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09-16大学生数学竞赛真题(非数学类)

时间:2017-09-21


2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

y ( x ? y ) ln(1 ? ) x dxdy ? ____________,其中区域 D 由直线 x ? y ? 1 与两 1.计算 ?? D 1? x ? y
坐标轴所围成三角形区域. 2.设 f ( x ) 是连续函数,且满足 f ( x) ? 3x 2 ?

?

2 0

f ( x)dx ? 2 , 则 f ( x) ? ____________.

x2 ? y 2 ? 2 平行平面 2 x ? 2 y ? z ? 0 的切平面方程是__________. 3.曲面 z ? 2
4 .设函数 y ? y ( x) 由方程 xe f ( y ) ? e y ln 29 确定,其中 f 具有二阶导数,且 f ? ? 1 ,则

d2 y ? ________________. dx 2
e x ? e 2 x ? ? ? e nx x 二、(5 分)求极限 lim( ) ,其中 n 是给定的正整数. x?0 n
e

三、 (15 分) 设函数 f ( x) 连续,g ( x) ? 并讨论 g ?( x ) 在 x ? 0 处的连续性.

?

1 0

且 lim f ( xt)dt ,
x ?0

f ( x) ? A ,A 为常数, 求 g ?( x ) x

四、(15 分)已知平面区域 D ? {( x, y) | 0 ? x ? ? , 0 ? y ? ? }, L 为 D 的正向边界,试 证: (1) xe
L

?
?
L

sin y

dy ? ye? sin x dx ?? xe? sin y dy ? yesin x dx ;
L

(2) xesin y dy ? ye?sin y dx ? ? 2 .

5 2

五、(10 分)已知 y1 ? xe ? e , y2 ? xe ? e , y3 ? xex ? e2 x ? e? x 是某二阶常系数
x 2x x

?x

线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.

六、(10 分)设抛物线 y ? ax2 ? bx ? 2 ln c 过原点.当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 ,又已知该抛物 线与 x 轴及直线 x ? 1 所围图形的面积为 旋转体的体积最小.

1 .试确定 a, b, c ,使此图形绕 x 轴旋转一周而成的 3

? ( x) ? un ( x) ? x n?1e x (n ? 1,2, ?) , 且 u n (1) ? 七、(15 分)已知 un ( x) 满足 un
项级数

e , 求函数 n

?u
n ?1

?

n

( x) 之和.

八、(10 分)求 x ? 1? 时, 与

?x
n ?0

?

n2

等价的无穷大量.

2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、(25 分,每小题 5 分) (1)设 xn ? (1 ? a)(1 ? a 2 )?(1 ? a 2 ), 其中 | a |? 1, 求 lim xn .
n ??
n

? 1? (2)求 lim e ? x ?1 ? ? 。 x ?? ? x?
(3)设 s ? 0 ,求 I ?

x2

?

?

0

e? sx x n dx(n ? 1, 2,?) 。

(4)设函数 f (t ) 有二阶连续导数, r ?

?2 g ?2 g ?1? x 2 ? y 2 , g ( x, y ) ? f ? ? ,求 2 ? 2 。 ?x ?y ?r?

(5)求直线 l1 : ?

?x ? y ? 0 x ? 2 y ?1 z ? 3 ? ? 与直线 l2 : 的距离。 4 ?2 ?1 ?z ? 0

二、(15 分)设函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上具有二阶导数,并且

f ??( x) ? 0, lim f ?( x) ? ? ? 0, lim f ?( x) ? ? ? 0, 且存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 。
x ??? x ???

三、(15 分)设函数 y ? f ( x) 由参数方程 ? 阶导数,曲线 y ? ? (t ) 与 y ?

? x ? 2t ? t 2 ? y ? ? (t )

(t ? ?1) 所确定,其中? (t ) 具有二

?

t2

1

e ? u du ?

