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《优化探究》2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第三章 三角函数、解三角形 3巧突破_图文

时间:2015-07-05

高考总复习 A 数学

三角函数、解三角形问题
高考中有以下几类解答题常用到此种审题方法:

1.三角形一些量的求解及三角形形状的判定.
2.函数、不等式问题常利用变换数式问题形式. 山 典例 (2013年新课标全国卷Ⅱ)(本题满分12分)△ABC的内角A,B, 东 金 C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. 太 阳 (1)求B; 书 业 (2)若b=2,求△ABC面积的最大值. 有 限 公 司
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3.数列中的求值或一些性质应用.

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(1)由已知及正弦定理得 ①sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又 A=π-(B+C), ②故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由①②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B=4 分) 分) 分)

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1 2 (2)△ABC 的面积 S=2acsin B= 4 ac

分)

π 由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos 4. 4 又 a2+c2≥2ac,故 ac≤ ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2 分) 因此△ABC 面积的最大值为 2+ 分)

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常见失分探因 易忽略说明B,C的范围,导致扣分.

利用基本不等式求出a,c的范围,而不说明取等号的条件.

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3 1 1.已知函数 f(x)= 2 sin 2x-cos2x-2,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c= 3,f(C) =0,sin B=2sin A,求 a,b 的值.

1+cos 2x 1 3 解析:(1)∵f(x)= 2 sin 2x- -2 2 π? =sin 2x-6? ?-1, ? 2π ∴函数 f(x)的最小正周期是 T= 2 =π.
? ? ? ?

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π? (2)∵f(x)=sin 2x-6? ?-1,且 f(C)=0, ? π? ∴f(C)=sin 2C-6? ?-1=0, ? π 即 sin(2C-6)=1, ∵0<C<π,∴0<2C<2π, π π 11π ∴-6<2C-6< 6 , π π π ∴2C-6=2,∴C=3. ∵sin B=2sin A, a 1 ∴由正弦定理得b=2,①
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π 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos 3, 即 a2+b2-ab=3,② 由①②解得 a=1,b=2.
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2.(2014 年高考重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c,且 a+b+c=8, 5 (1)若 a=2,b=2,求 cos C 的值;

山 9 2B 2 A (2)若 sin Acos 2 +sin Bcos 2 =2sin C,且△ABC 的面积 S=2sin C, 东 金 太 求 a 和 b 的值. 阳 书 业 有 限 公 司
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7 解析:(1)由题意可知:c=8-(a+b)=2. 由余弦定理得,
? ? 5? ?2 ?7?2 -?2? a2+b2-c2 2 + 2? 1 ? ? ? cos C= 2ab = 5 =-5. 2×2×2

2

? ? ? ?

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B 2 A (2)由 sin Acos 2 +sin Bcos 2 =2 sin C,可得:
2

1+cos B 1+cos A sin A· 2 +sin B· 2 =2sin C, 化简得 sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C. 因为 sin Acos B+cos Asin B =sin(A+B)=sin C, 所以 sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知:a+b=3c. 又因 a+b+c=8,故 a+b=6.

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1 9 由于 S=2absin C=2sin C, 所以 ab=9, 从而 a2-6a+9=0,解得 a=3,b=3.
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π? 1.已知 f(x)=4cos x· cos x-3? ?-2. ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; π π? (2)求函数 f(x)在区间 -6,4? ?上的最大值和最小值. ?
π? 解析:(1)因为 f(x)=4cos xcos x-3? ?-2 ?
?1 ? 3 ? =4cos x cos x+ sin x?-2 2 ?2 ?
? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

= 3sin 2x+2cos2x-2 = 3sin 2x+cos 2x-1 π? =2sin 2x+6? ?-1. ? 2π 所以 f(x)的最小正周期是 T= 2 =π.
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π π (2)因为-6≤x≤4, π π 2π 所以-6≤2x+6≤ 3 . π π π 于是当 2x+6=2,即 x=6时, f(x)取得最大值 1; π π 当 2x+6=-6, π 即 x=-6时,f(x)取得最小值-2.

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2.(2014 年高考浙江卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别 A-B 为 a,b,c.已知 4sin2 2 +4sin (1)求角 C 的大小; (2)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. Asin B=2+ 2.
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解析:(1)由已知得 2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+ 2, 2 化简得-2cos Acos B+2sin Asin B= 2,故 cos(A+B)=- 2 . 3π π 所以 A+B= 4 ,从而 C=4. 1 (2)因为 S△ABC=2absin C, π 由 S△ABC=6,b=4,C=4,得 a=3 2. 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C, 得 c= 10.

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3.已知 A,B,C 是△ABC 的三个内角,向量 m=(sin A-sin B,sin C),向量 n=( 2sin A-sin C,sin A+sin B),且 m∥n. (1)求角 B; 3 (2)若 sin A=5,求 cos C 的值.

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解析:(1)依题意得 sin2A-sin2B=sin C( 2sin A-sin C)= 2sin Asin C-sin2C, 由正弦定理得,a2-b2= 2ac-c2, ∴a2+c2-b2= 2ac. a2+c2-b2 2 由余弦定理知,cos B= 2ac = 2 , ∵0<B<π, π ∴B=4.

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3 2 (2)∵sin A=5,∴sin A< 2 ,∴A<B. π π 4 又 B=4,∴A<4,∴cos A=5,
? 3π 3π 3π 2 ∴cos C=cos 4 -A? cos A + sin sin A =- ?=cos 4 4 10 . ? ? ? ? ?

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