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大一高数课件第七章 空间直角坐标系 7-1-1

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一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向符合 右手系. 右手系.
即以右手握住 z 轴,当右 手的四个手指从正向 x

z 竖轴

定点

o

?

y 纵轴

π 轴以 角度转向正向 y 轴 2
时,大拇指的指向就是 z 轴的正向. 轴的正向.

横轴 x

空间直角坐标系



z

zox 面


yoz 面


xoy 面
Ⅶ Ⅷ

o

y
Ⅵ Ⅴ



x
空间直角坐标系共有八个卦限 空间直角坐标系共有八个卦限

1? ? 空间的点 ←? 1→ 有序数组 ?

( x, y, z )
P , Q , R,

特殊点的表示: 特殊点的表示: 坐标面上的点
O (0,0,0)

坐标轴上的点
A, B , C ,
R( 0 ,0 , z )

z

B ( 0, y , z )
?

C ( x , o, z )

M ( x, y, z)
Q ( 0 , y ,0 )

o

y

x

P ( x ,0 ,0 )

A( x , y ,0)

二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 为空间两点

z

R
?M 2
M1

d = M1 M 2 = ?

?

Q
N

P

在 直 角 ?M 1 NM 2 及 直角 ?M 1 PN 中 ,使 用勾股定理知

o
x

y
d 2 = M 1 P + PN + NM 2 ,
2 2 2

Q M 1 P = x2 ? x1 ,
NM 2 = z2 ? z1 ,
∴d =
2 2

PN = y2 ? y1 ,
2

z

R
? M2
M1

?

M 1 P + PN + NM 2

P
o

Q N

y

x

M1 M 2 =

( x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 ) + ( z2 ? z1 ) .
2 2 2

空间两点间距离公式 特殊地: 特殊地:若两点分别为 M ( x , y , z ) , O(0,0,0)

d = OM = x 2 + y 2 + z 2 .

例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的 三角形是一个等腰三角形. 三角形是一个等腰三角形.

解 M 1 M 2 = (7 ? 4)2 + (1 ? 3)2 + ( 2 ? 1)2 = 14,
2 2 2 2 M 2 M 3 = (5 ? 7 ) + ( 2 ? 1) + ( 3 ? 2) = 6, 2

M 3 M1 = (4 ? 5)2 + ( 3 ? 2)2 + (1 ? 3)2 = 6,
2

∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,

原结论成立. 原结论成立.

轴上, 例 2 设 P 在 x 轴上,它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为到点 P2 ( 0,1,?1) 的距离的两倍, 的坐标. 的距离的两倍,求点 P 的坐标.

解 因为 P 在 x 轴上, P 点坐标为 ( x ,0,0), 设 轴上,
PP1 = x 2 + ( 2 )2 + 32 =

x 2 + 11,
x 2 + 2,

PP2 =

2 x 2 + (? 1) + 12 =

Q PP1 = 2 PP2 ,

∴ x 2 + 11

= 2 x2 + 2

? x = ±1,

所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

三、小结
卦限) 空间直角坐标系 (轴、面、卦限)
(注意它与平面直角坐标系的区别) 注意它与平面直角坐标系的区别) 区别

空间两点间距离公式

M1 M 2 =

( x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 ) + ( z2 ? z1 )
2 2

2

思考题 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限?

A(1,?2,3) , B( 2,3,?4) , C ( 2,?3,?4) , D( ?2,?3,1) .
思考题解答

A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ; Ⅳ Ⅴ Ⅷ Ⅲ

练习题
一、填空题 下列各点所在卦限分别是: 1、下列各点所在卦限分别是:

( a、 1 , - 2 , 3)在 _________ ;

( c、 2, ? 3 , ?4 )在 ________ ; ( d、 ? 2 , ? 3 , 1)在 _______;

( b、 2 , 3 , ? 4 )在 ________ ;

2、点 p ( ? 3 , 2 , ? 1 ) 关于平面 ________ ,关于平面 关于平面 的对称点是 zox 的对称点是

xoy 的对称点是 ______,

yoz 的对称点是

________ ,关于 x 轴 _________ ;

_________ ,关于 y 轴的对称点是

_________ ,关于 z 轴的对称点是

3、点 A ( ? 4 , 3 , 5 ) 在 xoy 平面上的射影点为_____ ______, 面上的射影点为__________ __________, ______,在 yoz 面上的射影点为__________,在 轴上的射影点为_________ _________, zox 轴上的射影点为_________,在 x 轴上 的射影 的射影点为______ ______, 点为________ ________, 点为________,在 x 轴上 的射影点为______,在 的射影点为_______ z 轴上 的射影点为_______ ; 已知空间直角坐标系下, 4、已知空间直角坐标系下,立方体的 4 个顶点为 A( ? a ,? a ,? a ) , B( a ,? a ,? a ) ,C ( ? a , a ,? a ) 和 则其余顶点分别为_________ _________, D( a , a , a ) ,则其余顶点分别为_________,____ __________,__________, __________,__________,_________ ;

5、已知三角形的三个顶点 A( 2 ,?1 ,4 ) , B( 3 , 2 ,?6 ) , 点的中线长为__________; ) C (?5 , 0 , 2 ) 则(1)过 A 点的中线长为 ?
中线长为________ ________; ( 2)过 B 点的 中线长为________; ) 长为___________ ___________; ( 3)过 B 点的 中 线长为___________; )

6、已知平行四边形 ABCD 的两个顶点 A( 2 ,?3 ,?5 ) , B(?1 , 3 , 2 ) 的及它的对角线的交点 E ( 4 ,?1 , 7 ) ,则 ? _________, 顶点 D 的坐标 为_________,顶点 D 的坐标 为_____ ______; ______; 7、若直线段落 AB 被点C ( 2 , 0 , 2 ) 及点 D( 5 ,?2 , 0 ) 内 等分, 的坐标为_________ _________, 分为3 等分, 端点 A 的坐标为_________, 端点 B 则 的坐标为_________ 的坐标为_________ .
二 、 在 yoz 面 上 , 求 与 三 个 已 知点 A ( 3 , 1 , 2 ) , B ( 4 , ? 2 , ? 2 ) 和 C ( 0 , 5 , 1 ) 等 距 离的 点 .

练习题答案
一、1、Ⅳ ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ; 2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1), (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1); (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1); 3、(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5), (-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5); (-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5); 4、(a , a ,? a ), ( ? a , a , a ), ( ? a ,? a , a ), (a ,? a , a ) ; 1 1 6、(6,1,19),(9,-5,12); 5、7, 430 , 262 ; 6、(6,1,19),(9,-5,12); 2 2 (-1,2,4),(8,-4,-2); 7、(-1,2,4),(8,-4,-2); 1 4 1 4 1 4 8、 x = ∑ x i , y = ∑ y i , z = ∑ z i . 4 i =1 4 i =1 4 i =1 (0,1,-2). 二、(0,1,-2).


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