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2015高考数学(理)真题分类汇编:专题12+概率和统计(Word版含解析)

时间:2016-04-02


专题十二 概率和统计
1.【2015 高考重庆,理 3】重庆市 2013 年各月的平均气温( oC )数据的茎叶图如下:

08 12 20 31

9 5 8 0 3 3 8 2
) B、20 C、21.5 D、23

则这组数据的中位数是( A、19 【答案】B.

【解析】从茎叶图知所有数据为 8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,中间 两个数为 20,20,故中位数为 20,选 B.. 【考点定位】本题考查茎叶图的认识,考查中位数的概念. 【名师点晴】本题通过考查茎叶图的知识,考查样本数据的数字特征,考查学生的数据处理 能力. 2.【2015 高考广东,理 4】袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球。从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为( A.1 【答案】 B .
2 1 1 【解析】 从袋中任取 2 个球共有 C15 其中恰好 1 个白球 1 个红球共有 C10 ? 105 种, C5 ? 50 种,



B.

11 21

C.

10 21

D.

5 21

所以从袋中任取的 2 个球恰好 1 个白球 1 个红球的概率为 【考点定位】排列组合,古典概率.

50 10 = ,故选 B . 105 21

【名师点睛】本题主要考查排列组合,古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能 力, 解答此题关键在于理解所取 2 球恰好 1 个白球 1 个红球即是分步在白球和红球各取 1 个球 的组合,属于容易题. 3.【2015 高考新课标 1,理 4】投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已 知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的 概率为( ) (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

(A)0.648 【答案】A

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2 【解析】根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为 C3 0.62 ? 0.4 ? 0.63 =0.648,

故选 A. 【考点定位】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 【名师点睛】解答本题时,先想到所求事件是恰好中 3 次与恰好中 2 次两个互斥事件的和, 而这两个事件又是实验 3 次恰好分别发生 3 次和 2 次的独立重复试验, 本题很好考查了学生 对独立重复试验和互斥事件的理解和公式的记忆与灵活运用, 是基础题, 正确分析概率类型、 灵活运用概率公式是解本题的关键. 4.【2015 高考陕西,理 11】设复数 z ? ( x ? 1) ? yi ( x, y ? R ) ,若 | z |? 1 ,则 y ? x 的概率 为( A. ) B.

3 1 ? 4 2? 1 1 D. ? 2 ?
【答案】B

1 1 ? 4 2?

C.

1 1 ? 2 ?

【考点定位】1、复数的模;2、几何概型. 【名师点晴】本题主要考查的是复数的模和几何概型,属于中档题.解几何概型的试题,一 般先求出实验的基本事件构成的区域长度 (面积或体积) , 再求出事件 ? 构成的区域长度 (面 积或体积) ,最后代入几何概型的概率公式即可.解本题需要掌握的知识点是复数的模和几 何概型的概率公式,即若 z ? a ? bi ( a 、 b ? R ) ,则 z ?

a 2 ? b 2 ,几何概型的概率公

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式 ? ? ?? ?

试验的全部结果所构成的区域长度 ? 面积或体积 ?

构成事件?的区域长度 ? 面积或体积 ?



5.【2015 高考陕西,理 2】某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别 比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( ) B . 137 C . 123

A . 167 D.93

【答案】B 【解析】该校女老师的人数是 110 ? 70% ? 150 ? ?1 ? 60% ? ? 137 ,故选 B. 【考点定位】扇形图. 【名师点晴】 本题主要考查的是扇形图, 属于容易题. 解题时一定要抓住重要字眼 “女教师” , 否则很容易出现错误. 扇形统计图是用整个圆表示总数, 用圆内各个扇形的大小表示各部分 数量占总数的百分数.通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系. 6.【2015 高考湖北,理 2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮, 有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内 夹谷约为( A.134 石 【答案】B 【解析】依题意,这批米内夹谷约为 【考点定位】用样本估计总体. 【名师点睛】 《九章算术》是中国古代第一部数学专著,是算经十书中最重要的一种.该书内 容十分丰富,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分”是我们统计中的 用样本估计总体问题. ) B.169 石 C.338 石 D.1365 石

28 ?1534 ? 169 石,选 B. 254

??? ,x10 的标准差为 8 , 2 x2 ? 1 , 7. 【2015 高考安徽, 理 6】 若样本数据 x1 ,x2 , 则数据 2 x1 ? 1 , ??? , 2 x10 ? 1 的标准 差为(