2

3 在 t ? 1 出相切,求函数? (t ) 。 2e

四、(15 分)设 an ? 0, S n ?
??

? a , 证明:
k ?1 k

n

(1)当 ? ? 1 时,级数

? S ? 收敛;
n ?1 n

an

(2)当 ? ? 1 且 sn ? ?(n ? ?) 时,级数

? S ? 发散。
n ?1 n

??

an

五、(15 分)设 l 是过原点、方向为 (? , ? , ? ) ,(其中 ? ? ? ? ? ? 1) 的直线,均匀椭
2 2 2



x2 y 2 z 2 ? ? ? 1 ,其中( 0 ? c ? b ? a, 密度为 1)绕 l 旋转。 a 2 b2 c 2
(1)求其转动惯量; (2)求其转动惯量关于方向 (? , ? , ? ) 的最大值和最小值。

六、(15 分)设函数 ? ( x) 具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C 上,曲线 积分

? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy 的值为常数。 x4 ? y 2

(1)设 L 为正向闭曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1, 证明 (2)求函数 ? ( x) ;

? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy ? 0; x4 ? y 2

(3)设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求

? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy 。 x4 ? y 2

2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一. 计算下列各题(本题共 3 小题,每小题各 5 分,共 15 分)

(1).求 lim ?

? sin x ? ? x?0 ? x ?

1 1?cos x



(2).求 lim ?

1 1 ? ? 1 ? ? ... ? ?; n?? n ? 1 n ? 2 n ? n ? ?

2t ? d2y ? x ? ln ?1 ? e ? (3)已知 ? ,求 。 2 t dx ? ? y ? t ? arctan e

二.(本题 10 分)求方程

? 2 x ? y ? 4 ? dx ? ? x ? y ? 1? dy ? 0 的通解。

三 . ( 本 题 15 分 ) 设 函 数 f(x) 在 x=0 的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数 , 且

f ? 0? , f ' ? 0? , f " ? 0? 均 不 为

0 , 证 明 : 存 在 唯 一 一 组 实 数 k1 , k 2 , k3 , 使 得

lim
h?0

k1 f ? h ? ? k2 f ? 2h ? ? k3 f ? 3h ? ? f ? 0 ? h2

? 0。

四 . ( 本 题 17 分 ) 设

x2 y 2 z 2 ?1 : 2 ? 2 ? 2 ? 1 , 其 中 a ? b ? c ? 0 a b c



? 2 : z 2 ? x 2 ? y 2 , ? 为 ?1 与 ? 2 的交线,求椭球面 ?1 在 ? 上各点的切平面到原点
距离的最大值和最小值。

? x2 ? 3 y 2 ? 1 五. (本题 16 分)已知 S 是空间曲线 ? 绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部 z ? 0 ?
分( z

? 0 )取上侧, ? 是

S 在P

? x, y, z ? 点处的切平面, ? ? x, y, z ? 是原点到切

平面 ? 的距离, (1)

?, ? ,? 表示 S 的正法向的方向余弦。计算:

z dS ;(2) ?? z ? ? x ? 3? y ?? z ? dS ?? ? x , y , z ? ? S S

六.(本题 12 分)设 f(x)是在 中
?

? ??, ?? ? 内的可微函数,且
,定义

f 、? x ? ? mf ? x ? ,其
证明:

0 ? m ? 1 , 任 取 实 数 a0
n

an ? ln f ? an?1 ? , n ? 1,2,...,

?? a
n?1

? an?1 ? 绝对收敛。

七. (本题 15 分) 是否存在区间
2

满足 f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? 1, ? 0, 2? 上的连续可微函数 f(x),

f 、? x ? ? 1, ? f ? x ? dx ? 1?请说明理由。
0

2012 年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、(本大题共 5 小题,每小题 6 分共 30 分)解答下列个体(要求写出要求写 出重要步骤)
1

(1) 求极限 lim( n! )
n? ?

