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直线与方程_知识点总结_例题习题精讲精练

时间:2014-09-04

直线与方程专题复习
【知识点一:倾斜角与斜率】 (1)直线的倾斜角
0 0 ①直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0 ;②倾斜角 ? 的范围 0 ? ? ? 180
0

(2)直线的斜率
0 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为 90 的直线斜率不存在.记作 k ? tan ? (? ? 900 )

0 0 ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, ? ? 0 , k ? tan 0 ? 0 ; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, ? ? 90 , k 不存在.
0

②经过两点 P 的直线的斜率公式是 k ) x1 ? x2) 1 ( x1 , y1 ), P( x2 , y2( ③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率. (3)利用斜率证明三点共线的方法:

?

y2 ? y1 x2 ? x1

已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) ,若 x1 ? x2 ? x3或k AB ? kBC ,则有 A、B、C 三点共线。 【知识点二:直线平行与垂直】 (1)两条直线平行:对于两条不重合的直线 l1 , l2 ,其斜率分别为 k1 , k2 ,则有 l1 // l 2 ? k1 ? k 2 特别地,当直线 l1 , l2 的斜率都不存在时, l1与l2 的关系为平行 (2)两条直线垂直:如果两条直线 l1 , l2 斜率存在,设为 k1 , k2 ,则有 l1 ? l 2 ? k1 ? k 2 ? -1 【知识点三:直线的方程】 (1)直线方程的几种形式 名称 ①点斜式 方程的形式 已知条件 局限性 不包括垂直于 x 轴的 直线 不包括垂直于 x 轴的 直线 不包括垂直于 x 轴和

y ? y1 ? k ( x ? x1 )
y ? kx ? b

( x1 , y1 ) 为直线上一定点,

k 为斜率
②斜截式

k 为斜率, b 是直线在 y 轴
上的截距

③两点式

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b
Ax ? By ? C ? 0

经过两点( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 且(x1 ? x2 ,y1 ? y2 )

y 轴的直线

④截距式

a 是直线在 x 轴上的非零截距, 不包括垂直于 x 轴和

b 是直线在 y 轴上的非零截距

y 轴或过原点的直线
无限制,可表示任何 位置的直线

⑤一般式

A, B, C为系数

( A2 ? B2 ? 0)

-1-

问题:过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的直线是否一定可用两点式方程表示?不一定】 (1)若 x1 ? x2且y1 ? y2 ,直线垂直于 x 轴,方程为 x ? x1 ; (2)若 x1 ? x2且y1 ? y2 ,直线垂直于 y 轴,方程为 y1 ? y2 ; (3)若 x1 ? x2且y1 ? y2 ,直线方程可用两点式表示 截距与距离的区别:截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数,不是“距离” ,可正可负。 截距式方程的应用 ①与坐标轴围成的三角形的周长为: |a|+|b|+ a 2 ? b2 ; ②直线与坐标轴围成的三角形面积为: S=

1 | ab | ; 2

③直线在两坐标轴上的截距相等,则 k ? ?1 或直线过原点,常设此方程为 x ? y ? a或y ? kx (2)线段的中点坐标公式

若点P 1, P 2的坐标分别是( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),
x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 且线段PP 1 2的中点M ( x, y )的坐标为 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
【知识点四 直线的交点坐标与距离】 (1)两条直线的交点 设两条直线的方程是 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 两条直线的交点坐标就是方程组 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的解. ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

①若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标; ②若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行. (2)几种距离 两点间的距离:平面上的两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式 特别地,原点 O (0, 0) 与任一点 P ( x, y ) 的距离 | OP |?

|P 1P 2 |?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

x2 ? y 2
| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

点到直线的距离:点 P 0 ( xo , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

-2-

两条平行线间的距离:两条平行线 Ax ? By ? C1 ? 0与Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离 d 精讲精练:

?