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(A) 8

(B) 15

(C) 16

(D)

32
【答案】C 【解析】设样本数据 x1 , x2 ,??? , x10 的标准差为 DX ,则 DX ? 8 ,即方差 DX ? 64 , 而数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 , ??? , 2 x10 ? 1 的方差 D (2 X ? 1) ? 2 DX ? 2 ? 64 ,所以其
2 2

标准差为 2 ? 64 ? 16 .故选 C.
2

【考点定位】1.样本的方差与标准差的应用. 【名师点睛】已知随机变量 X 的均值、方差,求 X 的线性函数 Y ? aX ? b 的均值、方差和 标准差,可直接用 X 的均值、方差的性质求解.若随机变量 X 的均值 EX 、方差 DX 、 标准差 DX ,则数 Y ? aX ? b 的均值 aEX ? b 、方差 a 2 DX 、标准差 a DX .
2 ) ,这两个正态分布密度曲线如 8.【2015 高考湖北,理 4】设 X ? N ( ?1 , ? 12 ) ,Y ? N ( ?2 , ? 2

图所示.下列结论中正确的是(



A. P(Y ? ?2 ) ? P(Y ? ?1 ) C. 对任意正数 t ,P( X ? t ) ? P(Y ? t )

B. P( X ? ? 2 ) ? P( X ? ? 1 ) D. 对任意正数 t ,P( X ? t ) ? P(Y ? t )

【答案】C

【考点定位】正态分布密度曲线. 【名师点睛】正态曲线的性质 ①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. ②曲线是单峰的,它关于直线 x ? ? 对称.

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③曲线在 x ? ? 处达到峰值

1 . ? 2?

④曲线与 x 轴之间的面积为 1. ⑤当 ? 一定时,曲线随着 ? 的变化而沿 x 轴平移,如图甲所示

⑥μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定.σ 越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;σ 越 小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中.如图乙所示. 9.【2015 高考福建,理 4】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该 社区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x (万 元) 支出 y (万 6.2 元) 7.5 8.0 8.5 9.8 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9

? ?a ? ? 0.76, a ? ,据此估计,该社区一 ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx 根据上表可得回归直线方程 y
户收入为 15 万元家庭年支出为( A . 11.4 万 元 D.12.2 万元 【答案】B 【 解 析 】 由 已 知 得 ) B . 11.8 万 元 C . 12.0 万 元

8.2 ? 8.6 ? 10.0 ? 11.3 ? 11.9 ? 10 ( 万 元 ) , 5 6.2 ? 7.5 ? 8.0 ? 8.5 ? 9.8 ? ? 8 ? 0.76 ?10 ? 0.4 ,所以回归直线方程 ,故 a y? ? 8 (万元) 5 x?

? ? 0.76 x ? 0.4 , ? ? 0.76 ?15 ? 0.4 ? 11.8(万 为y 当社区一户收入为 15 万元家庭年支出为 y
元) ,故选 B. 【考点定位】线性回归方程. 【名师点睛】 本题考查线性回归方程, 要正确利用平均数公式计算和理解线性回归方程的意 义,属于基础题,要注意计算的准确性.

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10.【2015 高考湖北,理 7】在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x, y ,记 p1 为事件“ x ? y ? 率, p2 为事件“ | x ? y |? A. p1 ? p2 ? p3 C. p3 ? p1 ? p2 【答案】B 【解析】因为 x, y ? [0,1] ,对事件“ x ? y ? 对事件“ | x ? y |? 对为事件“ xy ?
1 ”,如图(1)阴影部分 S1 , 2
1 1 ”的概率, p3 为事件“ xy ? ”的概率,则 ( 2 2

1 ”的概 2



B. p2 ? p3 ? p1 D. p3 ? p2 ? p1

1 ”,如图(2)阴影部分 S 2 , 2

1 ”,如图(3)阴影部分 S 3 , 2

由图知,阴影部分的面积从下到大依次是 S 2 ? S 3 ? S1 ,正方形的面积为 1? 1 ? 1 , 根据几何概型公式可得 p2 ? p3 ? p1 .

(1)

(2)

(3)

【考点定位】几何概型. 【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而 与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概 型的求解方法. 11. 【2015 高考山东, 理 8】 已知某批零件的长度误差 (单位: 毫米) 服从正态分布 N 0,32 , 从中随机取 一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( (附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N ? , ? 2 )

?

