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2015-2016学年浙江省温州市乐清市芙蓉中学高二(下)期末数学试卷(解析版)

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2015-2016 学年浙江省温州市乐清市芙蓉中学高二(下)期末数 学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6},集合 A={0,1,3},集合 B={2,6},则(?UA) ∩(?UB)为( ) A.{5,6} B.{4,5} C.{0,3} D.{2,6} 2.设 a,b 是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设 a=log2π,b=log π,c=π﹣2,则( )

A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c.若 a= 的值为( A. B. ) C. D. 个单位后得到 g(x)=cos ,b=2,B= ,则 A

5.已知函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|<π)的图象向左平移 (2x+ A.﹣ ) ,则 φ 的值为( B.﹣ ) C. D. ,0) ,则 tan2α 的值是(

6.设 sin2α=﹣ A. B.

cosα,α∈(﹣ C. D.



7.若函数 f(x)=

是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为 (



A. B. (1,+∞) (1,8) C. (4,8) D.[4,8) 8.偶函数 f(x)满足 f(x﹣1)=f(x+1) ,且在 x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于 x 的方程 f(x)= A.1 B.2 ,在 x∈[0,4]上解的个数是( C.3 D.4 )

二、填空题(9-12 题每空 3 分,13-15 每空 4 分,共 36 分) 9.设全集 U=R,集合 M={x|﹣2≤x≤2},N={x|y= M∩N= . 第 1 页 共 12 页 },则 M∪N= ,

10.已知 α 为第三象限角,sinα=﹣ ,则 sin2α= 11. f x) =ln 已知函数 ( (4﹣x2) 的定义域为

,cos2α= f x) , ( 的单调减区间为

. .

12.已知函数 f(x)=

,则 f(f(﹣3) )=

,f(x)的最

小值是 . 13.若 a=log43,则 2a+2﹣a=

. ,2) ,

14.已知函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻最值点为( ( , . ,则 cosα=

﹣2) ,则这个函数的解析式为 y= 15.已知



三、解答题(共 5 大题,共 74 分,解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 16.已知函数 f(x)=x +2ax﹣1 (1)若 f(1)=2,求实数 a 的值,并求此时函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)为偶函数,求实数 a 的值; (3)若 f(x)在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围. 17.已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 18.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin2 (1)求 A 的值. (2)若 a= ,求△ABC 面积的最大值. 19.已知关于 x 的二次函数 f(x)=x2+(2t﹣1)x+1﹣2t. (1)求证:对于任意 t∈R,方程 f(x)=1 必有实数根; (2)若方程 f(x)=0 在区间(﹣1,2)上有两个实数根,求 t 的范围. 20.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acosB. (Ⅰ)证明:A=2B (Ⅱ)若△ABC 的面积 S= ,求角 A 的大小. +cos2A= ,

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2015-2016 学年浙江省温州市乐清市芙蓉中学高二(下) 期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6},集合 A={0,1,3},集合 B={2,6},则(?UA) ∩(?UB)为( ) A.{5,6} B.{4,5} C.{0,3} D.{2,6} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】利用已知条件求出集合的补集关系,然后求解交集. 【解答】解:全集 U={0,1,2,3,4,5,6},集合 A={0,1,3},集合 B={2,6}, (CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)={4,5}. 故选:B. 2.设 a,b 是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】利用特例集合充要条件的判断方法,判断正确选项即可. 【解答】解:a,b 是实数,如果 a=﹣1,b=2 则“a+b>0”,则“ab>0”不成立. 如果 a=﹣1,b=﹣2,ab>0,但是 a+b>0 不成立, 所以设 a,b 是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件. 故选:D. π,c=π﹣2,则(

3.设 a=log2π,b=log



A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 【考点】对数值大小的比较. 【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出,a,b,c 的取值范围,即可得到结论. 【解答】解:log2π>1,log 即 a>1,b<0,0<c<1, ∴a>c>b, 故选:C π<0,0<π﹣2<1,

4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c.若 a= 的值为( A. B. ) C. D.

