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高二数学必修4 弧度制 课件

时间:2011-09-14


弧度制

角度制
1、用“度”作单位来度量角的单位 角度制” 规定: 制称作 “角度制”,规定:圆周 1/360的圆心角称作 的圆心角称作1 1/360的圆心角称作1°角。

2、角度制的单位有:度、分、秒。 角度制的单位有:
在角度制下,当把两个带着度、 3、在角度制下,当把两个带着度、分、秒为 单位的角相加、相减时,由于运算进率不是十进 单位的角相加、相减时,由于运算进率不是十进 总给我们带来不少困难. 制,总给我们带来不少困难.那么我们能否重新 选择角单位,使在该单位制下两角的加、 选择角单位,使在该单位制下两角的加、减运算 与常规的十进制加减法一样去做呢? 与常规的十进制加减法一样去做呢?

1、1弧度角的定义 弧度角的定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧度的角。 弧度的角。 B L=r 设弧AB的长为 的长为L, 设弧 的长为 , 1弧度 弧度 A O r L = 1 弧度 若L=r,则∠AOB= ,

r

L = 2 弧度 若L=2r,则∠AOB= , r L =2π弧度 若L=2 π r,则∠AOB= , 弧度 r
B
2弧度 弧度

L=2r
2π弧度 弧度

L=2 π r O r A(B) (

O r

A

若圆心角∠ 表示一个负角, 若圆心角∠AOB表示一个负角,且它 表示一个负角 所对的弧的长为3r, 所对的弧的长为 ,则∠AOB的弧度 的弧度 数的绝对值是 L = 3, ,

r

L = -3弧度 即∠AOB=- - 弧度 r
r

O B

A

-3弧度 弧度
L=3r

2.一般地,我们规定: 一般地,我们规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数, 正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝 零角的弧度数为零,任一已知角 的弧度数的绝 对值: 对值:

︱α︱= ︱

L r

其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长, 其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径。这种用“弧度” 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。 制度叫做弧度制。

由弧度的定义可知: 由弧度的定义可知:

定 义 的 合 理 性

圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径 的弧度数等于它所对的弧的长与半径 圆心角 的弧度数等于 长的比的绝对值。 长的比的绝对值。

B B L=r
1弧度 弧度

L=r 1弧度 弧度 O r r A O

A

3、弧度与角度的换算
若L=2 π r,则∠AOB= ,
此角为周角 即为360° 即为 °
2π弧度 弧度

L 弧度 =2π弧度 r
L=2 π r O r ( A B)

360°= 2π 弧度 ° 180°= π 弧度 °

由180°= ° 1°= °

π 弧度 还可得

π 弧度 ≈ 0.01745弧度 —— . 弧度
180

180 )°≈ 57.30°= 57°18′ 1弧度 =(——) 弧度 ( . ° °

π

4、例1
)、把 ° 化成弧度 化成弧度。 (1)、把67°30′化成弧度。 )、

3 )、把 弧度化成度。 (2)、把 —π 弧度化成度。 )、 5

把下列各角化成弧度 例2. 把下列各角化成弧度 (1) 67 °30' , (2)120 ° , (3)75 ° , (4)135 °
(5) 300 ° , (6) - 210 ° , (7)22 °30' , (8)225 °

例3. 把下列各弧度化成度 把下列各弧度化成度. (1)3π/5 , (2) π/12 ,(3) 3π/10 , (4) – π/5 (5) - 12 π , (6) 5π/6 , (7) 7π/12

注:
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算 、 要熟记。 要熟记。
度 弧 度
0° 30 ° ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 ° 270° 360° ° °

0

π
6

π
4

π
3

π
2

π

3 π 2

2 π

2、用弧度为单位表示角的大小时, 、用弧度为单位表示角的大小时, 弧度”二字通常省略不写, “弧度”二字通常省略不写,但用 为单位时不能省。 “度”(°)为单位时不能省。

3、用弧度为单位表示角时,通常写 、用弧度为单位表示角时,
成“多少π”的形式。 多少 的形式。 的形式

4、用弧度来度量角,实际上角的集合 、用弧度来度量角, 实数集R之间建立一一对应的关系: 与实数集 之间建立一一对应的关系:
正角 零角 负角 正实数 零 负实数
对应角的 弧度数

角的集合

实数集R 实数集R

小结: 小结:
1.圆心角 所对弧长与半径的比是一个 圆心角α所对弧长与半径的比是一个 圆心角 仅与角α大小有关的常数 大小有关的常数,所以作为度 仅与角 大小有关的常数 所以作为度 量角的标准. 量角的标准 2.量角的制度,除了角度制与弧度制以外, 量角的制度,除了角度制与弧度制以外, 量角的制度 还有其它的制度, 还有其它的制度,弧度制除了使角与实 数有一一对应关系外, 数有一一对应关系外,为以后学习三角 函数打下基础。 函数打下基础。 3.能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 能熟练地进行角度与弧度之间的换算

四、例题讲解
弧长公式和扇形面积公式
l 弧长公式: 1、弧长公式: α = 得: = α ? r 由 l r

1 1 2 扇形面积公式: 2、扇形面积公式: = lr = r α S 2 2

练习: 练习:求图中公路弯道处弧 A 的长 。 Bl (精确 到1 ,图中长度单位: m m 图中长度单位: ) 解:60 =
o

π
3

l = α R= ×45 ≈ 3.14×15 ≈ 47m 3
的长约47m 47m。 答:弯道处 A 的长约47m。 B

π

例4:已知扇形的周长为8cm,圆心角 已知扇形的周长为8cm, 8cm 为2弧度,求该扇形的面积. 弧度,求该扇形的面积.
解:设扇形的半径为r,弧长为 设扇形的半径为 ,

l

,则有

?2r + l = 8, ?r = 2 解得 ? ?l = 2r , ? ?l = 4 1 2 故扇形的面积为S = rl = 4(cm ). 2


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