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高二数学(文科)下学期期末试题

时间:2013-06-14


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2011—2012 学年度第二学期期末考试 高二数学(文科)试题
参考公式:





x y A.(2,2)

0 1

1 3 B.(1,2)

2 5 C.(1.5,0)

3 7 ( D.(1.5,4) ( B. 0.3 2 ? log 2 0.3 ? 2 0.3 D. log 2 0.3 ? 0.3 2 ? 2 0.3 ( ) D. [ 0 , 2 ) ) ) )

? ? ? 则 y 与 x 的线性回归方程为 y ? b x ? a 必过点





K ?
2

n ( ad ? bc ) 2 ( a ? b )( c ? d )( a ? c )(b ? d )
0.10 2.706 0.05 3.84

(其中 n ? a ? b ? c ? d )

8. 0.3 2 , log 2 0.3 与 2 0.3 的大小关系是 A. 0.3 2 ? 2 0.3 ? log 2 0.3

独立性检验概率表 P( K ? k )
2





0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

C. log 2 0.3 ? 2 0.3 ? 0.3 2



k





一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有 且只有一个是正确) 1.在复平面内,复数 1 ? 所对应的点位于

9.若函数 f(x)的定义域是 [?1 , 1] ,则函数 f(x+1)的定义域是 A. [?1 , 1] B. [ 0 , 2 ] C. [?2 , 0 ] 10.若函数 f ( x ) ? A、 a ≥ 5

1 i





x

2

? 2 (1 ? a ) x ? 3 在 ? ?? , 4 ? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是(
C、 a ≤ 5 D、 a ≥ ?3

B、 a ≤ ?3



A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.用反证法证明命题: “一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①因为 A ? B ? C ? 90? ? 90? ? C ? 180? , 这与三角形内角和为 180? 相矛盾,A ? B ? 90? 不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设三角形的三个内角 A 、 B 、 C 中有两 个直角,不妨设 A ? B ? 90? ,正确顺序的序号为 ( ) A.①②③ B.③①② C.①③② D.②③① 3.右图中阴影部分所对应的集合是 A. (CUA)?B C. CU(A?B) B. (CUB)?A D. CU(A?B) ) ( ) U

11.查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到如下的数据: 出生时间 性别 男婴 女婴 合计 晚上 24 8 32 白天 31 26 57 合计 55 34 89 ( )

A

B
则认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为

4.实数系的结构图为右图所示其中 1、2、3 三个方格中的内容分别为( A. 有理数、整数、零 B. 有理数、零、整数 C. 零、有理数、整数 D. 整数、有理数、零 5.函数 y ? a
x ?1

A. 10 0 0

B. 5 0 0

C. 2.5 0 0

D. 1 0 0

12.已知偶函数 f ( x ) 与奇函数 g ( x) 的定义域都是 ( ?2, 2) ,它们在 [0, 2) 上的图象 如图所示,则使关于 x 的不等式 f(x)g(x)>0 成立的 x 的取值范围为 ( A、 ( ?2, ?1) ? (1, 2) B、 ( ?1, 0) ? (0,1) C、 ( ?2, ?1) ? (0,1) D、 ( ?1, 0) ? (1, 2) f(x) g(x) )

线
………………………………………………….

? 1 恒过定点
B. (1,2) C. (0, 1)

( D. (?1 , 1) (



A. (2,1) 6. y ?

1

2

x

O

1

2

x

2 x ? 1 ? lg( 3 ? 4 x ) 的定义域为

) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
1 3

1 3 1 A . (? , ) B. ( ? ,0) ? (0,??) 2 4 2 7.已知 x 与 y 之间的一组数据:

1 3 C. [? , ) 2 4

D. ( ??, ] ? [ ,??) 2 4

13.计算:12 ? |3+4i|-10 ? (i

2010

+i

2011

+i

2012

+i

2013

)=______

. (其中 i 为虚数单位)

14.若 f (x) 是 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ( x ? 2) , 则当 x ? 0 时, f (x) = . 回归直线方程参考公式: . 学科网

b?

?x y
i i ?1 n

n

i

? nx y ? nx
2

…………………………………………. …………………………………….. ……………..………………. ……………………………………………

? 2 x , ( x ? ? 1) ? 15.已知 f ( x ) ? ? ? 2, ( ? 1 ? x ? 1) ,若 f(x)= - 3 时,则 x 的值是 ? ? 2 x , ( x ? 1) ?

?x
i ?1

2 i

,

? ? a ? y ? bx

(1)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的 2 组数据, 请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ; (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则 认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠? (3)请预测温差为 14℃的发芽数。 20. (本题满分 12 分)已知 a,b,c 均为正实数,且 a+b+c= 1,求证;(
? ? ?

16. 半径为 r 的圆的面积 S ( r ) ? ? r 2 , 周长 C ( r ) ? 2? r ,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则有 1 1 ○: (? r )? ? 2? r ,○式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
2

1 a

对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○的式子: 1 (已知球的体积公式为: V球 ? 3 ? R ) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
3

-1)(

1 b

-1)(

1 c

-1)≥8



4

21. (本题满分 12 分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)(2)(3)(4)为 、 、 、 她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现 按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同) ,设第 n 个图形包含 f(n) 个小正方形.

? x ? 2 ? 2t , 17. (本小题满分 10 分)已知在直角坐标系 xOy 内,直线 l 的参数方程为 ? (t 为 ? y ? 1 ? 4t ,
参数). 以 Ox 为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ? (Ⅰ)写出直线 l 的直角坐标方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 和圆 C 的位置关系。 18. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? log a ( a ? 1)
x

?
4

)。



( a ? 0且 a ? 1)

(Ⅰ)求出 f(5) ; (Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n? 1) 与 f(n) 的关系式, (Ⅲ)根据你得到的关系式求 f(n) 的表达式.