?

?

?

,则 P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 68.26% ,

P ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ? ? 95.44% 。 )
(A)4.56% 【答案】B (B)13.59% (C)27.18% (D)31.74%

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【考点定位】正态分布的概念与正态密度曲线的性质. 【名师点睛】 本题考查了正态分布的有关概念与运算, 重点考查了正态密度曲线的性质以及 如何利用正态密度曲线求概率, 意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算 能力. 12.【2015 高考新课标 2,理 3】根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单 位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是(
2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年

)

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】由柱形图得,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年 份负相关,故选 D. 【考点定位】正、负相关. 【名师点睛】本题以实际背景考查回归分析中的正、负相关,利用增长趋势或下降趋势理解 正负相关的概念是解题关键,属于基础题. 【2015 高考湖南,理 7】在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲 线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( A.2386 B.2718
2



C.3413

D.4772

附:若 X ? N ( ? , ? ) ,则 P ( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ,
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P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544

【答案】C. 【解析】 试题分析:根据正态分布的性质, P (0 ? x ? 1) ? 【考点定位】1.正态分布;2.几何概型. 【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点,属于容易题,结合参考材料中给 出的数据,结 合正态分布曲线的对称性,再利用几何概型即可求解,在复习过程中,亦应关注正态分布等 相对冷门的知 识点的基本概念. 【2015 高考湖南,理 12】在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶 图如图所示,若将运动员按成绩由好到差编为 1 ? 35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区间 [139,151] 上的运动员人数是 .

1 P(?1 ? x ? 1) ? 0.34 ,故选 C. 2

【答案】 4 . 【解析】 试题分析:由茎叶图可知,在区间 [139,151] 的人数为 20 ,再由系统抽样的性质可知人数为

20 ?

7 ? 4 人. 35
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【考点定位】1.系统抽样;2.茎叶图. 【名师点睛】本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念,属于容易题,高考对统计相关知识 的考查,重点 在于其相关的基本概念,如中位数,方差,极差,茎叶图,回归直线等,要求考生在复习时 注意对这些方 面的理解与记忆. 【2015 高考上海,理 12】赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有 1 ,2 ,3 , ;随后放回该卡片, 4 , 5 的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元) 再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金(单位:元) .若 随机变量 ?1 和 ? 2 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金, 则 ??1 ? ?? 2 ? 【答案】 0.2 (元) .

【考点定位】数学期望 【名师点睛】一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为: X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

则称 E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望,均值 E(X)是一 个实数,由 x 的分布列唯一确定,即 X 作为随机变量是可变的,而 E(X)是不变的,它描述 X 值的取值平均状态.
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13. 【2015 江苏高考, 2】 已知一组数据 4, 6, 5, 8, 7, 6, 那么这组数据的平均数为________. 【答案】6 【解析】 x ?
4?6?5?8?7?6 ?6 6

【考点定位】平均数 【名师点晴】样本数据的算术平均数,即 x ? 清晰,类似概念有样本方差 s ?
2

1 (x1 +x 2 +...+x n ) .解答此类问题关键为概念 n

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ... ? ( xn ? x) 2 ] ,标准差 n

s?

1 n 是样本容量,x 是 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ... ? ( xn ? x) 2 ] .其中 xn 是样本数据的第 n 项, n

平均数.将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的 平均数)叫做这组数据的中位数. 14.【2015 高考广东,理 13】已知随机变量 X 服从二项分布 B ? n, p ? ,若 E ? X ? ? 30 ,

D ? X ? ? 20 ,则 p ?
【答案】

.

1 . 3 1 1 ,故应填入 . 3 3

【解析】依题可得 E ? X ? ? np ? 30 且 D ? X ? ? np ?1 ? p ? ? 20 ,解得 p ? 【考点定位】二项分布的均值和方差应用.

【名师点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差应用及运算求解能力,属于容易题,解答 此题关键在于理解熟记二项分布的均值和方差公式 E ? X ? ? np , D ? X ? ? np ?1 ? p ? 并运用 其解答实际问题. 15.【2015 高考福建,理 13】如图,点 A 的坐标为 ?1, 0 ? ,点 C 的坐标为 ? 2, 4 ? ,函 数 f ? x? ? x 于 【答案】
2

, 若 在 矩 形 ABCD 内 随 机 取 一 点 , 则 此 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 等 .

