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广州市2012年二模理科数学试题

时间:2013-04-22


试卷类型:A

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)



学(理科)
2012.4

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? i , z2 ? 2 ? i ,且 z1 ? z2 ,则实数 a 的值为 A. 2 2.设集合 A ? 个数为 A. 1 B. ?2 C. 2 或 ?2 D. ? 2 或 0

?? x, y ? 2x ? y ? 6? , B ??? x, y ? 3x ? 2 y ? 4? , 满足 C ? ? A ? B? 的集合 C 的
B. 2 C. 3 D. 4

3.已知双曲线 x2 ? my 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是 A. 4 B.

1 4

C. ?

1 4

D. ?4

4.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,项数是偶数,所有奇数项之和为 15,所有偶数项之和为 25,则这个数列的项数为 A. 10 B. 20

C. 30

D. 40

5. 已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,在下列条件中,可得出 ? ? ? 的是 A. m ? l , l // ? , l // ? C. m // l , m ? ? , l ? ? B. m ? l , ? ? ? ? l , m ? ? D. m // l , l ? ? , m ? ?

6.下列说法正确的是 A.函数 f ? x ? ?

1 在其定义域上是减函数 x
1

B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C.命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

开始

D.给定命题 p 、 q ,若 p ? q 是真命题,则 ? p 是假命题 7.阅读图 1 的程序框图, 该程序运行后输出的 k 的值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知实数 a , b 满足 a ? b ? 4a ? 3 ? 0 ,
2 2

k ? 0, S ? 0

S ? 100




函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ?1 的最大值记为 ? ? a, b? , 则 ? ? a, b? 的最小值为 A. 1 C. 3 ? 1 B. 2 D. 3

S ? S ? 2k

输出 k

结束

k ? k ?1

图1 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.某社区有 600 个家庭,其中高收入家庭 150 户,中等收入家庭 360 户,低收入家庭 90 户, 为了调查购买力的某项指标,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 100 的样本,则中等 收入家庭应抽取的户数是 .

1 ? ? 10. ? 2 x ? ? 展开式中的常数项是 x? ?
2

6

(用数字作答).

11. 已知不等式 x ? 2 ? 1的解集与不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集相等,则 a ? b 的值为 12.在平行四边形 ABCD 中, 点 E 是 AD 的中点, BE 与 AC 相交于点 F , 若 EF ? mAB ? nAD(m, n ? R ) , 则

.

??? ?

??? ?

??? ?

m 的值为 n

. , 2 (点 O 为坐标原点) .

13. 已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点, OP ? 点 M ? ?1,0? ,则 cos ?OPM 的取值范围是 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC ( 顶点 A , B, C 按顺时

针方向排列 ) 的顶点 A, B 的极坐标分别为 ? 2,

? ?

?? ?

7? ? ? , ? 2, ? ,则顶点 C 的极坐标 6? ? 6 ?

为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图 2, AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C , 使 BC ? 2OB , CD 是圆 O 的切线,切点为 D ,连接 AD , BD , 则

D

AD 的值为 BD

.

A O
2

B

C

图2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? A sin ? ? x ?

? ?

??

? ? A ? 0, ? ? 0 ? 在某一个周期内的图 3?

象的最高点和最低点的坐标分别为 ? (1) 求 A 和 ? 的值; (2) 已知 ? ? ? 0,

? 5? ? ? 11? ? ,2? ,? , ?2 ? . ? 12 ? ? 12 ?

4 ? ?? ? ,且 sin ? ? 5 , 求 f ?? ? 的值. ? 2?

17.(本小题满分 12 分)如图 3, A, B 两点之间有 6 条网线连接,它们能通过的最大信息量分 别为 1,1, 2, 2, 3, 4.从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,设这三条网线通过的最大信 息量之和为 ? . (1) 当 ? ? 6 时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率;
1 1 2 2 3 4 图3 B

(2) 求 ? 的分布列和数学期望.