,b=2,B=

,则 A

【考点】正弦定理. 第 3 页 共 12 页

【分析】由已知及正弦定理可解得 sinA= 大角即可求得 A 的值. 【解答】解:由已知及正弦定理可得:sinA=

= ,结合 A 的范围,利用三角形中大边对

=

= ,

由于:0<A<π,可解得:A= 因为:a= 所以:A= 故选:D.





<b=2,利用三角形中大边对大角可知,A<B, .

5.已知函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|<π)的图象向左平移 (2x+ A.﹣ ) ,则 φ 的值为( B.﹣ ) C. D.

个单位后得到 g(x)=cos

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】条件:“函数 y=sin(2x+φ) (|φ|<π)的图象向左平移 (x+ )+φ])=cos(2x﹣ +φ)=cos(2x+ ) ,从而可得﹣ 个单位后”可得 y=sin[2 +φ=2kπ± ,k∈Z,

由|φ|<π 即可求出 φ 的值. 【解答】解:∵函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|<π)的图象向左平移 (x+ ∴﹣ )+φ]=sin(2x+ +φ=2kπ± +φ)=cos(2x﹣ +φ)=cos(2x+ 个单位后可得 sin[2

)=g(x) ,

,k∈Z,

∵|φ|<π, ∴可解得 φ= 故选:C. .

6.设 sin2α=﹣ A. B.

cosα,α∈(﹣ C. D.

,0) ,则 tan2α 的值是(



【考点】三角函数的化简求值. 【分析】化简已知条件,求出角的大小,化简所求表达式求解即可. 【解答】解: , ,

第 4 页 共 12 页

可得:2sinαcosα=﹣ 可得:sinα= 则 tan2α=tan( 故选:A.

cosα,

.α=﹣ )= .

7.若函数 f(x)=

是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为 (



A. (1,+∞)

B. (1,8) C. (4,8) D.[4,8)

【考点】分段函数的应用;函数单调性的性质.

【分析】若函数 f(x)=

是 R 上的增函数,则

,解得

实数 a 的取值范围

【解答】解:∵函数 f(x)=

是 R 上的增函数,





解得:a∈[4,8) , D 故选: . 8.偶函数 f(x)满足 f(x﹣1)=f(x+1) ,且在 x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于 x 的方程 f(x)= A.1 B.2 ,在 x∈[0,4]上解的个数是( C.3 D.4 )

【考点】函数的周期性;奇偶函数图象的对称性. 【分析】根据已知条件推导函数 f(x)的周期,再利用函数与方程思想把问题转化,画出 函数的图象,即可求解. 【解答】解:∵f(x﹣1)=f(x+1)∴f(x)=f(x+2) , T=2 ∴原函数的周期 . 又∵f(x)是偶函数,∴f(﹣x)=f(x) . 又∵x∈[0,1]时,f(x)=x,函数的周期为 2, ∴原函数的对称轴是 x=1,且 f(﹣x)=f(x+2) .

第 5 页 共 12 页

设 y1=f(x) ,y2= 方程 f(x)=

, 根的个数,

即为函数 y1=f(x)的图象(蓝色部分)与 y2= 的图象(红色部分)交点的个数. 的图象:

由以上条件,可画出 y1=f(x) ,y2=

又因为当 x=1 时,y1>y2,∴在(0,1)内有一个交点. ∴结合图象可知,在[0,4]上 y1=f(x) ,y2= ∴在[0,4]上,原方程有 4 个根. 故选 D. 共有 4 个交点.

二、填空题(9-12 题每空 3 分,13-15 每空 4 分,共 36 分) 9. N={x|y= 设全集 U=R, 集合 M={x|﹣2≤x≤2}, }, 则 M∪N= M∩N= {x|x≤2} ,

{x|﹣2≤x≤1} . 【考点】并集及其运算. 【分析】求出集合的等价条件,根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:N={x|y= }={x|1﹣x≥0}={x|x≤1},

∵M={x|﹣2≤x≤2}, ∴M∪N={x|x≤2},M∩N={x|﹣2≤x≤1}, 故答案为:{x|x≤2},{x|﹣2≤x≤1}

10.已知 α 为第三象限角,sinα=﹣ ,则 sin2α=

,cos2α=



【考点】二倍角的余弦;二倍角的正弦. 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得 cosα,再利用二倍角公式即可求得 sin2α 和 cos2α.

