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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:4.3 和、差、倍角的三角函数_图文

时间:2013-11-27

§4.3

和、差、倍角的三角函数

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.两角和与差的三角函数公式 sin αcos β±cos αsin β sin(α±β)=_______________________;

cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β;
tan α± β tan tan(α±β)=_______________. 1?tan αtan β

2.二倍角公式 2sin αcos α sin 2α=_______________________;
2tan α 1-tan2α tan 2α=__________________.

1-2sin2α cos2α-sin2α 2α-1=_____________; cos 2α=______________=2cos

目录

3.辅助角公式 设辅助角 φ,asin θ+bcos θ a b 2 2 = a +b ( 2 sin θ+ 2 cos θ) 2 2 a +b a +b = a2+b2sin(θ+φ). a
2 2

b

a2+b2 其中 cos φ=_________,sin φ=__________. a +b

b 即 tan φ= . a

目录

思考探究

1.sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立吗?
提示:不是的.α或β其中之一为2kπ(k∈Z)时,可以成立,即 sin(2kπ+β)=sin β.
tan α-tan β 2.在公式 tan(α-β)= 中,α=45° , 1+tan αtan β β=135° 可以吗?

提示:不可以,等式左右两边都没意义.

目录

课前热身
sin 2α 1.(2011· 高考福建卷)若 tan α=3,则 2 的值等于( cos α A.2 C.4 B.3 D.6 )

sin 2α 2sin αcos α 解析:选 D. 2 = =2tan α=2×3=6. 2 cos α cos α

目录

3 2.(2012· 高考大纲全国卷)已知 α 为第二象限角,sin α= ,则 5 sin 2α=( ) 24 12 A. - B. - 25 25 12 24 C. D. 25 25
3 解析:选 A.∵α 为第二象限角且 sin α= , 5 4 2 ∴cos α=- 1-sin α=- , 5 3 ? 4? 24 - =- . ∴sin 2α=2sin α· α=2× × 5 cos 5 ? ? 25

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3.(2012· 高考重庆卷)设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的两 根,则tan(α+β)的值为( A.-3 B.-1 )

C.1

D.3

解析:选 A.∵tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根, ∴tan α+tan β=3,tan αtan β=2, tan α+tan β 3 ∴tan(α+β)= = =-3. 1-tan αtan β 1-2

目录

4.化简: cos(20°+x)cos(25°-x)-cos(70°-x)sin(25°-x)=

__________.
2 答案: 2
6 π 5.已知 3cos x-sin x=- ,则 sin( -x)=__________. 5 3 3 答案:- 5

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及应用

两角和差的形式是相对而言的.如 α-β=α+(-β), α=(α+β)-β 等.要注意公式的正用、逆用、变形用.

目录

例1

4 已知 α,β 均为锐角,cos αcos 2α+sin 2αsin α= , 5

1 tan(α-β)=- ,求 tan β 和 tan(α+β)的值. 3

4 3 3 【思路分析】 已知可化简为 cos α= →sin α= →tan α= , 5 5 4 而 β 用 α-(α-β)表示.

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4 【解】 ∵cos αcos 2α+sin 2αsin α=cos(2α-α)=cos α= , 5 3 3 α 为锐角,∴sin α= ,∴tan α= . 5 4 3 1 + tan α-tan?α-β? 4 3 13 ∴tan β=tan[α-(α-β)]= = = . 3 1 9 1+tan αtan?α-β? 1- × 4 3 3 13 + tan α+tan β 4 9 79 ∴tan(α+β)= = =- . 3 13 3 1-tan αtan β 1- × 4 9 【领悟归纳】 把所求角巧妙地转化为其它角的和、差形式,

是解题的关键.
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考点 2

二倍角的正弦、余弦、正切公式

在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于 2α 是 α 的二 倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,如:4α 是 2α 的二 α π π 倍,α 是 的二倍, ± 是 ± 的二倍,所有这些都可以用二 2α α 2 2 4 倍角公式,另外二倍角公式进行变形,还有更多的应用技巧.

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例2

π π 3 若 0<x< ,sin( -x)= ,求 sin 2x 的值和 cos x 的值. 4 4 5
利 用 角 度 变 换 , 寻 找 函 数 关 系 : sin 2x=

【思路分析】

?2?π-x? ?, cos 4 进而可求 cos 2x, cos 2x=2cos2x-1, cos x. 而 求 ? ?