A

18.(本小题满分 14 分).某建筑物的上半部分是多面体 MN ? ABCD, 下半部分是长方体

ABCD ? A1B1C1D1 (如图 4). 该建筑物的正视图和侧视图如图 5, 其中正(主)视图由正方形和
等腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. (1)求直线 AM 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值; (2)求二面角 A ? MN ? C 的余弦值; (3)求该建筑物的体积.

2 1 1

M D A

N C B

4

4

D1 A1 B1

C1
正(主)视图 图5

2 侧(左)视图

图4

3

19.(本小题满分 14 分)已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 有一个相同 的焦点 F ,直线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点. 1 (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C1 的的离心率取得最大值时,求椭圆 C1 的方程 及点 P 的坐标.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? x , a ?R. 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使得函数 f ? x ? 的极值大于 0 ?若存在,,求 a 的取值范围;若不存 在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,1? , f ? 且 都有 f ? x ? ? f ? y ? ? f ?

?1? 对任意 x, y ? ? ?1,1? , ? ?1, ?2?

? x? y ? 2an 1 (n ? N * ) . ? ,数列 ?an ? 满足 a1 ? , an?1 ? 2 2 1 ? an ? 1 ? xy ?

(1) 证明函数 f ? x ? 是奇函数; (2) 求数列 f ? an ? 的通项公式; (3) 令 An ?

?

?

a1 ? a2 ? ? ? an (n ? N * ) , 证明:当 n ? 2 时, n

? ai ? ? Ai ?
i ?1 i ?1

n

n

n ?1 . 2

4

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 D 6 D 7 C 8 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小 题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. 60 10. ?160 11. ?1 12. ?2
? ? 13. ? 2 ,1? ? 2 ?

14. ? 2 3, 2? ? ? ? 3 ? ? 三、解答题:

15. 2 。说明:第 14 题的答案可以是 ? 2 3, ?

?

2? ? ? 2k ? ? ( k ? Z ) . 3 ?

16. 12 分) (本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数 ( 关系、两角差的正弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解:∵函数 f ? x ? 的图象的最高点坐标为 ? 5? , 2 ? , ∴ A ? 2 . ? 1 分 ? ? ? 12 ?

11? 5? ? 2? 依题意,得函数 f ? x ? 的周期 T ? 2 ? ? ? ? ? ? ,?? 2 分∴ ? ? T ? 2 . ? 12 12 ?
(2)解:由(1)得 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? . ? ? 3? ? ∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?
cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? 7 25

?? 3 分

? 4 分∵ ? ? ? 0,

4 ? ?? ? ,且 sin ? ? 5 , ? 2?

3 24 . ?? 5 分 ∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , ?? 7 分 5 25 . ? 9 分 ∴ f ?? ? ? 2sin ? 2? ? ? ? ? 10 ? ?
? 3?



? ?? ? ? 2 ? sin 2? cos ? cos 2? sin ? ?? 11 分 3 3? ?

?

24 ? 7 3 .? 12 分 25

17. (12 分)(本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识, 考查或 然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)
3 (1) 解: 从 6 条网线中随机任取三条网线共有 C6 ? 20 种情况.
1 1 1 ? C2C2 1 ? .?? 2 分 3 C6 4

??? 1 分

∵ 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 , ∴ P ?? ? 6 ? ?
1 1

∵ 1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7 ∴ P ?? ? 7 ? ? C2 C2 ? 1 ? 1 .?? 3 分∵ 1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 8 , 3
C6 4

5

∴ P ?? ? 8 ? ?

1 C2 ? 1 3 .?? 4 分∵ 2 ? 3 ? 4 ? 9 , ∴ C1 1 ? P ?? ? 9 ? ? 2 ? .??? 5 分 3 3 20 C6 C6 10

∴ P ?? ? 6? ? P ?? ? 6? ? P ?? ? 7? ? P ?? ? 8? ? P ?? ? 9? 答: 线路信息畅通的概率为

?