第 6 页 共 12 页

【解答】解:∵α 为第三象限角,sinα=﹣ , ∴cosα=﹣ , ∴sin2α=2sinαcosα=2× cos2α=2cos2α﹣1=2×(﹣ )2﹣1= 故答案为: , . = . ,

11.已知函数 f(x)=ln(4﹣x2)的定义域为 (﹣2,2) ,f(x)的单调减区间为 [0, 2) . 【考点】复合函数的单调性;函数的定义域及其求法. 【分析】根据复合函数定义域以及单调性之间的关系进行判断求解即可. 【解答】解:要使函数有意义,则 4﹣x2>0,得﹣2<x<2,即函数的定义域为(﹣2,2) , 2 设 t=4﹣x ,则 y=lnt 在定义域上是增函数, 要求 f(x)的单调减区间,根据复合函数同增异减的关系,即等价于求 t=4﹣x2,在(﹣2, 2)上的减区间, ∵t=4﹣x2,在(﹣2,2)上的减区间是[0,2) , ∴f(x)的单调减区间为[0,2) , 故答案为: (﹣2,2) ,[0,2)

12.已知函数 f(x)=

,则 f(f(﹣3) )= 0 ,f(x)的最小值是

. 【考点】函数的值. 【分析】根据已知函数可先求 f(﹣3)=1,然后代入可求 f(f(﹣3) ) ;由于 x≥1 时,f(x) = ,当 x<1 时,f(x)=lg(x2+1) ,分别求出每段函数的取值范围,即可求解

【解答】解:∵f(x)=



∴f(﹣3)=lg10=1, 则 f(f(﹣3) )=f(1)=0, 当 x≥1 时,f(x)= ,即最小值 ,

当 x<1 时,x2+1≥1,f(x)=lg(x2+1)≥0 最小值 0, 故 f(x)的最小值是 . 故答案为:0; .

第 7 页 共 12 页

13.若 a=log43,则 2a+2﹣a=



【考点】对数的运算性质. 【分析】直接把 a 代入 2a+2﹣a,然后利用对数的运算性质得答案. 【解答】解:∵a=log43,可知 4a=3, 即 2a= , 所以 2a+2﹣a= 故答案为: + . = .

14.已知函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻最值点为( ( , 2sin(2x+ ) .

,2) ,

﹣2) ,则这个函数的解析式为 y=

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】由题意求出 A,T 推出 ω,利用点( 数解析式. 【解答】解:A=2,相邻最值点相距半个周期,即 则函数解析式为 y=2sin(2x+φ) ,点( +φ=2kπ+ 得 φ=2kπ+ = ,∴T=π? ω=2, +φ)? ,2)在函数图象上,求出 φ,然后求出函

,2)在函数图象上,∴2=2sin( ) .

,k∈Z∴函数的解析式为 y=2sin(2x+ ) .

故答案为:y=2sin(2x+

15.已知

,则 cosα=



【考点】两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系. 【分析】由条件求得 ,再由 果. 【解答】解:∵已知 ∴ , , ,再由 ,可得 ,利用两角和差的正弦公式求出结

第 8 页 共 12 页

,又 所以 ∴ = 故答案为 . . = ,



?cos

+sin

?sin

三、解答题(共 5 大题,共 74 分,解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 16.已知函数 f(x)=x +2ax﹣1 (1)若 f(1)=2,求实数 a 的值,并求此时函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)为偶函数,求实数 a 的值; (3)若 f(x)在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围. 【考点】二次函数的性质. 【分析】 (1)由 f(1)=2,解得 a=1,此时函数 f(x)=x2+2x﹣1=(x+1)2﹣2,由此可得 函数 f(x)的最小值. (2)若 f(x)为偶函数,则有对任意 x∈R,都有 f(﹣x)=f(x) ,由此求得实数 a 的值. 2 (3)由于函数 f(x)=x +2ax﹣1 的单调减区间是(﹣∞,﹣a],而 f(x)在(﹣∞,4]上 是减函数,可得 4≤﹣a,由此求得实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)由题可知,f(1)=1+2a﹣1=2,即 a=1,此时函数 f(x)=x2+2x﹣1=(x+1) 2 ﹣2≥﹣2, 故当 x=﹣1 时,函数 f(x)min=﹣2. (2)若 f(x)为偶函数,则有对任意 x∈R,都有 f(﹣x)=(﹣x)2+2a(﹣x)﹣1=f(x) =x2+2ax﹣1,即 4ax=0,故 a=0. (3)函数 f(x)=x2+2ax﹣1 的单调减区间是(﹣∞,﹣a],而 f(x)在(﹣∞,4]上是减 函数, ∴4≤﹣a,即 a≤﹣4,故实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣4].

