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江苏省宿迁市2013—2014学年度高三第一次模拟考试数学试题

时间:2014-01-24


宿迁市 2013—2014 学年度高三年级第一次模拟考试
一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡上 . .... 1.设复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? m ? i (m ? R , i 为虚数单位 ) ,若 z1 ? z2 为实数,则 m 的值为 ▲ . 2.已知集合 A ? {2 ? a , a} , B ? {?1,1, 3} ,且 A ? B ,则实数 a 的值是 ▲ . 3.某林场有树苗 3000 棵,其中松树苗 400 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容 量为 150 的样本,则样本中松树苗的棵数为 ▲ . 4.在 △ ABC 的边 AB 上随机取一点 P , 记 △CAP 和 △CBP 的面积分别为 S1 和 S 2 ,则 S1 ? 2S2 的概率是 ▲ . 开始 x2 y 2 5.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 , a b S ? 0, n ? 1 则该双曲线的离心率为 ▲ . 6.右图是一个算法流程图,则输出 S 的值是 ▲ . n?n?2 7.函数 f ( x) ? lg(2x ? 3x ) 的定义域为 ▲ . 8.若正三棱锥的底面边长为 2 ,侧棱长为 1,则此三棱锥 的体积为 ▲ . 9.在 △ ABC 中,已知 AB ? 3 , A ? 120o ,且 △ ABC 的面积

S ?S ?n
n ? 10
N 输出 S
结束 (第 6 题图)

Y

15 3 ,则 BC 边长为 ▲ . 4 10.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,则不等式 f ( 2 ? x) ≤ f (1) 的
为 解集为 ▲ .

? 11.已知函数 f ( x) ? 2sin(2? x ? ) (? ? 0) 的最大值与最小正周期相同, 则函数 f ( x) 在 [? 1 ,1上的单调 ] 4 增区间为 ▲ . 12.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 , a3 , a5 成等差数列,且 Sk ? 33 , Sk ?1 ? ?63 ,其中 k ? N? ,则
???? ??? ? 13.在平面四边形 ABCD 中,已知 AB ? 3 , DC ? 2 ,点 E , F 分别在边 AD , BC 上,且 AD ? 3 AE , ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? . BC ? 3BF .若向量 AB 与 DC 的夹角为 60? ,则 AB ? EF 的值为 ▲
Sk ? 2 的值为





14.在平面直角坐标系 xOy 中,若动点 P(a , b) 到两直线 l1 : y ? x 和 l2 : y ? ? x ? 2 的距离之和为 2 2 , 则 a2 ? b2 的最大值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (2 , ? 1) . sin ? ? cos ? (1)若 a ? b ,求 的值; sin ? ? cos ? ? ? (2)若 a ? b ? 2 , ? ? (0 , ) ,求 sin(? ? ) 的值. 2 4

16.(本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中,点 E , F 分别是棱 PC , AC 的中点. (1)求证: PA //平面 BEF ; (2)若平面 PAB ? 平面 ABC , PB ? BC ,求证: BC ? PA . P

A E F C
(第 16 题图)

B

17.(本小题满分 14 分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点 O 为圆心的两个 同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中大圆弧所在圆的

半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 ? (弧度) . (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线部分的装饰费用 为 9 元/米. 设花坛的面积与装饰总费用的比为 y , 求 y 关于 x 的函数关系式, 并求出 x 为何值时, y 取得最大值?

?
O (第 17 题图) 18.(本小题满分 16 分) 已知 △ ABC 的三个顶点 A(?1 , 0) , B(1, 0) , C (3 , 2) ,其外接圆为 ⊙H .
(1)若直线 l 过点 C ,且被 ⊙H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)对于线段 BH 上的任意一点 P ,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N ,使得点 M 是 线段 PN 的中点,求 ⊙C 的半径 r 的取值范围.

5 19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? b ( a , b 为常数) ,其图象是曲线 C . 2 (1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若存在唯一的实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同时成立,求实

数 b 的取值范围; (3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B ,在点 B 处作曲 线 C 的切线 l2 ,设切线 l1 ,l2 的斜率分别为 k1 ,k 2 .问:是否存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ?若存在, 求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? x , a2 ? 3x , Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1 ? 3n2 ? 2 (n ≥ 2 , n ? N* ) , S n 是 数列 {an } 的前 n 项和. (1)若数列 {an } 为等差数列. (ⅰ)求数列的通项 an ; (ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? 2an ,数列 {cn } 满足 cn ? t 2bn? 2 ? tbn ?1 ? bn ,试比较数列 {bn } 前 n 项和 Bn 与 {cn } 前 n 项和 Cn 的大小; (2)若对任意 n ? N* , an ? an ?1 恒成立,求实数 x 的取值范围.


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