1 1 3 1 3 ? ? ? ? . 4 4 20 10 4

3 .?? 6 分 4
1 ∵ 1 ? 1 ? 2 ? 4 , ∴ P ?? ? 4 ? ? C2 ? 1 .? 8 分 3

(2)解: ? 的取值为 4,5, 6, 7,8,9 .?? 7 分

C6

10

1 ∵ 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 ,∴ P ?? ? 5? ? 1 ? C2 ? 3 . 3

?? 9 分

C6

20

∴ ? 的的分布列为:

?
P
? ?
E? ? 4 ?

4

5

6

7

8

9

1 10

3 20

1 4

1 4

3 20

1 10


10 分
1 3 1 1 3 1 ? 5? ? 6? ? 7 ? ? 8? ? 9? 10 20 4 4 20 10

? 11 分 ? 6.5 .?? 12 分

18. 14 分) ( (本小题主要考查空间线面关系、 几何体的三视图、 空间角、 几何体的体积等知识, 考 查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

A 解法 1: (1) MO ? 平面 ABCD , 作 垂足为 O , 连接 AO , ?M O 是直线 AM 与平面 ABCD 则
所成的角. ?? 1 分 由于平面 ABCD / / 平面 A1B1C1D1 ,

故 ?MAO 是直线 AM 与平面 A1B1C1D1 所成的角.? 2 分作 MP ? AB ,垂足为 P ,连接 PO , ∵ AB ? 平 面 A B C D, ∴ M O ? A B. ∵ MO ? MP ? M , MO ? 平 面 MOP , MP ? 平 面

MOP,∴ AB ? 平面 MOP . ?? 3 分
由题意知 MO ? PO ? AP ? 1, AD ? 2, AA1 ? 4 ,在 Rt△ POM 中, PM ? PO2 ? MO2 ? 2 , 在 Rt△ APM 中, AM ? AP2 ? PM 2 ? 3 ,在 Rt△ AOM 中, sin ?MAO ? MO ? 1 ? 3 , AM 3 3 ∴直线 AM 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为 3 .?? 5 分
3

M D A O P P1 Q

N Q1 B C

(2)延长 PO 交 CD 于点 Q,连接 MQ, 由(1)知 AB ? 平面 MOP ∵ MQ ? 平面 MOP , ∴ AB ? MQ .∵ MN / / AB , ∴ MN ? MP, MN ? MQ . ????? 6 分

D1 A1 B1

C1

6

∴ ?PMQ 是二面角 A ? MN ? C 的平面角.

?? 7 分

在△ PMQ 中, MQ ? MP ? 2, PQ ? 2 ,∵ MP2 ? MQ2 ? 4 ? PQ2 , ∴ ?PMQ ? 90? . ??? 8 分∴二面角 A ? MN ? C 的余弦值为 0 . ? 9 分 (3)作 NP / / MP 交 AB 于点 P ,作 NQ1 / / MQ 交 CD 于点 Q1 , 1 1 由题意知多面体 MN ? ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥 M ? APQD 和

N ? PBCQ1 和一个直三棱柱 MPQ ? NPQ1 . 1 1
1 2 ?1? 2 ?1 ? , ???? 10 分 3 3 1 1 直三棱柱 MPQ ? NPQ1 的体积为 V2 ? ?MP?MQ?MN ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,?11 分 1 2 2 2 10 ∴多面体 MN ? ABCD 的体积为 V ? 2V1 ? V2 ? 2 ? ? 2 ? . ????? 12 分 3 3
四棱锥 M ? APQD 的体积为 V1 ? ?AP ?AD ?MO ? 长方体 ABCD ? A B1C1D1 的体积为 V3 ? AB? ?AA ? 4 ? 2 ? 4 ? 32 . ??? 13 分 BC 1 1 ∴建筑物的体积为 V ? V3 ?