17.已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 【分析】 (1)利用同角三角函数关系求得 cosα 的值,分别代入函数解析式即可求得 f(α) 的值. (2)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换,进而利用三角函数性质和 周期公式求得函数最小正周期和单调增区间. 【解答】解: (1)∵0<α< ,且 sinα= ,

第 9 页 共 12 页

∴cosα=



∴f(α)=cosα(sinα+cosα)﹣ , = ×( + )﹣

= . (2)f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . =sinxcosx+cos2x﹣ = sin2x+ cos2x = ∴T= 由 2kπ﹣ sin(2x+ =π, ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ﹣ ,kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z, ) ,

∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣

],k∈Z.

18.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin2 (1)求 A 的值. (2)若 a= ,求△ABC 面积的最大值.

+cos2A= ,

【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得:8cos2A+2cosA﹣3=0,可求 cosA,结合 A 为锐角,即可解得 A 的值. (2)由(1)可求 sinA,由余弦定理 cosA= 面积 S 的最大值. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)∵sin2 +cos2A=sin2( )+cos2A=cos2 +cos2A= +2cos2A﹣1= , 可得 bc≤1,从而可求△ABC 的

∴可得:8cos2A+2cosA﹣3=0, ∴解得:cosA= 或﹣ , ∵A 为锐角, ∴cosA= ,可得 A= …6 分

第 10 页 共 12 页

(2)由(1) ,A= ∴sinA= ∵a= ,

, ,

,可得:S= bcsinA=

∴cosA=

?

? bc=c2+b2﹣3? 3+bc=c2+b2≥2bc? ab≤3,

∴可得:△ABC 的面积 S 的最大值为

.…12 分

19.已知关于 x 的二次函数 f(x)=x2+(2t﹣1)x+1﹣2t. (1)求证:对于任意 t∈R,方程 f(x)=1 必有实数根; (2)若方程 f(x)=0 在区间(﹣1,2)上有两个实数根,求 t 的范围. 【考点】二次函数的性质. 【分析】 (1)欲使得对于任意 t∈R,方程 f(x)=1 必有实数根,只须其根的判别式大于等 于 0,由此只须验证△≥0 即可; (2)欲使方程 f(x)=0 在区间(﹣1,2)上有两个实数根,结合二次函数的图象可得: ①△≥0;②对称轴在﹣1 与 2 之间;③函数在 x=﹣1 和 x=2 处的函数值均为正,据此三 点列出不等关系解之即得 t 的范围. 【解答】解: (1)f(x)=1 即 x2+(2t﹣1)x﹣2t=0 △=(2t﹣1)2+8t=(2t+1)2≥0 ∴f(x)=1 必有实数根. (2)若 f(x)=0 在(﹣1,2)上有两个实数根







所以 t 的范围为



20.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acosB. (Ⅰ)证明:A=2B (Ⅱ)若△ABC 的面积 S= ,求角 A 的大小.

【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可证明 A=2B (Ⅱ)若△ABC 的面积 S= 的大小. 第 11 页 共 12 页 ,则 bcsinA= ,结合正弦定理、二倍角公式,即可求角 A

【解答】 (Ⅰ)证明:∵b+c=2acosB, ∴sinB+sinC=2sinAcosB, ∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB ∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB ∴sinB=2=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B) ∵A,B 是三角形中的角, ∴B=A﹣B, ∴A=2B; (Ⅱ)解:∵△ABC 的面积 S= ∴ bcsinA= , ,

∴2bcsinA=a2, ∴2sinBsinC=sinA=sin2B, ∴sinC=cosB, ∴B+C=90°,或 C=B+90°, ∴A=90°或 A=45°.

第 12 页 共 12 页


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