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1.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)(市优质课)_图文

时间:2017-03-21

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 —奇偶性、单调性

复习回顾

温故而知新,可以为师矣 ---孔子

y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

y=sinx (x?R)

定义域 R 值 域 [ - 1, 1 ]

y=cosx (x?R)
??
? 2

周期性 T = 2?
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

?

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

探究(一):正、余弦函数的奇偶性

思考1:观察正弦函数图象,判断图象具 有怎样的对称性?y y ? sin x x ? R
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

? ? 2

O

?
2

?

图象关于原点对称 思考2f :上述对称性反映出正弦函数具有 (-x) = sin(-x)= -sinx = -f(x) 什么性质? 正弦函数是奇函数 能否从奇偶性的定义上加以论证?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

探究(一):正、余弦函数的奇偶性

余弦函数又如何? y y ? cos x
1

x?R
5? 2

?3? 5? ? 2

?2? 3? ?? ? ? ?
2

O

2

?1

? 2

?

3? 2

2?

3?

x

图象关于 y 轴对称

余弦函数是偶函数

f(-x) = cos(-x) = cosx = f(x)

成功体验

实践是检验理论的唯一标准

说出下列函数的奇偶性

练一 练

(1)函数 y=1- cos x 为(奇、偶)函数; cosx (2)函数 y=x+

sinx sinx为(奇、偶)函数.

探究(二):正、余弦函数的单调性

思考3:观察正弦函数图象的变化规律, 说出它在哪些区间上是增函数?哪些区 间上是减函数? 如何将正弦函数的单调区间进行整合? y y ? sin x x ? R
1
?22? ? 33?? ?? ? ? O 3? 55 ? ? ?? 3? ? ?? ?? 2 2 2 2 22 ?1
? ? 2 2

? ?

3 ? 3 ? 2 2

22 ? ?

5? 5? 22

33 ??

xx

通常选取区间 [?

? 3?
2 , 2

]作为参考区间.

探索新知2

y=sinx
?

y
?
2

1
O

?1

? 2

?

3? 2

x

? ? 正弦函数在每一个闭区间 [? ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) 2 2

上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭

区间

3? [ ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) 2 2

?

上都是减函数,其

值从1减小到-1.

探索新知2

y ? cos x
?3? 5? ? 2

x?R
?2? 3?
? 2

余弦函数呢?
y
1
? ? 2
O
?
2

??

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

余弦函数在每一个闭区间 [?? ? 2k? ,2k? ]( k ? Z )

上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭
区间 [2k? ,? ? 2k? ]( k ? Z ) 上都是减函数,其

值从1减小到-1.

成果展示

y ? sin x

x?R

y ? cos x

x?

结论
? ? [ ? ? 2 k ? , ? 2k? ](k ? Z ) 上都是增函数, 正弦函数在每一个闭区间 2 2 ———————— ? 3? 其值从-1增大到1;正弦函数在每一个闭区间 [ ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) 2 2 ————————
上都是减函数,其值从1减小到-1.

?? ? 2k? ,2k? ]( k ? Z ) 余弦函数在每一个闭区间 [———————— 上都是增函数,
其值从-1增大到1;余弦函数在每一个闭区间
上都是减函数,其值从1减小到-1 .

[2k? ,? ? 2k? ]( k ? Z ) ————————

探究(三):正、余弦函数的最值

思考1:观察正弦曲线和余弦曲线,正、 余弦函数是否存在最大值和最小值?若 存在,其最大值和最小值分别为多少? y
y ? sin x x?R
x y
? ?
1

?? ??? ? ????? ?? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?

?

? ?

?

-1

?? ?? ?? ?? ? ?

y ? cos x

?? ?? ?? ?? ? ?

x?R
x

1

?? ??? ?? ??? ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

?? ? ? ?

-1

? ?

?

?? ?? ?? ?? ? ?

?? ?? ?? ?? ? ?

最大值为1,最小值为-1.

探索新知3
?? ? 2 π -4

y

-6π??? ? -5π
2

?? ? ?? ?? ??? ? ? 2 -2π π2 3π2 2 5π 2 O ? ?? ?? ??-π ?? -3 π 0 2π 4π ? 6π ? 2 2 2 2 2
-1

1

y=sinx

x

你能说出正弦函数当且仅当x取哪些值时,函数 取得最大值和最小值吗? ? ? 2k? , k ? Z 正弦函数当且仅当x = 2 时 取得 ? 最大值1,当且仅当x = ? 2 ? 2k? , k ? Z 时 取 得最小值-1.

探索新知3

y
1 ?

?? ?? ? ? ? π 2 -4π 2 -2π -π2 -5 ??? ?? -3 ?? π O ? ? ? 2 2 2

-1

? ?? ?? 2 5π π 2π 2 3π 4π 2 ??? x ?? ?? 2 2 2

y=cosx

2k? , k ? Z 最大值1,当且仅当x = ? ? 2k? , k ? Z
余弦函数当且仅当x = 得最小值-1.

时 取得 时取

成果展示

结论

正弦函数y=sinx当且仅当 x ?
取最大值1,当且仅当 取最小值-1.

?

x??

?2
2

? 2k? , k ? Z 时

? 2k? , k ? Z 时

余弦函数y=cosx当且仅当 x ? 2k? , k ? Z 时取最大 值1,当且仅当 x ? ? ? 2k? , k ? Z 时取最小值-1.

例题解析

例1.(1)函数 y

= cos x ? 1, x ? R 的最大值

取得最大值 的自变量x的集合 , 为 { x | x ? 2k? ,k ? Z };



2

(2)使函数
为 为

y ? ?3 sin x, x ? R
?
2 ? 2k? , k ? Z

的最小值

-3 , 取得最小值 的自变量x的集合

?x | x ?

?

.

例题解析

例2. 利用三角函数的单调性,比较下列各组 数的大小.

(1)sin

?
18

与 sin

?
10

;

23? 17? ( 2)cos( ? )与 cos( ? ). 5 4

23? 23? 3? (2)cos( ? ) ? cos ? cos , 5 5 5 17? 17? ? cos( ? ) ? cos ? cos . 4 4 4

且 y=cos x 在 [0,? ]上是减函数,

3? ∵0? ? ??, 4 5

?

3? ? cos ? cos , 4 5 17? 23? 从而 cos(? ) ? cos( ? ).
4 5

?

例题解析

变式: 利用三角函数的单调性,比较下列各组 中两个三角函数值的大小:

7π (1) sin 9

< <

π sin 3

,

5? (2)cos 8

4? cos 9

.

例题解析

?? ? 例3.求函数 y ? sin x ? 的单调 ? ? 3? ? 递增区间.

课堂小结

正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性:
性质 函数 y=sinx 奇函数
2 2

y=cosx 偶函数

奇偶性

单调递增区间 [? ? ? 2k? , ? ? 2k? ](k ? Z ) [?? ? 2k? ,2k? ]( k ? Z )

单调递减区间
最大值

最小值

? 3? [ ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) [2k? ,? ? 2k? ]( k ? Z ) 2 2 ? x ? ? 2k? , k ? Z时ymax ? ?1 x ? 2k? , k ? Z时ymax ? 1 2 ? x ? ? ? 2k? , k ? Z时ymin ? ?1 x ? ? ? 2k? , k ? Z时ymin ? ?1 2


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