1 3

106 . 3

????? 14 分

解法 2:(1)以点 D 为原点, DA 所在直线为 x 轴, DC 所在直线为 y 轴, D1 D 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz (如图),作 MO ? 平面 ABCD ,垂足为 O , 作 OP ? AB ,垂足为 P ,依题意知 MO ? OP ? AP ? 1, AD ? 2, AA1 ? 4 , 则 D ? 0,0,0? , A ? 2,0,0? , M ?1,1,1? , N ?1,3,1? , A ? 2,0, ?4? . ????? 1 分 1

???? ? ∴ AM ? ? ?1,1,1? .

z

? 2 分∵ AA1 ? 平面 A1B1C1D1 ,

Q D A x

M

N

Q1 C y B

∴平面 A1B1C1D1 的一个法向量为 AA1 ? ? 0,0, ?4 ? .??? 3 分 设直线 AM 与平面 A1B1C1D1 所成角为 ? ,

????

O P

???? ???? ? AM ?AA1 则 sin ? ? ???? ???? ? 4 ? 3 . ? 3?4 3 AM AA1

?? 4 分

D1
∴直线 AM 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为

C1 B1

3 .???? 5 分 A1 3

(2)由(1)知 MN ? ? 0, 2,0 ? , DM ? ?1,1,1? ,设平面 ABNM 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,

???? ?

???? ?

7

???? ? ???? ? ?? x ? y ? z ? 0, 由 n1 ?MN ? 0 , n1 ?AM ? 0 ,得 ? 2 y ? 0. ?
∴平面 ABNM 的一个法向量为 n1 ? ?1,0,1? . ?? 6 分

令 x ? 1 ,则 z ? 1, y ? 0 .

MN ? 0 ,得 ? 设平面 CDMN 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,由 n2 ?DM ? 0 , n2 ?
令 x ? 1 ,则 z ? ?1, y ? 0 .

???? ?

???? ?

? x ? y ? z ? 0, ? 2 y ? 0.

∴平面 CDMN 的一个法向量为 n2 ? ?1,0, ?1? .? 7 分

∵ n1 ? n2 ? 1?1 ? 0 ? 1? ? ?1? ? 0 ,∴平面 ABNM ? 平面 CDMN .?? 8 分 ∴二面角 A ? MN ? C 的余弦值为 0 . ??? 9 分

(3)如图将多面体 MN ? ABCD 补成一个直三棱柱 ADQ ? BCQ1 , 依题意知 AQ ? DQ ? BQ1 ? CQ1 ? 2, MQ ? NQ1 ? 1 , AD ? 2 , AA ? 4 , 1 多面体 MN ? ABCD 的体积等于直三棱柱 ADQ ? BCQ1 的体积减去两个等体积的三 棱锥 M ? ADQ 和 N ? BCQ1 的体积.∵ AQ2 ? DQ2 ? 4 ? AD2 ,∴ ?AQD ? 90? . ∴直三棱柱 ADQ ? BCQ1 的体积为 V1 ? 1 ?AQ?DQ?AB ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 4 ,??? 10 分 2 2

1 1 1 1 1 三棱锥 M ? ADQ 的体积为 V2 ? ? ?AQ?DQ?MQ ? ? ? 2 ? 2 ?1 ? .?? 11 分 3 2 3 2 3
2 10 ∴多面体 MN ? ABCD 的体积为 V ? V1 ? 2V2 ? 4 ? ? . 3 3
?? 12 分

长方体 ABCD ? A B1C1D1 的体积为 V3 ? AB? ?AA ? 4 ? 2 ? 4 ? 32 . ? 13 分 CD 1 1 ∴建筑物的体积为 V ? V ? 106 . 3
3

?? 14 分

19. (14 分)(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数 与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法 1:由 ?