5 12

【解析】由已知得阴影部分面积为 4 ?

?

2

1

x 2 dx ? 4 ?

7 5 ? .所以此点取自阴影部分的概 3 3

5 5 率等于 3 ? . 4 12
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【考点定位】几何概型. 【名师点睛】本题考查几何概型,当实验结果由等可能的无限多个结果组成时,利用古典概 型求概率显然是不可能的, 可以将所求概率转化为长度的比值 (一个变量) 、 面积的比值 (两 个变量) 、体积的比值(三个变量或根据实际意义)来求,属于中档题. 16.【2015 江苏高考,5】袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为________.
5 【答案】 . 6

【解析】从 4 只球中一次随机摸出 2 只,共有 6 种摸法,其中两只球颜色相同的只有 1 种,
5 不同的共有 5 种,所以其概率为 . 6

【考点定位】古典概型概率 【名师点晴】求解互斥事件、对立事件的概率问题时,一要先利用条件判断所给的事件是互 斥事件,还是对立事件;二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率;三要准 确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率. 17.【2015 高考新课标 2,理 18】 (本题满分 12 分) 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A , B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用 户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图, 并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ;

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A 地区

B 地区

4 5 6 7 8 9 (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”. 假设两地区用户的评 价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概 率. 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 0.48 . 【解析】 (Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下 A 地区 B 地区

4 3 6 4 2 6 8 8 6 4 3 9 2 8 7 6 5 1 5 5 2 5 6 7 8 9

6 1 2 3 3

8 3 4 3 2 1 3 6 5 4 1 4 5 6 9

通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均 值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.
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【考点定位】1、茎叶图和特征数;2、互斥事件和独立事件. 【名师点睛】 本题考查茎叶图、 互斥事件和独立事件, 根据茎叶的密集程度比较平均值大小, 如果密集主干部位在高位, 那么平均值大; 方差看它们数字偏离程度, 偏离越大则方差大. 读 懂所求概率事件包含的含义,利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率. 18.【2015 高考福建,理 16】某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误, 该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银 行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试. 若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ)

1 5 ;(Ⅱ)分布列见解析,期望为 . 2 2

【解析】 (Ⅰ)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A, 则 P (A) = 创

5 4 3 1 = 6 5 4 2 1 5 1 , P(X=2) = ? 6 6 5 1 5 4 2 , P(X=3) = 创 1= . 6 6 5 3

(Ⅱ)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3 又 P (X=1) =

所以 X 的分布列为

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所以 E(X) = 1?

1 1 2 2? 3? 6 6 3

5 .学优高考网 2

【考点定位】1、古典概型;2、离散型随机变量的分布列和期望. 【名师点睛】本题考查古典概型和随机变量的期望,第一问,将事件转化为所选的三个密码
3 3 都不是该银行卡密码,共有 A5 种,而基本事件总数为 A6 ,代入古典概型概率计算公式;第

二问, 写出离散型随机变量所有可能取值, 并求取相应值的概率, 写成分布列求期望即可. 确 定离散型取值时,要科学兼顾其实际意义,做到不重不漏,计算出概率后要注意检验概率和 是否为 1,以便及时矫正。 19.【2015 高考山东,理 19】若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位 数字大于百位数字,则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等).在某次数学趣味活动中, 每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数,且只能抽取一次.得分规则如下: 若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但 不能被 10 整除,得 ?1 分;若能被 10 整除,得 1 分. (I)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ; (II)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX . 【答案】 (I)有:125,135,145,235,245,345; (II)X 的分布列为 X P 0 -1 1

2 3

1 14

11 42

EX ?

4 21

【解析】 试题分析: (I)明确“三位递增数”的含义,写出所有的三位符合条件的“三位递增数”; (II) 试题解析:明确随机变量的所有可能取值及取每一个值的含义,结合组合的知识,利 用古典概型求出 X 的分布列和数学期望 EX .

解: (I)个位数是 5 的“三位递增数”有:125,135,145,235,245,345;
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3 (II)由题意知,全部“三位递增烽”的个数为 C9 ? 84

随机变量 X 的取值为:0,-1,1,因此

P ? X ? 0? ?