(1)求 f(x)的定义域; (2)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的范围; 19.(本题满分 12 分) 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间 的关系进行分析研究,他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天 每 100 棵种子中的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x(℃) 发芽 y(颗) 12 月 1日 10 23 12 月 2日 11 25 12 月 3日 13 30 12 月 4日 12 26 12 月 5日 8 16

线

22. ( 10 分) 已知 定义在 R 上 的 函数 y ? f (x ) 满 足 条件:对 于任 意的 x , y ? R ,

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ,当 x ? 0 时, f (x ) ? 0 .
(1)求 f (0) 的值; (2)讨论 f ( x ) 的奇偶性和单调性.

该农科所确定的研究方案是:先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程, 剩下的 2 组数据用于回归方程检验.

(3)当 x>0 时,对于 f ( x ) 总有 f(1-m) + f(1-m2)<0,求 m 的取值范围。

………………………………………….. …………………………………… …………………………………

2011—2012 学年度第二学期期末考试 高二数学(文科) 参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 A 5 B 6 C 7 D 8 D 9 C 10 C 11 A 12 C

当 a>1 时,ax-1>0, ax 〉1,ax>a0 ,x>0???????????4 分 当 0<a<1 时,ax-1>0, ax 〉1,ax>a0 ,x<0??????????6 分 (2) 当 a>1 时
log a ( a x ? 1) >0

, log a ( a x ? 1) > log a 1

????????? 8 分

?a x ? 1 ? 1 ? , ax>2 ? x ?a ? 1 ? 0 ?

x>loga2??????????????10 分 ??????????????12 分



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )
13、60
3 2 3 2

? { x | x ? log a 2}
19.(本题满分 12 分)

14、

x(x+2)

15、 ? 或

3 2 ? (4 16、 3 ? R ) =4? R

(1)由数据求得, x =12, y =27,
^ ^ 5 ^ 由公式求得.b=2,a= y -b x =-3.

??????

2分 4分 6分

??????? ???????

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分) . 解: (1)消去参数 t ,得直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 x ? 3 ; ??4 分

^ 5 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y=2x-3.



^ 5 (2)当 x=10 时,y=2×10-3=22,|22-23|<2; ^ 5 当 x=8 时,y=2×8-3=17,|17-16|<2. 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的.??????? 10 分


? ? 2 2 (sin ? ?

?
4

)

, 即

? ? 2(sin ? ? cos ? ) , 两 边 同 乘 以 ?

^ 5 (3)当 x=14 时,有y=2x-3=35-3=32 所以当温差为 14℃的发芽数约为 32 颗。 ?????? 12 分

? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos ? ) ,
消去参数 ? ,得⊙ C 的直角坐标方程为: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

线
………………………………………………….

???8 分 20. (本题满分 12 分)

(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 分

| 2 ?1? 3 | 2 2 ? 12

?

2 5 5

?

2 ,所以直线 l 和⊙ C 相交.??10
证明:因 a,b,c 均为正实数,且 a+b+c= 1, 故(

1 a

-1)(

1 b

-1)(

1 c

-1)=

a ? b+c ? a a ? b ? c ? b a ? b ? c ? c ????6 分 ? ? a b c

18. (本小题满分 12 分)
解:(1)f(x)函数的定义域由 a ? 1 ? 0 ?????????????2 分
x

?

b+c a ? c a ? b bc ac ab ? ? ?2 ?2 ?2 ? 8 ???????????12 分 a b c a b c

21.(本题满分 12 分)

.解: (Ⅰ)? f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,????????? ??????????? 4 分 ? f(5)=25+4×4=41. (Ⅱ)? f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, ????????? 6 分 由 上 式 规 律 得 f(n+1)-f(n)=4n.??????????????????? 8 分 f(2)-f(1)=4 × 1, f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),
?

2分

?1 ? m ? 1 ? m 2 ? 0 (1) ? ∴原不等式的解集等价于 ?1 ? m ? 0 (2) ……………………… ? 2 (3) ?1 ? m ? 0
? ?2 ? m ? 1 ? 得-1<m<1 ………………………………………………… 得 ?m ? 1 ? ?1 ? m ? 1 ?
∴m 的取值范围是-1< m<1……………………………………………………

9分

…………………………………………. …………………………………….. ……………..………………. ……………………………………………

11 分
12 分



f(3)-f(2)=4 × 2,

f(4)-f(3)=4 × 3,



f(n)-f(n-1)=4·(n-1) ??????????? 10 分
? f(n)-f(1)=4[1+2+?+(n-2)+(n-1)]=2(n-1)·n, ? f(n)=2n
2

-2n+1

???????????? 12 分

22.(本题满分 12 分) 解: (1)取 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f(0)

? (0) 0 f ?

;?????????

2分
(2)取 y ? ? x ,得 f ( x ) ? f ( ? x ) ? f (0) ? 0 ? f ( ? x) ? ? f ( x) , 则



f ( x)







数;???????????????????????????? 4 分 设 x1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) ? f ( x1 ? x 2 ) ? ? f ( x 2 ? x1 ) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 R 上单调递减....................................................................................................6

线


(3)

f(1-m) + 2 f(1-m)+f(1-m )<f(0)

f(1-m2)<0, ∵ …………………7 分

f(0)=0,



∵f(x+y)=f(x)+ f(y) , ∴f(1-m+1-m2)<f(0), ∵f(x) 在 R 上单调递减. 当 x>0 时,对于 f ( x ) 总有 f(1-m) + f(1-m2)<0,…… 8 分


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