? y ? 2 x ? m, 2 消去 y ,得 x ? 8x ? 4m ? 0 . 2 ? x ? 4y
2

?? 1 分

∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共 ∴ ? ? 8 ? 4 ? 4m ? 0 ,解得 m ? ?4 . ∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 .?? 4 分 解法 2:设直线 l 与抛物线 C2 的公共点坐标为 ? x0 , y0 ? , 由 y ? ∴直线 l 的斜率 k ? y '

?? 3 分

1 2 1 x ,得 y ' ? x , 4 2

x ? x0

?

1 1 x0 . ?? 1 分 依题意得 x0 ? 2 ,解得 x0 ? 4 .? 2 分 2 2
8

把 x0 ? 4 代入抛物线 C2 的方程,得 y0 ? 4 . ∴ 4 ? 2 ? 4 ? m ,解得 m ? ?4 .

∵点 ? x0 , y0 ? 在直线 l 上, ?? 4 分

?? 3 分 ∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 .

(2)解法 1:∵抛物线 C2 的焦点为 F ? 0,1? , 1 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 ? 0,1? , F2 ? 0, ?1? . 设点 F ? 0,1? 关于直线 l 的对称点为 F ' ? x0 , y0 ? , 1 1 ?? 5 分
y

? y0 ? 1 ? 2 ? ?1, ? ? x ? 4, x0 则? ?? 7 分解得 ? 0 ? ? y0 ? ?1. ? y0 ? 1 ? 2 ? x0 ? 4. ? 2 ? 2
∴点 F ? 4, ?1? . 1
'

F1 O F2

P x P0 F1
'

??? 8 分 ??? 9 分

∴直线 l 与直线 F ' F2 : y ? ?1 的交点为 P0 ? 3 , ?1? . 1 ? ? ?2 ? 由椭圆的定义及平面几何知识得:

' ' 椭圆 C1 的长轴长 2a ? PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? 4 ,?? 11 分

其中当点 P 与点 P 重合时,上面不等式取等号. ∴ a ? 2 . ∴ e ? 0
2 2

1 1 ? . a 2

故当 a ? 2 时, emax ? 1 ? 12 分此时椭圆 C1 的方程为 y ? x ? 1 ,点 P 的坐标为 ? 3 , ?1? .? 14 分 ? ? 2 4 3 ?2 ? 解法 2:∵抛物线 C2 的焦点为 F1 ? 0,1? ,依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 ? 0,1? , F2 ? 0, ?1? 5

分设椭圆 C1 的方程为

y2 x2 ? 2 ? 1? a ? 1? , a2 a ? 1

? 6分

? y ? 2 x ? 4, 由? 2 消去 y ,得 ? 5a 2 ? 4 ? x 2 ? 16 ? a 2 ? 1? x ? ? a 2 ? 1??16 ? a 2 ? ? 0 .(*) ?y x2 ? 2 ?1 ? 2 a ?1 ?a

? 7分

由 ? ? ?16 a 2 ? 1 ? ? 4 5a 2 ? 4 a 2 ? 1 16 ? a 2 ? 0 ,

?

?

??

2

?

??

??

?

?? 8 分

得 5a ? 20a ? 0 .
4 2

??? 9 分

解得 a ? 4 .
2

∴a ? 2. ∴e ?

????? 10 分 ????? 11 分

1 1 ? . a 2

当 a ? 2 时, emax ?

1 y 2 x2 ? ? 1. ,此时椭圆 C1 的方程为 2 4 3

????? 12 分

9

把 a ? 2 代入方程(*) ,解得 x ? ∴点 P 的坐标为 ? , ?1? . 20. (本小题满分 14 分)

3 , y ? ?1 . 2

????? 13 分

?3 ?2

? ?

????? 14 分

(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、化归 与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0,??? . ????? 1 分

f ?? x? ?

1 ax 2 ? x ? 1 ? ax ? 1 ? ? . x x
1? x ,∵ x ? 0, ∴ f ' ? x ? ? 0 x

????? 2 分

① 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ?

∴ 函数 f ? x ? 单调递增区间为 ? 0,??? . ② 当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 得 ? ∵ x ? 0, ∴ ax 2 ? x ? 1 ? 0 . (ⅰ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

????? 3 分

ax 2 ? x ? 1 ? 0, x

∴ ? ? 1 ? 4a .