n2

? 2 x ? y ? 3z ? 2 ? 0 (2) 求通过直线 l : ? 的两个互相垂直的平面 ? 1 和 ? 2 ,使其中 ? 5 x ? 5 y ? 4z ? 3 ? 0 一个平面过点 (4 , ? 3 , 1) 。
(3) 已知函数 z ? u( x , y)e ax ? by , 且

? 2u ? 0。 确定常数 a 和 b , 使函数 z ? z( x , y ) ? x? y

?2z ?z ?z ? ? ?z?0 满足方程 ? x? y ?x ?y
(4) 设函数 u ? u( x ) 连续可微, u(2) ? 1 ,且 ? ( x ? 2 y )udx ? ( x ? u3 )udy 在右半 平面与路径无关,求 u( x , y ) 。 x ?1 sint (5) 求极限 lim 3 x ? dt x x ? ?? t ? cost

二、(本题 10 分)计算 ?

?? 0

e ? 2 x sinx dx

1 三、求方程 x 2 sin ? 2 x ? 501的近似解,精确到 0.001. x

四、 (本题 12 分) 设函数 y ? f ( x ) 二阶可导, 且 f ??( x ) ? 0 , f (0) ? 0 , f ?(0) ? 0 ,

x 3 f ( u) 求 lim ,其中 u 是曲线 y ? f ( x ) 上点 P ( x , f ( x )) 处的切线在 x 轴 3 x ?0 f ( x ) sin u 上的截距。

五、 (本题 12 分) 求最小实数 C , 使得满足 ? f ( x ) dx ? 1 的连续函数 f ( x ) 都
0

1



?

1 0

f ( x )dx ? C

六、(本题 12 分)设 f ( x ) 为连续函数, t ? 0 。区域 ? 是由抛物面 z ? x 2 ? y 2 和球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? t 2 ( z ? 0) 所围起来的部分。定义三重积分
F ( t ) ? ??? f ( x 2 ? y 2 ? z 2 )dv
?

求 F ( t ) 的导数 F ??(t )

七、(本题 14 分)设 ? an 与 ? bn 为正项级数,证明:
n ?1 n ?1

?

?

? an 1 ? ? ? 0 ,则级数 ? an 收敛; n?? a bn?1 n ?1 n?1bn ? ? an 1 ? (2)若 lim? ? ? 0 ,且级数 ? bn 发散,则级数 ? an 发散。 n? ? a bn?1 n ?1 n ?1 n?1bn

(1)若 lim?

2013 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、 解答下列各题(每小题 6 分共 24 分,要求写出重要步骤)
1.求极限 lim 1 ? sin ? 1 ? 4n 2
n ??

?

?.
n

??

2.证明广义积分

?
0

sin x dx 不是绝对收敛的 x

3.设函数 y ? y ? x ? 由 x3 ? 3x2 y ? 2 y3 ? 2 确定,求 y ? x ? 的极值。
4.过曲线 y ? 面积为
3

x ? x ? 0? 上的点 A 作切线,使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形的

3 ,求点 A 的坐标。 4
?

二、(满分 12)计算定积分 I ?

??

?

x sin x ? arctan ex dx 1 ? cos2 x

三、 (满分 12 分) 设 f ? x ? 在 x ? 0 处存在二阶导数 f ?? ? 0? , 且 lim x ?0
? 1? 证明 :级数 ? f ? ? ? 收敛。 n n ?1

f ? x? ? 0。 x

? ?

四、 (满分 12 分) 设 f ? x? ? ? , f ?? x? ? ? ? 0?a ? x ? b? , 证明 ? sin f ? x ? dx ?
a

b

2 m

五、(满分 14 分)设 ? 是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二 型的曲面积分 I ? ?? ? x3 ? x ? dydz ? ? 2 y3 ? y ? dzdx ? ?3z3 ? z ? dxdy 。试确定曲面
?