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

【例】已知 A(1, 3), B(4, 2 3), 直线 l 过原点 O 且与线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是( ) A B C D )

【例】在坐标平面内,与点 A(1, 2) 距离为 1, 且与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有( A1条 B2条 C3条 D4条

【例】方程 x ? y ? 1 所表示的图形的面积为_______. 【例】一直线过点 M (?3, 4) ,并且在两坐标轴上截距之和为 12 ,这条直线方程是__________. 【例】已知直线 (a ? 2) y ? (3a ? 1) x ? 1, 为使这条直线不经过第二象限,则实数 a 的范围是___ 【例】直线 y ? ? _.

3 x ? 1 和 x 轴, y 轴分别交于点 A, B ,在线段 AB 为边在第一象限内作等边△ ABC ,如果 3
1 2

在第一象限内有一点 P ( m, ) 使得△ ABP 和△ ABC 的面积相等,求 m 的值.

1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得最小值时 P 点的坐标. 2 【例】 在△ABC 中, 已知 BC 边上的高所在直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0, ?A 的平分线所在直线的方程为 y ? 0 . 若
【例】已知点 A(1,1) , B (2, 2) ,点 P 在直线 y ? 点 B 的坐标为 (1, 2), 求点 C 的坐标. 【例】直线 l 过点 P (2,1), 且分别与 x , y 轴的正半轴于 A, B 两点,O 为原点. (1)求△AOB 面积最小值时 l 的方程; (2)|PA|?|PB|取最小值时 l 的方程. 【例】求倾角是直线 y ? ? 3x ? 1 的倾角的

1 , 且分别满足下列条件的直线方程: 4

(1)经过点 ( 3, ?1) ;(2)在 y 轴上的截距是-5. 【例】已知直线 l : kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 . (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 交 x 负半轴于 A, 交 y 正半轴于 B, ?AOB 的面积为 S , 试求 S 的最小值并求出此时直线 l 的方程. 练习: 1.若直线过点( 3 ,-3)且倾斜角为 30°,则该直线的方程为 2.如果 A(3, 1)、B(-2, k)、C(8, 11), 在同一直线上,那么 k 的值是 3.两条直线 3x ? 2 y ? m ? 0 和 (m 2 ? 1) x ? 3 y ? 2 ? 3m ? 0 的位置关系是 ; ; ; ;

4.直线 x ? 2 y ? b ? 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么 b 的取值范围是 5.过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是:

-3-

6.三直线 ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10 相交于一点,则 a 的值是: 7.已知点 A(?1, 2), B(2, ?2),C(0,3), 若点 M (a, b) (a ? 0) 是线段 AB 上一点,则直线 kCM 的取值范围是: 8.若动点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 分别在直线 l1 : x ? y ? 7 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 5 ? 0 上移动,则 AB 中点 M 到原 点距离的最小值为: 9 过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ;

10.已知 A(3,1)、B(-1,2),若∠ACB 的平分线在 y=x+1 上, 则 AC 所在直线方程是____________. 11.光线从点 A?2,3? 射出在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,反射光线经过点 B ?1,1? ,则反射光线所在直线的方程 12.点 A(1,3) ,B(5,-2) ,点 P 在 x 轴上使|AP|-|BP|最大,则 P 的坐标为: 13.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点;(2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为 4,求直线 l 的方程. 14. (1)要使直线 l1: (2m 2 ? m ? 3) x ? (m 2 ? m) y ? 2m 与直线 l2:x-y=1 平行,求 m 的值. (2)直线 l1:ax+(1-a)y=3 与直线 l2:(a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直,求 a 的值. 15.已知 ? 中,A(1, 3),AB、AC 边上的中线所在直线方程分别为 x ? 2 y ?? 1 0和 y? 1?0,求 ? A B C A B C 各边所在直线方程. 16.△ABC 中,A(3,-1) ,AB 边上的中线 CM 所在直线方程为:6x+10y-59=0, ∠B 的平分线方程 BT 为:x-4y+10=0,求直线 BC 的方程. 17. 已知函数 f (x) ? x ?

a 2 , 设点 P 是函数图象上的任意一点,过点 P 分别 的定义域为 (0, ??), 且 f (2) ? 2 ? x 2

作直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M , N . (1)求 a 的值; (2)问: | PM | ? | PN | 是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说明理由; (3)设 O 为原点,若 SOMPN ? 1 ? 2, 求 P 点的坐标.

-4-


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