2 C83 2 C4 1 1 2 11 , P ? X ? 1? ? 1 ? , ? P X ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 3 3 C9 3 C9 14 14 3 42

所以 X 的分布列为 X P 0 -1 1

2 3 2 1 11 4 因此 EX ? 0 ? ? (?1) ? ? 1? ? 3 14 42 21

1 14

11 42

【考点定位】1、新定义;2、古典概型;3、离散型随机变量的分布列与数学期望;4、组合 的应用. 【名师点睛】本题在一个新概念的背景下,考查了学生对组合、概率、离散型随机变量的分 布列等知识, 意在考查学生对新知识的理解与应用能力, 以及利用所学知识解决遇到了的问 题的能力,解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型. 20.【2015 高考安徽,理 17】已知 2 件次品和 3 件正品放在一起,现需要通过检测将其区分, 每次随机检测一件产品, 检测后不放回, 直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结 束. (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测 出 3 件正品时所 需要的检测费用(单位:元) ,求 X 的分布列和均值(数学期望). 【答案】 (Ⅰ)

3 ; (Ⅱ) 350 . 10

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故 X 的分布列为

X
P

200
1 10

300
3 10

400
6 10

EX ? 200 ?

1 3 6 ? 300 ? ? 400 ? ? 350 . 10 10 10

【考点定位】1.概率;2.随机变量的分布列与期望. 【名师点睛】高考中常常通过实际背景考查互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复 试验的概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算,同时也考查二项分布、 超几何分布等特殊的概率模型.解读此类问题时要注意分清类型,运用相应的知识进行 解答.本题易犯的错误是事件之间的关系混乱,没有理解题中给定的实际意义. 21.【2015 高考天津,理 16】 (本小题满分 13 分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛 允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协 会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会” 求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【答案】(I)

6 ; 35

(II) 随机变量 X 的分布列为

X

1

2

3

4

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P
E?X ? ? 5 2

1 14

3 7

3 7

1 14

【解析】(I)由已知,有

P( A) ?
所以事件 A 发生的概率为

2 2 2 2 C2 C3 ? C3 C3 6 ? 4 C8 35

6 . 35

(II)随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2,3, 4

P?X ? k? ?
所以随机变量 X 的分布列为

4?k C5k C3 (k ? 1, 2,3, 4) C84

X P

1

2

3

4

3 1 7 14 1 3 3 1 5 所以随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 14 7 7 14 2
【考点定位】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望. 【名师点睛】本题主要考查古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.把 实际生活中的乒乓球比赛与数学中的古典概型相结合, 体现了数学的实际应用价值与研究价 值,也体现了数学中概率、期望对实际生活中的一些指导作用. 22.【2015 高考重庆,理 17】 端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有 10 个粽子, 其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取 3 个。 (1)求三种粽子各取到 1 个的概率; (2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望 【答案】 (1)

1 14

3 7

1 3 ; (2)分布列见解析,期望为 . 4 5

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X P

0

1

2

7 15
3 . 5

7 15

1 15

故 E(X) = 0 ?

7 7 1 1? 2? 15 15 15

【考点定位】古典概型,随机变量的颁布列与数学期望.考查学生的数据处理能力与运算求 解能力. 【名师点晴】在解古典概型概率题时,首先把所求样本空间中基本事件的总数 n ,其次所求 概率事件中含有多少个基本事件 m ,然后根据公式 P ?

m 求得概率;求解一般的随机变量 n

的期望和方差的基本方法是:先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后根 据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率, 列出分布列, 根据数学期望和方差的公式 计算. 注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用, 对实际的含义 要正确理解. 23.【2015 高考四川,理 17】某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐 3 名男 生,2 名女生,B 中学推荐了 3 名男生,4 名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由于集 训后队员的水平相当, 从参加集训的男生中随机抽取 3 人, 女生中随机抽取 3 人组成代表队 (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率.
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(2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛,设 X 表示参赛的男生人数, 求 X 得分布列和数学期望. 【答案】 (1)A 中学至少 1 名学生入选的概率为 p ? (2)X 的分布列为:

99 . 100

X p

1 1 5

2 3 5

3 1 5

X 的期望为 E ( X ) ? 2 . 【解析】 (1)由题意,参加集训的男女生各有 6 名.
3 3 C3 C 1 参赛学生全从 B 中抽取(等价于 A 中没有学生入选代表队)的概率为 3 4 . ? 3 C6 C6 100

因此,A 中学至少 1 名学生入选的概率为 1 ? (2)根据题意,X 的可能取值为 1,2,3.

1 99 ? . 100 100

P( X ? 1) ?