1 2 时,得 ax ? x ? 1 ? 0 ,故 f ? ? x ? ? 0 , 4
????? 4 分

∴ 函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,??? . (ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?

1 2 时,方程 ax ? x ? 1 ? 0 的两个实根分别为 4
????? 5 分

x1 ?
若?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , x2 ? . 2a 2a

1 ? a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 ,此时,当 x?? 0, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 . 4
????? 6 分

∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,??? , 若 a ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 0 , 此时,当 x ? ? 0, x2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x2 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0, ∴函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,

? ? ?

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? . ? ,单调递减区间为 ? ? ? ? 2a 2a ? ? ?
????? 7 分
10

综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,

? 1 ? 1 ? 4a ? ? ,单调递减区间 ? ? 2a ? ?

为?

? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? ; ? ? 2a ? ?

当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,??? ,无单调递减区间. ???? 8 分 (2)解:由(1)得当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增,故函数 f ? x ? 无极值; ????? 9 分 当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,

? 1 ? 1 ? 4a ? ? ,单调递减区间为 ? ? 2a ? ?

? 1 ? 1 ? 4a ? , ?? ? ; ? ? ? 2a ? ?
则 f ? x ? 有极大值,其值为 f ( x2 ) ? ln x2 ?
2 2 而 ax2 ? x2 ? 1 ? 0 ,即 ax2 ? x2 ? 1 ,

1 2 1 ? 1 ? 4a ax2 ? x2 ,其中 x2 ? . ? 10 分 2 2a

x2 ? 1 . 2 x ?1 1 1 ( x ? 0) ,则 h' ( x) ? ? ? 0 , 设函数 h( x) ? ln x ? 2 x 2 x ?1 则 h( x) ? ln x ? 在 ? 0,??? 上为增函数. 2
∴ f ( x2 ) ? ln x2 ? 又 h(1) ? 0 ,则 h( x) ? 0 等价于 x ? 1 . ∴ f ( x2 ) ? ln x2 ?

????? 11 分 ????? 12 分

x2 ? 1 ? 0 等价于 x2 ? 1 . 2

????? 13 分

2 即在 a ? 0 时,方程 ax ? x ? 1 ? 0 的大根大于 1,

设 ? ( x) ? ax2 ? x ? 1,由于 ? ( x) 的图象是开口向上的抛物线,且经过点 (0, ?1) ,对称 轴x?

1 ? 0 ,则只需 ? (1) ? 0 ,即 a ? 1 ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2 ,而 a ? 0 , 2a
?????? 14 分

故实数 a 的取值范围为 ? 0, 2? . 说明:若采用下面的方法求出实数 a 的取值范围的同样给 1 分. 1.由于

1 ? 1 ? 4a 1 1 1 ? 4a 1 1 1 4 ? ? ? ? ? 在 ? 0,??? 是减函数, 2 2a 2a 2 a 2a 2 a 2 a

11



1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ? 1 时, a ? 2 ,故 ? 1 的解集为 ? 0, 2? , 2a 2a

从而实数 a 的取值范围为 ? 0, 2? .

2.直接解不等式

1 ? 1 ? 4a ? 1 ,而 a ? 0 ,通过分类讨论得出实数 a 的取值范围为 2a

?0, 2? .
21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法, 以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:由于对任意 x, y ? ? ?1,1? ,都有 f ? x ? ? f ? y ? ? f ? 令 x ? y ? 0 ,得 f ? 0 ? ? f ? 0 ? ? f ? 解得 f ? 0? ? 0 . 令 x ? 0 ,得 f ? 0 ? ? f ? y ? ? f ? ∵ f ? 0? ? 0 , ∴ 0 ? f ? y ? ? f ? ? y ? ,即 f ? ? y ? ? ? f ? y ? . ∴函数 f ? x ? 是奇函数. (2)解:先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 . ① 当 n ? 1 时, a1 ? ????? 2 分 ????? 3 分

? x? y ? ?, ? 1 ? xy ?

