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2018年高中数学北师大版必修五课件:1.2.2.2.2-等差数列习题课ppt讲练课件_图文

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第一章 数 列 第 2 课时 等差数列习题课 已知数列的前 n 项和 Sn 求通项公式 3 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n +n, 求该数列的通 2 项公式. 【解】 1 当 n=1 时,a1=- ,当 n≥2 时, 2 3 2 an=Sn-Sn-1=- n +n- 2 ? 3 ? 5 2 ?- (n-1) +(n-1)?=-3n+ , 2 ? 2 ? 1 5 则 a1=- 适合 an=-3n+ , 2 2 5 所以 an=-3n+ . 2 3 2 3 2 若将本例中“Sn=- n +n”改为“Sn=- n +n-1”,数列 2 2 {an}是等差数列吗? 3 3 解:当 n=1 时,a1=S1=- +1-1=- , 2 2 当 n≥2 时 , an = Sn - Sn - 1 3 2 = - n + n - 1 - 2 ? 3 ? 5 2 ?- (n-1) +(n-1)-1?=-3n+ , 2 ? 2 ? 3 5 因为 a1=- 不适合 an=-3n+ , 2 2 ? 3 ?-2,n=1, 所以 an=? 故数列{an}不是等差数列. ?-3n+5,n≥2. ? 2 由 Sn 求通项公式 an 的方法与步骤 (1)令 n=1,则 a1=S1,求得 a1. (2)令 n≥2,则 an=Sn-Sn-1. (3)验证 a1 与 an 的关系,若 a1 适合 an,则 an=Sn-Sn-1,若 a1 不适合 an,则 ? ?S1,n=1, an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2. 1.(1)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-1,则 a6=________. (2) 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn = an + n2 - 1(n∈N+).求{an}的通项公式. 解:(1)a6=S6-S5=62-1-(52-1)=11.故填 11. (2)当 n=2 时,S2=a1+a2=a2+22-1,即 a1=3,当 n≥2 时, Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1, 两式相减得 an=an-an-1+2n-1,即 an-1=2n-1,也即 an= 2n+1.又 a1=3 适合上式,所以{an}的通项公式为 an=2n+1. 求数列{|an|}的前 n 项和 数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2-2an+1+an= 0(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Sn. 【解】 (1)因为 an+2-2an+1+an=0. 所以 an+2-an+1=an+1-an=…=a2-a1. 所以{an}是等差数列且 a1=8,a4=2, 所以 d=-2,an=a1+(n-1)d=10-2n. (2)因为 an=10-2n,令 an=0,得 n=5. 当 n>5 时,an<0;当 n=5 时,an=0; 当 n<5 时,an>0. 所以当 n>5 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an) =S5-(Sn-S5)=2S5-Sn =2×20-9n+n2=n2-9n+40, 当 n≤5 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+an=9n-n2. 所以 2 ? ?9n-n ,n≤5, Sn=? 2 ? ?n -9n+40,n>5. 等差数列的各项取绝对值后组成数列 {|an|},若原等差数列{an} 中既有正项,也有负项,那么{|an|}不再是等差数列,求和关键 是找到数列{an}的正负项分界点处的 n 值,再分段求和. 2.(1) 设 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 an = 2n - 7(n∈N+),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________. (2)在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,设该数列的前 n 项 和为 Sn. ①该数列从第几项开始为负; ②求数列{|an|}的前 n 项和 S′n. 解:(1)因为 an=2n-7,所以 a1=-5,d=2,因为 a1<0,d >0,a3<0,a4>0,所以前 15 项的绝对值之和为 S15-2S3=- ? ? 15×14 3×2 ? ? 5×15+ ×2-2×?-5×3+ × 2 ?=153.故填 153. 2 2 ? ? (2)设等差数列{an}中,公差为 d,由题意得 ? ?a25-a10=15d=-45, ? ? ?23=a1+(10-1)×d, ? ?a1=50, 所以? ? ?d=-3. ①设从第 n 项开始为负, an=50-3(n-1)=53-3n<0, 53 所以 n> ,所以从第 18 项开始为负. 3 ②|an|=|53-3n| ? ?53-3n,1<n≤17, =? ? ?3n-53,n>17. 3 2 103 当 n≤17 时,S′n=- n + n; 2 2 当 n>17 时, S′n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an), ? 3 2 103 ? S′n=-?-2n + 2 n?+2S17 ? ? 3 2 103 = n- n+884, 2 2 ? 3 2 103 ?-2n + 2 n,n≤17, 所以 S′n=? ?3n2-103n+884,n>17. ?2 2 规范解答 等差数列前 n 项和的最值问题 (本题满分 12 分)在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9, 求前 n 项和 Sn 的最大值. 【解】 法一:由 S17=S9,得 17×(17-1) 9×(9-1) 25×17+ d=25×9+ d, 2 2 解得 d=-2, n(n-1) 所以 Sn=25n+ ×(-2)=-(n-13)2+169. 2 由二次函数性质得,当 n=13 时,

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