? ,使积分 I 的值最小,并求该最小值。

六、(满分 14 分)设 I a ? r ? ? ? ?
C

?x

ydx ? xdy
2

? y2 ?

a

,其中 a 为常数,曲线 C

为椭

Ia ? r ? 圆 x2 ? xy ? y2 ? r 2 ,取正向。求极限 rlim ???

1 1 ?? ? 2 n 的敛散性,若收敛,求其和。 七(满分 14 分)判断级数 ? n ?1 ? n ? 1?? n ? 2 ?
?

1?

2014 年 全国大学生数学竞赛预赛试题
一、 填空题(共有 5 小题,每题 6 分,共 30 分)
x x

1. 已 知 y1 ? e 和 y1 ? xe 是 齐 次 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 的 解 , 则 该 方 程 是 ___ _________________________________

2. 设有曲面 S : z ? x2 ? 2 y 2 和平面 L : 2 x ? 2 y ? z ? 0 。 则与 L 平行的 S 的切平面方程是 _______________________________ 3. 设函数 y ? y ( x) 由方程 x ?
n

?

y?x

1

dy ? ?t ? ? _______________ sin 2 ? ?dt 所确定。求 dx x?0 ?4?

4. 设 xn ?

? (k ? 1)! 。则 lim x
k ?1
n??

k

n

? ______________________

f ( x) f ( x) ? x ? ? e3 。则 lim 2 ? ____________________ 5. 已知 lim?1 ? x ? ? x ?0 x x ?0 x ? ?

1

二、

(本题 12 分)设 n 为正整数,计算 I ?

?

1

e ?2 n?

d ? 1? cos? ln ? dx 。 dx ? x ?

三、

( 本 题 14 分 ) 设 函 数 f ( x) 在 [0,1] 上 有 二 阶 导 数 , 且 有 正 常 数 A, B 使 得

| f "( x) |? B 。证明:对任意 x ? [0,1] ,有 | f ' ( x) |? 2 A ?

B 。 2

四、

(本题 14 分)( 1 )设一球缺高为 h ,所在球半径为 R 。证明该球缺体积为

?
3

2 2 2 (3R ? h)h 2 。球冠面积为 2?Rh ; (2) 设球体 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? 1) ? 12 被

平面 P : x ? y ? z ? 6 所截得小球缺为 ? ,记球冠为 ? ,方向指向球外。求第二型 曲面积分

I ? ?? xdydz? ydzdx? zdxdy
?

五、

(本题 15 分)设 f 在 [ a, b] 上非负连续,严格单增,且存在 xn ?[a, b] ,使得

[ f ( xn )] n ?

1 b [ f ( x)] n dx 。求 lim xn n?? b ? a ?a

六、

(本题 15 分)设 An ?

n n n ?? ? ? 2 ??? 2 。求 lim n? ? An ? 2 2 n ?? n ?1 n ? 2 n ?n ?4 ?
2

2015 年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题 6 分,共 5 小题,满分 30 分)

? 2? ? ? ? sin n sin n sin ? ? (1)极限 lim n ? 2 ? 2 ?? ? 2 ?? n ?? n ?n? ? n ?1 n ? 2 ? ?
(2)设函数 z ? z ? x, y ? 由方程 F ? x ?

.

? ?

z z? , y ? ? ? 0 所决定,其中 F ?u, v ? 具有连续偏导 y x?
.

数,且 xFu ? yFv ? 0 。则 x

?z ?z ?y ? ?x ?y

( 3 ) 曲 面 z ? x2 ? y 2 ? 1 在 点 M ?1 ,? 1 , 的切平面与曲面所围区域的体积 ?3 是 ( 4 ) 函 数 f ? x? ? ? 是 .

? , 0 ?3 ,x ? ? ? 5 ? 在 ? ?5,5? 的 傅 立 叶 级 数 在 x ? 0 收 敛 的 值 0 x . ? 0 , 5 ? ? ? ?
.

