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高三数学 不等式选讲(选修4-5)课件理人教版

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第三十讲 不等式选讲(选修4-5) 考纲要求 ? 1.以选择题的形式考查绝对值不等式,同时与不等式 的性质相结合. ? 2.以考查绝对值不等式的解法为主,兼顾考查集合 的交、并、补运算. ? 3.以一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等 知识为背景考查不等式的常用证明方法. ? 4.与数列等知识综合考查不等式的证明方法. 要点串讲 1.绝对值三角不等式 定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b |,当且 仅当 ab≥0 时,等号成立. 定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b| +|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式 |x |<a 与 |x |>a 的解集 不等式 |x |<a |x |>a a>0 {x|- a<x<a} {x|x>a 或 x<- a} a= 0 ? {x|x∈ R 且 x≠ 0} a<0 ? R (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c?ax+b≥c 或 ax+b≤-c. (3)|x - a|+ |x- b|≥c(c>0) 和 |x- a|+ |x- b|≤c(c>0) 型 不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解, 体现了数形结 合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思 想; ③通过构造函数, 利用函数的图象求解, 体现了函数 与方程的思想. 3.比较法 (1)作差比较法 ①理论依据:a>b?a- b>0; a<b?a- b<0. ②证明步骤:作差→变形→判断符号→得出结论. (2)作商比较法 a ①理论依据:b>0, >1?a>b; b a b<0, >1?a<b. b ②证明步骤: 作商→变形→判断与 1 的大小关系→得 出结论. 4.综合法 (1)定义:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种 证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果 法. (2)思路:综合法的思索路线是“由因导果”,也就 是从一个(组 )已知的不等式出发,不断地用必要条件代替 前面的不等式,直至推导出要求证明的不等式. 5.分析法 (1)定义:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的 充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事 实 (定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证 的命题成立, 这种证明方法叫做分析法. (2)思路:分析法的思索路线是“执果索因”,即从 要证的不等式出发, 不断地用充分条件来代替前面的不等 式,直至找到已知不等式为止. 高频考点 类型一 【例 1】 绝对值不等式的解法 已知一次函数 f(x)=ax-2. (1)当 a=3 时,解不等式|f(x)|<4; (2)解关于 x 的不等式|f(x)|<4; (3)若不等式|f(x)|≤3 对任意 x∈[0,1]恒成立,求实数 a 的取值范围. [解] (1)当 a=3 时,则 f(x)= 3x- 2, ∴ |f(x)|<4? |3x- 2|<4 2 ?- 4<3x- 2<4?- 2<3x<6?- <x<2, 3 2 ∴不等式的解集为{x|- <x<2}. 3 (2)|f(x)|<4? |ax- 2|<4 ?- 4<ax- 2<4?- 2<ax<6, 2 6 当 a>0 时,不等式的解集为{x|- <x< }; a a 6 2

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