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宁夏银川一中2019届高三第五次月考数学(文)试题(解析版)

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银川一中 2019 届高三年级第五次月考 文 科 数 学
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A. ? B. , C. ,则 D. =

【答案】B 【解析】 【分析】 先求集合 N,再求集合的交集.
x 【详解】因为 N={x|3 >1}={x|x>0},M={x|x<1},所以 M∩N={x|0<x<1},

故选:B. 【点睛】本题考查了指数函数的性质和集合的基本运算,属于基础题. 2.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡” 的( )条件. B. 必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要

A. 充分 【答案】B 【解析】 【分析】

根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”, 故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件, 故选:B. 【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的定义,属于基础题. 3. (2013?湖北)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别

1

得到以下四个结论: ①y 与 x 负相关且 =2.347x﹣6.423; ②y 与 x 负相关且 =﹣3.476x+5.648; ③y 与 x 正相关且 =5.437x+8.493; ④y 与 x 正相关且 =﹣4.326x﹣4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( A. ①② 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意得,当回归系数 正确的,故选 A. 考点:回归系数的意义. 时, 与 正相关;当回归系数 时, 与 负相关,所以只有①④是 B. ②③ C. ③④ ) D. ①④

4.设向量 A. -4 B. 2 C. 4 D. 8

.若

,则实数 的值是

【答案】D 【解析】 【分析】 先求出 【详解】∵ ∵ =(3,4+x) ,再由 ∴ ,求出实数 x 的值. =(3,4+x) ,

,∴4+x=12,得 x=8.

故选:D. 【点睛】本题主要考查两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算,属于基础题.

5.设 <b,函数

的图象可能是( )

【答案】C 【解析】

2

,由 负。故选 C。



,∴当

时, 取极大值 0,当

时 取极小值且极小值为

6.按照如图程序运行,则输出 k 的值是

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

【答案】A 【解析】 【分析】 本程序是直到型循环结构的程序框图,依次计算程序运行的结果,直到满足条件 x>16,输出 k 的值. 【详解】解:由程序语句知:算法是直到型循环结构的程序框图, 3+1=7,k=1; 第一次运行 x=2× 7+1=15,k=2; 第二次运行 x=2× 15+1=31,k=3;此时满足 x>16,程序运行终止,输出 k=3. 第三次运行 x=2× 故选:A. 【点睛】本题考查了直到型循环结构的程序语句,根据程序语句判断程序的流程是解答此类问题的关键, 属于基础题. 7.若复数 A. B. C. 且 D. 1 ,则 =

【答案】A 【解析】 【分析】 由 得 cos2θ= ,再利用余弦的二倍角公式求解即可.
2 2 =(cosθ+isinθ) +(cosθ﹣isinθ) =2cos2θ=1

2 【详解】∵z +

∴cos2θ= ,∴sin2θ= 故选:A.

= .

3

【点睛】本题考查了复数代数形式的平方运算和三角函数余弦的二倍角公式的求值,属于基础题. 8.如图,大正方形的面积是 34,四个全等直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为 3,向大 正方形内抛一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为( )

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】

直角三角形的较短边长为 3,则较长边长为 5,所以小正方形边长为 2,面积为 4, 所以向大正方形内抛一枚幸运小花朵时, 小花朵落在小正方形内的概率为 本题选择 B 选项. 点睛:数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键:用图形准确 表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式,在图形 中画出事件 A 发生的区域,据此求解几何概型即可.
9.已知数列 的通项公式是 ,则

.

A. 110
【答案】C 【解析】 【分析】

B. 100

C. 55

D. 0

2 由已知条件得 an=n sin(

π)=

2 2 2 2 2 2 ,所以 a1+a2+a3+…+a10=2 ﹣1 +4 ﹣3 +…+10 ﹣9 ,由

此能求出结果. 【详解】∵ =n + ,n∈N*,∴an=n2sin(
4

π)=



∴a1+a2+a3+…+a10=22﹣12+42﹣32+…+102﹣92=1+2+3+…+10= 故选:C. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性,属于中档题. 10.斜率为 2 的直线 l 过双曲线 离心率 e 的取值范围是 的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的

A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】

B. D.

利用数形结合,根据已知直线的斜率,求出渐近线的斜率范围,推出

的关系,然后求出离心率的范围.

