探究共研型]

轨迹问题

探究 1 若|AB|=2,C 为 AB 的中点,动点 P 满足|PC|=2,那么 P 点轨迹是 什么曲线?求出曲线方程? 【提示】 以 AB 所在直线为 x 轴, 以 C 为原点建立直角坐标系, 则 C(0,0), P 点的轨迹是以 C 为圆心,半径为 2 的圆的方程为 x2+y2=4.

探究 2 已知一条曲线在 x 轴的上方,它上面的每一点到点 A(0,2)的距离都 是 2,求这条曲线的方程,并说明是什么曲线. 【提示】 设点 M(x,y)是曲线上任意一点,根据题意,有: x2+?y-2?2=2.
两边平方,得 x2+(y-2)2=4. 因为曲线在 x 轴上方,y>0, 所以曲线方程应是 x2+(y-2)2=4(y>0). 曲线是圆心为(0,2),半径为 2 的圆在 x 轴上方的部分.

(1) 点 P(4 ,- 2) 与圆 x2 + y2 = 4 上任一点连线的中点轨迹方程是 __________________. (2)已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足 PA=2PB.若点 P 的轨迹为曲线 C, 则此曲线的方程为__________. 【导学号:60420081】

【精彩点拨】

(1)设出中点坐标和圆上点的坐标,用圆上点的坐标表示中

点坐标,再代入圆的方程,化简即可.(2)设出点 P 的坐标,利用 PA=2PB 得点 P 坐标的关系,化简即可.

【自主解答】 ( x ,y ) ,

(1)设圆上任意一点为(x1,y1),它与点 P 连线的中点坐标为

x1+4 y1 -2 则 x= 2 ,y= 2 , 所以 x1=2x-4,y1=2y+2, 又(x1,y1)在圆 x2+y2=4 上, 所以(2x-4)2+(2y+2)2=4, 即(x-2)2+(y+1)2=1.

(2)设点 P 的坐标为(x,y),则 ?x+3?2+y2=2 ?x-3?2+y2. 化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求.
【答案】 (1)(x-2)2+(y+1)2=1 (2)(x-5)2+y2=16

求与圆有关的轨迹问题常用的方法 1.直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标, 并找出动点坐标所满足的关系式.如上例(2). 2.定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹 方程. 3.相关点法:若动点 P(x,y)随着圆上的另一动点 Q(x1,y1)的运动而运动, 且 x1,y1 可用 x,y 表示,则可将 Q 点的坐标代入已知圆的方程,即得动点 P 的 轨迹方程.如上例(1).

[ 再练一题] 3.已知圆的方程为 x2+y2-6x-6y+14=0,求过点 A(-3,-5)的直线交 圆的弦 PQ 的中点 M 的轨迹方程. 【解】 设所求轨迹上任一点 M(x,y),圆的方程可化为(x-
3)2+(y-3)2=4,圆心 C(3,3). ∵CM⊥AM,∴kCM· kAM=-1, y-3 y+5 即 · =-1, x-3 x+3 即 x2+(y+1)2=25. ∴所求轨迹方程为 x2+(y+1)2=25(已知圆内的部分).

[ 构建· 体系]

1.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是________. 【答案】 (2,-3) 2.经过三点 A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为__________.

【解析】 设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.将 A, B, C 三点代入, 整理得方程组

?D-E+F=-2, ? ?D+4E+F=-17, ?4D-2E+F=-20, ? ?D=-7, ? 解得?E=-3, ?F=2. ? ∴所求圆的方程为 x2+y2-7x-3y+2=0.

【答案】 x2+y2-7x-3y+2=0

3.方程 x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0 表示的图形为________. 【导学号: 60420082】
【解析】 原方程可化为:(x+a)2+(y+b)2=0.所以它表示点(-a,-b). 【答案】 (-a,-b)

4.圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0 的圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离 d= ________.
【解析】 |3×1+4×2+4| 圆心(1,2)到直线 3x+4y+4=0 的距离为 =3. 5

【答案】 3

5.等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边一个端点是 B(3,5),求另一个端点 C 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么?
【解】设另一端点 C 的坐标为(x,y),依题意,得 AC=AB. 由两点间距离公式,得 ?x-4?2+?y-2?2= ?4-3?2+?2-5?2, 整理得(x-4)2+(y-2)2=10.

这是以点 A(4,2)为圆心,以 10为半径的圆,如图所示,又因为 A,B,C 为 三角形的三个顶点,所以 A,B,C 三点不共线.即点 B,C 不能重合且 B,C 不 能为圆 A 的一直径的两个端点. 因为点 B,C 不能重合,所以点 C 不能为(3,5). 又因为点 B,C 不能为一直径的两个端点, x+3 y+5 所以 2 ≠4,且 2 ≠2,即点 C 不能为(5,-1).
故端点 C 的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)和(5,-1)),它的 轨迹是以点 A(4,2)为圆心, 10为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)


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