? 0?0 ? ? ? f ? 0? , ? 1? 0? 0 ?
????? 1 分

? 0? y ? ? ? f ?? y? , ?1? 0? y ?

1 ,得 0 ? a1 ? 1, 结论成立. 2

② 假设 n ? k 时, 结论成立, 即 0 ? ak ? 1 , 当 n ? k ? 1 时, 由于 0 ? ak ? 1 , ak ?1 ?

2ak ? 0, 2 1 ? ak

又 ak ?1 ?

2ak 2ak 2a ? ? k ?1. 2 2 2ak 1 ? ak 2 1 ? ak

∴ 0 ? ak ?1 ? 1 . 即 n ? k ? 1 时, 结论也成立.
12

由①②知对任意 n?N , 0 ? an ? 1 .
*

????? 4 分

求数列 f ? an ? 的通项公式提供下面两种方法. 法 1: f ? an ?1 ? ? f ?

?

?

? an ? ? ?an ? ? ? 2an ? ?? f ? 2 ? 1 ? a ? ?a ? ? ? f ? an ? ? f ? ?an ? .????? 5 分 ? n ? n ? ? 1 ? an ? ?

∵函数 f ? x ? 是奇函数, ∴ f ? ?an ? ? ? f ? an ? . ∴ f ? an?1 ? ? 2 f ? an ? . ????? 6 分

∴数列 f ? an ? 是首项为 f ? a1 ? ? f ? ? ? 1 ,公比为 2 的等比数列. ∴数列 f ? an ? 的通项公式为 f ? an ? ? 2 法 2: ∵ f ? an ?1 ? ? f ? an ? ? f ?

? ?

? ?

?1? ?2?

n ?1

.

????? 7 分

? an?1 ? an ? ? ? 1 ? an ?1an ?

????? 5 分

? 2an ? ? an ? ? 3 2 ? ? 1 ? an ? ? f ? an ? an ? ? f ? an ? , ? f? 2 2 ? 2an ? ? 1 ? an ? ? 1 ? 1 ? a2 ? n ? ?
∴ f ? an?1 ? ? 2 f ? an ? . ????? 6 分

∴数列 f ? an ? 是首项为 f ? a1 ? ? f ? ? ? 1 ,公比为 2 的等比数列. ∴数列 f ? an ? 的通项公式为 f ? an ? ? 2 (3)证法 1:由(2)知 0 ? an ? 1 ,
2 an ?1 ? an ? 2an ? 0, ∵ an ?1 ? an ? ? an ? 2 2 1 ? an 1 ? an

? ?

? ?

?1? ?2?

n ?1

.

????? 7 分

∴ an?1 ? an .

????? 8 分

1 1 , ? an ? 1(n ? N * ,且 n ? 2) 2 2 1 * ∴ 0 ? an ? am ? (n, m ? N ,且 n ? m) . 2
∴ a1 ?
* 当 k ? 2 且 k ? N 时,

????? 9 分

13

ak ? Ak ? ak ?

a1 ? a2 ? ? ? ak k

?
?

? ak ? a1 ? ? ? ak ? a2 ? ? ? ? ? ak ? ak ?1 ?
k

????? 10 分

k ?1 2k 1 1 ? ? 2 2k 1 ? . 2
∴ 0 ? ak ? Ak ? ∵ a1 ? A1 ? 0 , ∴当 n ? 2 时, 0 ?

????? 11 分

1 . 2

????? 12 分

?a ? ? A ?
i ?1 i i ?1 i

n

n

n ?1 . 2

????? 13 分

∴当 n ? 2 时,

?a ? ? A
i ?1 i i ?1

n

n

i

?

n ?1 . 2

????? 14 分

证法 2:由(2)知 0 ? an ? 1 ,
2 an ?1 ? an ? 2an ? 0, ∵ an ?1 ? an ? ? an ? 2 2 1 ? an 1 ? an

∴ an?1 ? an .