【详解】

双曲线的一条渐近线的斜率为 , 结合图形分析可知, 若 小于或等于 2, 则直线与双曲线的一支相交或没有交点,不合题意; 所以 必大于 2,即 ,

解得双曲线的离心率

,故选 D.
5

【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围,属于中档题.求离心率范围问题,应先 将 用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于 的不等式,从而求出 的取值范围. 11.若点 P 在平面区域
2 2 上,点 Q 在圆 x +(y+2) =1 上,则|PQ|的最小值为

A.

-1

B.

-1

C. 2 -1

D.

-1

【答案】A 【解析】 【分析】 作出可行域,将|PQ|的最小值转化为圆心到可行域的最小值,结合图形,求出 最小值. 【详解】作出可行域,要使|PQ|的最小,只要圆心 F(0,﹣2)到 P 的距离最小, 结合图形当 的交点 C(-1,0)处时,|FP|最小为 的最小值,减去半径得 的

又因为圆的半径为 1, 故|PQ|的最小为 -1.

故选:A. 【点睛】本题考查了简单的线性规划和圆有关的最值问题,转化为数形结合的解题思想方法,属于中档题. 12.若函数 A. 【答案】A 【解析】 【分析】 设公切线与 f(x) 、g(x)的切点坐标,由导数的几何意义、斜率公式列出方程化简,分离出 a 后构造函数,
6

的图象与曲线 C: B. C. D.

存在公共切线,则实数 的取值范围为

求出函数的最值,即可求出实数 a 的取值范围.
2 【详解】设公切线与 f(x)=x +1 的图象切于点(x1,

) ,

x 与曲线 C:g(x)=ae +1 切于点(x2,

) ,

∴2x1=





化简可得,2x1=

,得 x1=0 或 2x2=x1+2,

∵2x1=

,且 a>0,∴x1>0,则 2x2=x1+2>2,即 x2>1,

由 2x1=

得 a=



设 h(x)=

(x>1) ,则 h′(x)=



∴h(x)在(1,2)上递增,在(2,+∞)上递减, ∴h(x)max=h(2)= ,

∴实数 a 的取值范围为(0, ], 故选:A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式,导数与函数的单调性、最值问题的应用,及方程思想和 构造函数法,属于中档题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13. 将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91,现场做的 9 个分 数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示: 8 7 7

9

4

0

1

0

x

9

1

则 7 个剩余分数的方差为________. 【答案】 【解析】
7

试题分析:根据茎叶图知道:去掉一个最高分和最低分后这组数为 均 数 是 . 考点:1.茎叶图的应用;2.平均数和方差的求解. 14.设 是首项为 ,公差为 1 的等差数列, 为其前 项和.若 , 所 以

,所以这组数据的平 . 所 以 这 组 数 据 的 方 差 是

成等比数列,则 的值为______.

【答案】 【解析】 【分析】 由等差数列的前 n 项和求出 S1,S2,S4,然后再由 S1,S2,S4 成等比数列列式求解 a1 即可.
2 【详解】由题意可得 S2 =S1?S4,因为

是首项为 ,公差为 1 的等差数列∴(2a1+1) =a1?(4a1+6) ,

2

解得 a1= , 故答案为: . 【点睛】本题主要考查了等差数列的前 n 项和公式,等比数列的定义和性质,属于基础题. 15.已知抛物线 C: 【答案】1 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出. 【详解】抛物线 C:y =x 的焦点为 F ∴ =m+ ,解得 m=1.
2

的焦点为 F,点

是抛物线 C 上一点,

,则

______.

,∵A(m,n)是 C 上一点,AF=

,m>0.

故答案为:1. 【点睛】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式的应用,属于基础题. 16.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 AD,B1C1 上的动点,设 AE=λ,B1F=μ.若平面 BEF 与正方体的截面是五边形,则 λ+μ 的取值范围是________.

8

【答案】1<λ+μ<2 【解析】 【分析】 通过特殊位置来分析,当 = =1,则平面 BEF 与正方体的截面是三角形,当 =1, =0,则平面 BEF 与正 方体的截面是四边形,有临界位置即可得出结论. 【详解】由题意,当 =1, =0,则平面 BEF 与正方体的截面是四边形,随着 B1F= 变大,平面 BEF 与正方 体的截面是五边形,由此 λ+μ>1, 随着 B1F= 面 BEF 与正方体的截面是三角形,由此 λ+μ<2,. 故 1<λ+μ<2 故答案为:1<λ+μ<2. 【点睛】本题考查面与正方体的截面问题位置关系,选取了特殊位置的方法,属于中档题. ,平面 BEF 与正方体的截面还是五边形,当 = =1,则平

三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分
17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 (1)求证: (2)若 成等差数列; ,求 的值. 已知 .