1 3 C3 C3 1 ? , C64 5

C32C32 3 P( X ? 2) ? ? , C64 5 P( X ? 3) ?
3 1 C3 C3 1 ? , C64 5

所以 X 的分布列为:

X p

1 1 5

2 3 5

3 1 5

因此,X 的期望为 E ( X ) ? 1?

1 3 1 ? 2 ? ? 3? ? 2 . 5 5 5

【考点定位】本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知 识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题 的能力. 【名师点睛】应用问题一定要注意弄清题意,找出题中的关键字词.在本题中,就要分清楚 集训队与代表队的区别.求概率时,如果直接求比较复杂,就应该先求其对立事件的概率.超
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几何分布和二项分布是中学中的两个重要概率分布,考生必须牢固掌握.本题的概率分布就 是一个超几何分布问题. 24.【2015 高考湖北,理 20】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A, B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨,使用设备 1 小时,获利 1000 元;生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨,使 用设备 1.5 小时,获利 1200 元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备每 天生产 A, B 两种产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位:吨) 是一个随机变量,其分布列为 W P 12 0.3 15 0.5 18 0.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z (单 位:元)是一个随机变量. (Ⅰ)求 Z 的分布列和均值; (Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立, 求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率. 【答案】 (Ⅰ) Z 的分布列为:
Z P

8160 0.3

10200 0.5

10800 0.2

(Ⅱ)0.973. E ( Z ) ? 9708 ;

y

y

y 12

10 8 B(2.4,4.8) 8 B(3,6) 8 B(3,6) C(6,4)

O A(0,0)

C(6,0)

12

x

O A(0,0)

C(7.5,0)

12

x

O A(0,0)

D(9,0) 12

x

第 20 题解答 第 20 题解答 图 2 图 1 目标函数为 z ? 1000 x ? 1200 y.

第 20 题解答 图3

当W ? 12 时, (1)表示的平面区域如图 1,三个顶点分别为 A(0, 0), B(2.4, 4.8), C (6, 0) .
5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200
5 z 当 x ? 2.4, y ? 4.8 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200

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最大获利 Z ? zmax ? 2.4 ? 1000 ? 4.8 ? 1200 ? 8160 . 当W ? 15 时, (1)表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C (7.5, 0) .
5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200

5 z 当 x ? 3, y ? 6 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200

最大获利 Z ? zmax ? 3 ? 1000 ? 6 ? 1200 ? 10200 . 当 W ? 18 时, (1)表示的平面区域如图 3, 四个顶点分别为 A(0, 0), B(3, 6), C (6, 4), D(9, 0) .
5 z 将 z ? 1000 x ? 1200 y 变形为 y ? ? x ? , 6 1200 5 z 当 x ? 6, y ? 4 时,直线 l : y ? ? x ? 在 y 轴上的截距最大, 6 1200

最大获利 Z ? zmax ? 6 ? 1000 ? 4 ? 1200 ? 10800 . 故最大获利 Z 的分布列为
Z P

8160 0.3

10200 0.5

10800 0.2

因此, E ( Z ) ? 8160 ? 0.3 ? 10200 ? 0.5 ? 10800 ? 0.2 ? 9708. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过 10000 元的概率 p1 ? P( Z ? 10000) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.7 , 由 二 项 分 布 , 3 天 中 至 少 有 1 天 最 大 获 利 超 过 10000 元 的 概 率 为

p ? 1 ? (1 ? p1 )3 ? 1 ? 0.33 ? 0.973.
【考点定位】线性规划的实际运用,随机变量的独立性,分布列与均值,二项分布. 【名师点睛】 二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型, 是近年高考非常重要的一个考 点.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此),就像对立事件是互斥事件的 特例一样,只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少” 或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样. 25.【2015 高考陕西,理 19】 (本小题满分 12 分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间 为 ? , ? 只与道路畅通状况有关,对其 容量为 100 的样本进行统计,结果如下:

? (分钟)
频数(次)

25 20

30 30

35 40

40 10

(I)求 ? 的分布列与数学期望 ?? ;
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(II)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老校 区,求刘教授 从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率. 【答案】 (I)分布列见解析, 32 ; (II) 0.91 . 【解析】 试题分析: (I)先算出 ? 的频率分布,进而可得 ? 的分布列,再利用数学期望公式可得数学 期望 ?? ; (II)先设事件 ? 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分 钟”,再算出 ? 的概率. 试题解析: (I)由统计结果可得 ? 的频率分步为