????? 8 分

1 1 , ? an ? 1(n ? N * ,且 n ? 2) 2 2 1 * ∴ an ? am ? (n, m ?N ) . 2
∴ a1 ? 下面用数学归纳法证明不等式

????? 9 分

? ai ? ? Ai ?
i ?1 i ?1

n

n

n ?1 成立. 2

①当 n ? 2 时,左边 ? a1 ? a2 ? ? a1 ? ∴ n ? 2 时,不等式成立.

? ?

1 1 1 a1 ? a2 ? 1 ? ? a2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 右边. 2 ? 2
????? 10 分

* ②假设 n ? k (k ? 2, k ?N ) 时,不等式成立,即

? ai ? ? Ai ?
i ?1 i ?1

k

k

k ?1 , 2

则 n ? k ? 1 时, 左边 ?

? ai ? ? Ai ?
i ?1 i ?1

k ?1

k ?1

? ai ? ak ?1 ? ? Ai ?
i ?1 i ?1

k

k

a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 k ?1

????? 11 分

14

k ? k ? ? k ? 1? ak ?1 ? ? a 1? a 2? ? ? ak ? ? ? ? ai ? ? Ai ? ? k ?1 i ?1 ? i ?1 ?

?
?

? ai ? ? Ai ?
i ?1 i ?1

k

k

1 ? ak ?1 ? a 1? ? ? ak ? 1? a ?2? ? ? ? ak ? ?1 ak ? ???? 12 分 k ?1

k ?1 1 ? ? ak ?1 ? a 1 ? ak ? 1? a 2? ? ? ak ? ?1 ak 2 k ?1

?

?
?

k ?1 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? 2 k ? 1? 2 2 2 ?
k ?1 1 k ? ? 2 k ?1 2

?
?

k ?1 1 1 ? ? 2 2 2 ? k ? 1?
k ?1 1 ? 2 2

?

? k ? 1? ? 1
2

? 右边.

????? 13 分

∴ n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②知,当 n ? 2 时,

? ai ? ? Ai ?
i ?1 i ?1

n

n

n ?1 成立. 2

????? 14 分

证法 3:由(2)知 0 ? ak ? 1? k ? 1,2,3, ?, n ? ,故对 1 ? k ? n ? 1 ,有

0 ? ? ai ? k , 0 ?
i ?1

k

i ? k ?1

?a

n

i

? n?k.

????? 8 分

由于对任意 x ? 0, y ? 0 ,有 x ? y ? max ?x, y? ,其中 max ?x, y? 表示 x 与 y 的较大值. 于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有

1 n ?1 1? k An ? Ak ? ? ? ? ? ai ? ? ai n i ?k ?1 ? n k ? i ?1 ? 1 n ?1 1? k ?1 ai ? ? k ? n ? ? ai n i ?k ? ? ? i ?1

????? 9 分

?1 n ?1 1? k ? ? max ? ? ai , ? ? ? ? ai ? ? n i ?k ?1 ? k n ? i ?1 ? ?1 ?1 1? ? ? max ? ? n ? k ? , ? ? ? k ? ?k n? ? ?n

????? 10 分

15

k ? 1 ? (k ? 1, 2,3,? , n ? 1) . n
n n n

????? 11 分



? ai ? ? Ai ? nAn ? ? Ai ? ? An ? A1 ? ? ? An ? A2 ? ? ? ? ? An ? An?1 ?
i ?1 i ?1 i ?1

?? 12 分

? An ? A1 ? An ? A2 ??? An ? An?1
? 1? ? 2? ? n ?1 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? n ? ? n? ? n? ?
? ? n ? 1? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ? 1? n
????? 13 分

n ? n ? 1? n ?1 2 ? ? n ? 1? ? ? . n 2

????? 14 分

16


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