【答案】 (1)证明见解析; (2) . 【解析】 试题分析: (1)由条件利用二倍角公式可得 可得 值. 试题解析: (1) 【证明】 , ,
9

,再由正弦定理可得 ,再由余弦定理

,由此

成等差数列; (2)由(1)可得

,由此可求得 的



,即 (2) 【解】 c= ,

成等差数列.

= 由(1) , 得: . , ,



考点:1、等差数列的定义与性质;2、正弦定理;3. 、余弦定理;4、二倍角公式. 18.(本题满分 12 分)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工 人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的 日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人 的日平均生产件数分成 5 组: 分布直方图. , , , , 分别加以统计,得到如图所示的频率

(Ⅰ)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的 频率. (Ⅱ)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 否有 附表: P( ) 0.100 0.010 0.001 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? 的列联表,并判断是

k

2.706

6.635

10.828

10

, (其中



【答案】 (1) 【解析】

; (2)没有.

试题分析: (1)首先根据分层抽样比计算 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名,然后根据频 率分布直方图计算样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中两组的人数=样本容量 频率(小矩形的面积) 然后进行标记,并列举所有抽取两名工人的基本事件的个数和至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果, 并根据古典概型计算概率; (2)首先计算两组中生产能手的人数,其他就是非生产能手,并填写 格中的 比较大小,并得到结论. 列联表,根据公式计算 ,和表

试题解析:解: (1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名. 25 周岁以上组工人有 所以样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以下组工人有 (人) ,记为 , . , , , , , (人) , 记为 , , ;

从中随机抽取 2 名工人, 所有的可能结果共有 10 种, 它们是: , , , , .

其中,至少 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们是 , , ,故所求的概率 .









“25 周岁以上组”中的生产能手有 (2) 由频率分布直方图可知, 在抽取的 100 名工人中, “25 周岁以下组”中的生产能手有 生产能手 (人) ,据此可得 非生产能手 列联表如下: 合计

(人) ,

25 周岁以上组

15

45

60

25 周岁以下组

15

25

40

合计

30

70

100

11

所以得



因为 1.79<2.706,所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. 考点:1.频率分布直方图的应用;2.独立性检验;3.古典概型.

19.如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形,俯视图为正方形,侧 视图为直角三角形,尺寸如图所示).

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)证明:BD∥平面 PEC; (3)线段 BC 上是否存在点 M,使得 AE⊥PM?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由. (1) 【答案】 【解析】 【分析】 (1)结合三视图,得到四棱锥 P﹣ABCD 的相关棱长,从而求出体积; (2)连接 AC 交 BD 于 O 点,取 PC 中点 F,连接 OF,要证明 BD∥平面 PEC,只需证明 BD 平行平面 PEC 内的直线 EF 即可; (3)连接 BP,要 证 AE⊥PM,只需证明 AE⊥平面 PBM,即可证明 AE⊥PM. 【详解】 (1)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,PA⊥平面 ABCD,PA∥EB, 且 PA=4 ,BE=2 SABCD= × 4 ,AB=AD=CD=CB=4,∴VP﹣ABCD= PA× × 4× 4= . ; (2)见解析; (3)见解析.

(2)证明:连接 AC 交 BD 于 O 点,取 PC 中点 F,连接 OF,∵EB∥PA,且 EB= PA, 又 OF∥PA,且 OF= PA,∴EB∥OF,且 EB=OF,∴四边形 EBOF 为平行四边形, ∴EF∥BD.又 EF?平面 PEC,BD?平面 PEC,所以 BD∥平面 PEC. (3)连接 BP,∵ = = ,∠EBA=∠BAP=90° ,

∴△EBA∽△BAP,∴∠PBA=∠BEA,∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90° ,

12

∴PB⊥AE.又∵BC⊥平面 APEB,∴BC⊥AE,且 PB ∴AE⊥平面 PBC,点 M 在线段 BC 上∴AE⊥PM.