? (分钟)
频率

25 0.2

30 0.3

35 0.4

40 0.1

以频率估计概率得 ? 的分布列为

? ?
从而

25 0.2

30 0.3

35 0.4

40 0.1

ET ? 25 ? 0.2 ? 30 ? 0.3 ? 35? 0.4 ? 40? 0.1? 32 (分钟)

故 P (A) = 1 - P(A) = 0.91 . 考点:1、离散型随机变量的分布列与数学期望;2、独立事件的概率. 【名师点晴】 本题主要考查的是离散型随机变量的分布列与数学期望和独立事件的概率, 属 于中档题.解题时一定要抓住重要字眼“不超过” ,否则很容易出现错误.解离散型随机变 量的分布列的试题时一定要万分小心, 特别是列举随机变量取值的概率时, 要注意按顺序列
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举,做到不重不漏,防止出现错误. 26.【2015 高考新课标 1,理 19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年 宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi ( i =1,2,· · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及 一些统计量的值.

? x
46.6

? ? y
56.3

? ? w
6.8

? ( x ? x)
i ?1 i

8

2

? (w ? w)
i ?1 i

8

2

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

8

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

8

289.8

1.6
i

1469

108.8

表中 wi ?

? ? 1 xi , w = 8

?w
i ?1

8

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (ⅰ)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ,……, (un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为:

?= ?

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

? =v ? ? ?u ,?

2

【答案】 (Ⅰ) y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型; (Ⅱ)

? y ? 100.6 ? 68 x (Ⅲ)46.24
【解析】
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试题分析: (Ⅰ) 由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数; (Ⅱ) 令w ?

x,

先求出建立 y 关于 w 的线性回归方程,即可 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)(ⅰ)利用 y 关于 x 的回归方程先求出年销售量 y 的预报值,再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可 年利润 z 的预报值; (ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润 z 的预报值,列出关于 x 的方程, 利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用. 试题解析: (Ⅰ)由散点图可以判断, y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的 回归方程类型. ……2 分

故宣传费用为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.……12 分 【考点定位】非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识 【名师点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用,是源于课本的试题 类型,解答非线性拟合问题,先作出散点图,再根据散点图选择合适的函数类型,设出回 归方程,利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程,求出样本数据换元后的值,然 后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数,即可求出非线性回归方 程,再利用回归方程进行预报预测,注意计算要细心,避免计算错误. 27. 【2015 高考北京, 理 16】 A ,B 两组各有 7 位病人, 他们服用某种药物后的康复时间 (单 位:天)记录如下:
A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14, a
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假设所有病人的康复时间互相独立,从 A , B 两组随机各选 1 人, A 组选出的人记为 甲, B 组选出的人记为乙. (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (Ⅱ) 如果 a ? 25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (Ⅲ) 当 a 为何值时, A , B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明) 【答案】 (1) 【解析】 试题分析:针对甲有 7 种情况,康复时间不少于 14 天有 3 种情况,概率为

3 10 , ( 2) , (3) a ? 11 或 18 7 49

3 ;如果 7

a ? 25 ,甲、乙随机各取一人有 49 种情况,用列举法列出甲的康复时间比乙的康复
时间长的情况有 10 种,概率为

10 , 49

由于 A 组数据为 10,11,12,13,14,15,16;B 组数据调整为 a ,12,13,14,15, 16,17,或 12,13,14,15,16,17, a ,由于 A , B 两组病人康复时间的方差相等, 即波动相同,所以 a ? 11 或 18 . 试题解析: (Ⅰ)甲有 7 种取法, 康复时间不少于 14 天的有 3 种取法, 所以概率 P ?

3 ; 7

(Ⅱ) 如果 a ? 25 ,从 A , B 两组随机各选 1 人, A 组选出的人记为甲, B 组选出的人 记为乙共有 49 种取法,甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下: (13,12) , (14, 12) , (14,13) , (15,12) , (15,13) ,(15,14),(16,12) (16,13),(16,15),(16,14) 有 10 种取法,所以概率 P ?