(3)设区间 ? 0, ??? 上的函数 u ? x ? 定义域为的 u ? x ? ? 达式是 .

?

??

0

e? xt dt ,则 u ? x ? 的初等函数表
2

二、(12 分)设 M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程。

三、(12 分)设 f ? x ? 在 ? a, b ? 内二次可导,且存在常数 ? , ? ,使得对于 ?x ? ? a, b? ,有

f ? ? x ? ? ? f ? x ? ? ? f ? x ? ,则 f ? x ? 在 ? a, b ? 内无穷次可导。

四、(14 分)求幂级数

n3 ? 2 n ? x ? 1? 的收敛域,及其和函数。 ? n ?0 ? n ? 1? !
?

五、(16 分)设函数 f ? x ? 在 ?0,1? 上连续,且 (1) ?x0 ??0,1? 使 f ? x0 ? ? 4 (2) ?x1 ??0,1? 使 f ? x1 ? ? 4

? f ? x ? dx ? 0,? xf ? x ? dx ? 1 。试证:
0 0

1

1

2 2 2 六、(16 分)设 f ? x, y ? 在 x 2 ? y 2 ? 1上有连续的二阶偏导数,且 f xx ? 2 f xy ? f yy ?M 。



f ? 0,0? ? 0, f x ? 0,0? ? f y ?0,0? ? 0, 证明:
2

x ? y ?1

??

f ? x, y ? dxdy ?

? M
4



2

2016 年 第八届全国大学生数学竞赛

一、填空题(每小题 5 分,满分 30 分)

? ? 1?? ? f ?a ? n ? ? ?? ? 1、若 f ? x ? 在点 x ? a 可导,且 f ? a ? ? 0 ,则 lim ? ? n ?? ? f ?a? ? ? ? ? ?
2、若 f ?1? ? 0 , f ? ?1? 存在,求极限 I ? lim
x ?0

n

.

f ? sin 2 x ? cos x ? tan 3x

?

e x ? 1 sin x

2

?

.

3、设 f ? x ? 有连续导数,且 f ?1? ? 2 ,记 z ? f e x y 2 ,若 式.

?

?

?z ? z ,求 f ? x ? 在 x ? 0 的表达 ?x

4、设 f ? x ? ? ex sin 2x ,求 0 ? an ?

?
2

,f

? 4?

? 0? .

5、求曲面 z ?

x2 ? y 2 平行于平面 2 x ? 2 y ? z ? 0 的切平面方程. 2

二、(14 分)设 f ? x ? 在 ?0,1? 上可导, f ? 0? ? 0 ,且当 x ? ? 0,1? , 0 ? f ? ? x ? ? 1 , 试证当 a ? ? 0,1? ,

??

a

0

f ? x ? dx

? ??
2

a

0

f 3 ? x ? dx .

三、( 14 分 ) 某 物 体 所 在 的 空 间 区 域 为 ? : x ? y ? 2z ? x ? y ? 2z , 密 度 函 数 为
2 2 2

x2 ? y 2 ? z 2,求质量 M ? ??? ? x2 ? y 2 ? z 2 ?dxdydz .
?

四、(14 分)设函数 f ? x ? 在闭区间 ?0,1? 上具有连续导数, f ? 0? ? 0 , f ?1? ? 1, 证明: lim n ?
n??

? ?

?

1

0

f ? x ? dx ?

1 n ? k ?? 1 f ? ?? ? ? . ? n k ?1 ? n ? ? 2

五、(14 分)设函数 f ? x ? 在闭区间 ?0,1? 上连续,且 I ? 存在不同的两点 x1 , x2 ,使得

? f ? x ?dx ? 0 ,证明:在 ? 0,1? 内
0

1

1 1 2 ? ? . f ? x1 ? f ? x2 ? I

六、设 f ? x ? 在 ? ??, ??? 可导,且 f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? f x ? 3 . 用 Fourier 级数理论证明 f ? x ? 为常数.

?

?


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