BC=B

【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积,直线与平面垂直和平行的判定,考查

空间想象能力,逻辑思维能力,属于中档题. 20.已知椭圆 面积的最大值是 . ( ) 的左、 右顶点分别为 , 其离心率 , 点 为椭圆上的一个动点,

(1)求椭圆 的方程; (2) 若过椭圆 右顶点 的直线 与椭圆的另一个交点为 ,线段 时,求点 的坐标. 【答案】(1) 【解析】 【分析】 (2)当 时, ,当 时, 的垂直平分线与 轴交于点 ,当

(1)由题意可知

解方程即可得解;

(2)设直线

的方程为



,由直线与椭圆联立得 的垂直平分线方程,令 x=0 可得 ,再由

,由根与 ,

系数的关系可得 ,从而得 用坐标表示即可解 .

中点的坐标,进而得

【详解】(1)由题意可知

解得





所以椭圆方程为 (2)由(1)知 把

. ,设直线 的方程为 ,
13





代入椭圆方程

整理得



所以

,则



所以

中点的坐标为



则直线

的垂直平分线方程为

,得



,即



化简得



解得 故当 时, ,当 时, .

【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,用到了向量问题坐标化,坐标通过设而不求的方程灵活处 理,考查了学生的运算能力,属于中档题. 21.已知函数 (1)若 (2)若曲线 (1) 【答案】 【解析】 【分析】 (1)对 F′(x)=lnx+x﹣ax2,由切点为(1,﹣1) ,斜率为﹣2,可得 和 F′(1)=-2,联 ,函数 在 , 为函数 的导函数. ,求 a、 的值;

处的切线方程为

上存在两条互相平行的切线,其倾斜角为锐角,求实数 的取值范围. ; (2)0<a<1.

立解得 a,b 即可.
2 h′ (2) 令h (x) =f′ (x)=lnx+x﹣ax , (x>0) , (x) = +1﹣2ax= 2 ,令 u (x)=﹣2ax +x+1,

对 a≤0 和 a>0 时两种情况分别讨论,即可求出.
2 3 2 【详解】(1)F(x)=xln x-x+ x - ax +b,F′(x)=ln x+x-ax ,∵切点为(1,-1),切线斜率为 k=-2,

∴∴

?a=3,b= .

14

所以 (2) f′(x)=lnx+x﹣ax2,令 h(x)=f′(x)=lnx+x﹣ax2, (x>0) , h′(x)= +1﹣2ax=
2 令 u(x)=﹣2ax +x+1,



当 a≤0 时,u(x)>0,∴h′(x)>0,h(x)在(0,+∞)上单调递增,不适合题意,舍去. 当 a>0 时,u(x)的△=1+8a>0,设方程 u(x)=0 的两根分别为 x1,x2, ∵x1x2=﹣ 0. ∴h(x)在 x∈(0,x2)时单调递增,当 x∈(x2,+∞)时,h(x)单调递减. ∴ ,得到 , <0,不妨设 x1<0<x2,当 x∈(0,x2)时,h′(x)>0,当 x∈(x2,+∞)时,h′(x)<

由①可得:

代入②整理可得 2lnx2+x2﹣1>0③.

∵函数 v(x)=2lnx+x﹣1 在(0,+∞)上单调递增,v(1)=0, ∴x2>1,由①可得 ,



,∴0<2a<2,∴0<a<1.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,极值与最值、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调 性,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第一 题记分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

已知直线 :

, 曲线



(1)设 与 相交于

两点,求



(2)若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 ,设点 是曲线 上的一 个动点,求它到直线 的距离的最小值. 【答案】 (1)1; (2) 【解析】
15



试题分析: (1)由圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系即可; (2)伸缩变换后圆变为椭圆,设出椭圆的参数方程,利用点到直线的距离公式结合三角函数的性 质整理计算即可求得最终结果. 试题解析:
(I) 所以直线与曲线相离.

(II)变化后的曲线方程是

设点

则点到直线的距离是 故点 到直线 的距离的最小值为

点睛:判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法; 若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.涉及参数方程和极坐标 方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合 题目本身特点,确定选择何种方程.
23.选修 4-5:不等式选讲 设不等式 (1)试比较 (2)设 的解集是 , 与 的大小; ,求证: . .

表示数集 的最大数. ; (2)见解析.

【答案】 (1) 【解析】 【分析】 (1) 先 求 得 , 【详解】由 所以

,两式做差得到 , ,三式相乘,可得到结果.

,即可得证; (2)由

16

(1)由 所以 故 (2)由

,得



,得





所以 故 .



【点睛】这个题目考查了不等式的证明,以及绝对值不等式的解法,不等式证明,常用方法有:反证法,综 合法,分析法,直接证明法等;还可能会涉及到均值不等式,重要不等式的应用.·

17


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