10 . 49

(Ⅲ)把 B 组数据调整为 a ,12,13,14,15,16,17,或 12,13,14,15,16,17,a , 可见当 a ? 11 或 a ? 18 时,与 A 组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明,但本 题不需要) 考点:1、古典概型;2、样本的方差 【名师点睛】本题考查古典概型和样本的方差,本题属于基础题,利用列举法准确列举事件 的种数,求出概率.根据方差反应样本波动的大小,求出未知量. 28.【2015 高考广东,理 17】某工厂 36 名工人的年龄数据如下表:
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工人编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

年龄 40 44 40 41 33 40 45 42 43

工人编号 10 11 12 13 14 15 16 17 18

年龄 36 31 38 39 43 45 39 38 36

工人编号 19 20 21 22 23 24 25 26 27

年龄 27 43 41 37 34 42 37 44 42

工人编号 28 29 30 31 32 33 34 35 36

年龄 34 39 43 38 42 53 37 49 39

(1) 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本, 且在第一分段里用随机抽样法抽到 的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的平均值 x 和方差 s 2 ; ( 3 ) 36 名工人中年龄在 x ? s 与 x ? s 之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到 0.01%)? 【答案】 (1) 44 , 40 , 36 , 43 , 36 , 37 , 44 , 43 , 37 ; (2) x ? 40 , s 2 ?

100 ; (3) 9

23 ,约占 63.89% .

∴ 年龄在 x ? s 与 x ? s 之间共有 23 人,所占百分比为

23 ? 63.89% . 36

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【考点定位】系统抽样、样本的均值与方差、样本数据统计. 【名师点睛】本题主要考查系统抽样、样本的均值与方差、样本数据统计等基础知识和运算 求解能力,属于中档题,整体难度不大,解答本题关键在于第(1)问要准确由系统抽样的 定义得出对应的样本数据,第(2) (3)问则直接准确运用公式即可解答,但需注意运算过 程和运算方法的应用. 18. 【2015 高考湖南,理 18】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽 奖,每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各 随机摸出 1 个球,在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红球,则获二 等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X ,求 X 的分 布列和数学期望. 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)记事件 A1 ? {从甲箱中摸出的 1 个球是红球} , A2 ? {从乙箱中摸出的 1 个球是红球}

7 ; (2)详见解析. 10

B1 ? {顾客抽奖 1 次获一等奖} , B2 ? {顾客抽奖 1 次获二等奖} , C ? {顾客抽奖 1 次能
获奖} ,则可知 A1 与 A2 相互独立, A1 A2 与 A1 A2 互斥, B1 与 B2 互斥,且 B1 ? A1 A2 , B2 ? A1 A2 ? A1 A2 ,

C ? B1 ? B2 ,再
利用概率的加法公式即可求解; ( 2 ) 分 析 题 意 可 知 X ? B (3, ) , 分 别 求 得

1 5

1 4 64 P( X ? 0) ? C30 ( )0 ( )3 ? 5 5 125



48 1 1 1 4 2 P( X ? 1) ? C3 ( )( ) ? 5 5 125



1 4 12 1 3 1 3 4 0 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? ,P ( X ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? , 即可知 X 的概率分布及 5 5 125 5 5 125
其期望. 试题解析: (1)记事件 A1 ? {从甲箱中摸出的 1 个球是红球} , A2 ? {从乙箱中摸出的 1
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个球是红球} , B2 ? {顾客抽奖 1 次获二等奖} , C ? {顾客抽奖 1 次能 B1 ? {顾客抽奖 1 次获一等奖} 获奖} ,由题意, A1 与 A2 相互独立, A1 A2 与 A1 A2 互斥, B1 与 B2 互斥,且 B1 ? A1 A2 ,

B2 ? A1 A2 ? A1 A2 , C ? B1 ? B2 ,
∵ P ( A1 ) ?

4 2 5 1 2 1 1 ? , P( A2 ) ? ? ,∴ P( B1 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? , 10 5 10 2 5 2 5

P( B2 ) ? P( A1 A2 ? A1 A2 ) ? P ( A1 A2 ) ? P ( A1 A2 ) ? P ( A1 )(1 ? P ( A2 )) ? (1 ? P ( A1 )) P ( A2 )

2 1 2 1 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 5 2 5 2 2















1 1 7 P(C ) ? P( B1 ? B2 ) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? ? ? 5 2 10





2





【考点定位】1.概率的加法公式;2.离散型随机变量的概率分布与期望. 【名师点睛】 本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实 际应用,这一 直都是高考命题的热点, 试题的背景由传统的摸球, 骰子问题向现实生活中的热点问题转化, 并且与统计 的联系越来越密切,与统计中的抽样,频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多,在 复习时应予以
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