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?2?π-x? ?=1-2sin2(π-x) 【解】 ∵sin 2x=cos ? 4 ? 4
32 7 =1-2×( ) = . 5 25 π 又∵0<x< ,cos 2x>0, 4 ∴cos 2x= 1-sin 2x=
2

7 2 24 1-? ? = , 25 25 24 1+ 25 7 2 = . 2 10

∴cos x=

1+cos 2x = 2

目录

【思维总结】

π π 2α, +α, -α 三角之间有必然的内在联系, 4 4

本题的变形就用了这种关系. π π π 如:cos 2α=sin( ± 2α)=2sin( ± α)cos( ± α)等. 2 4 4

目录

跟踪训练 π 3π π 3 1.若 <x< ,sin( +x)= . 求 sin 2x 及 cos x 的值. 2 4 4 5 ?2?π+x? ?=2sin2(π+x)-1 解:sin 2x=-cos ? 4 ? 4 32 7 =2×( ) -1=- . 5 25 π 3 3 又∵ <x< π,∴π<2x< π.∴cos 2x<0. 2 4 2 7 2 24 2 ∴cos 2x=- 1-sin 2x=- 1-?- ? =- . 25 25 ∵cos x<0,
1+cos 2x =- 2 24 1- 25 2 =- . 2 10
目录

∴cos x=-

考点3

给值求角

已知某个角的三角函数值,根据三角函数的定义,可以把这 个角求出来,要注意终边相同的角及角的范围.

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例3 设函数 f(x)=4cos xsin2(π+x)+ 3cos 2x-2cos x, 4 2
若 f(x)=1 且 0<x<π.求角 x 的值.

【思路分析】

首先使用降幂公式,再用辅助角公式,化为

f(x)=Asin(ωx+φ)的形式.

目录

π 1-cos? +x? 2 【解】 f(x)=4cos x· + 3cos 2x-2cos x 2 =2cos x(1+sin x)+ 3cos 2x-2cos x π =sin 2x+ 3cos 2x=2sin(2x+ ), 3 π π 1 ∴当 f(x)=1 时,即 2sin(2x+ )=1,∴sin(2x+ )= . 3 3 2 π π π 5 ∴2x+ =2kπ+ 或 2x+ =2kπ+ π(k∈Z). 3 6 3 6 π π ∴x=kπ- 或 x=kπ+ ,k∈Z. 12 4 π 11 又∵x∈(0,π).∴k=0 时,x= ,k=1 时,x= π. 4 12

【思维误区】

本题易丢解、多解,不注意x的范围.
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跟踪训练

?x+π ?,x∈R, 2.(2012· 高考广东卷)已知函数 f(x)=Acos?4 6 ? ?π ?= 2. 且f 3 ? ?
(1)求 A 的值;

?0,π ?,f?4α+4π?=-30,f?4β-2π ?=8, (2)设 α,β∈ 3 ? 3 ? 5 ? 2? ? 17 ?
求 cos(α+β)的值.

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?π ?= 2得 Acos? π +π ?= 2.故 A=2. 解:(1)由 f 3 ? ? ?12 6 ?
4 ? 30 ? ?1?4α+4π ?+π ? (2)∵- =f 4α+3π =2cos 4? 3 ? 6? 17 ? ? ? ?α+π ?=-2sin α, =2cos ? 2? 2π ? 8 ? ?1?4β-2π ?+ π ?=2cos β, =f 4β- 3 =2cos 4? 3 ? 6? 5 ? ? ? 15 4 ∴sin α= ,cos β= . 17 5 ?0,π ?, ∵α,β∈ ? 2?

目录

∴cos α= 1-sin α= sin β= 1-cos β=
2

2

?15?2= 8 , 1- 17 ? ? 17 ?4 ?2=3. 1- 5 ? ? 5

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 8 4 15 3 13 = × - × =- . 17 5 17 5 85

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方法感悟
方法技巧

1.三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变
角为:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名: 尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理

化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,
一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中 的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.本节例题都有

所涉及.

目录

2.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已 知条件的和角进行加减或 2 倍角后再加减, 观察是不是常数角, 只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式两边求某一函数 值,可使所求的复杂问题简单化! 3.变化多端的三角公式 (1)二倍角公式的逆向变换及有关变形: 1± 2α=(sin α± α) ;1+cos α=2cos ; sin cos 2 1+cos 2α 1-cos α=2sin ;cos α= ; 2 2 1-cos 2α 2 sin α= . 2
2 2α 2 2α

目录

1+cos 2α 1-cos 2α 2 其中,cos α= ,sin α= 称为降幂公式,而 2 2
2

把 1-cos 2α=2sin2α,1+cos 2α=2cos2α 称为升幂公式. tan α+tan β (2)公式 tan(α+β)= , 应注意两种变形: α+tan tan 1-tan αtan β tan α+tan β β=tan(α+β)· (1-tan α· β)和 1-tan α· β= tan tan . tan?α+β? 1-cos α α sin α (3)tan = = . 2 1+cos α sin α

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失误防范
1.辅助角公式中,系数“ a2+b2”易被漏掉,正、余弦形式 易写反. 2.在三角函数求值时,往往要判定角的范围后再求值,特别有 关求角的问题,判断角的范围不可少. 1 3.在(0,π)内,sin α= 所对应的角不唯一,注意周期的使用. 2

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考向瞭望把脉高考
命题预测
近几年的高考,应用两角和、差公式、倍角公式求值,化简 以及与三角函数知识的综合仍为高考的热点,题型有选择题、 填空题又有解答题,难度中等偏低.客观题常以公式的直接 应用形式出现,主要考查学生对公式的熟练应用,主观题常 以三角函数的性质、向量等知识综合,所需要的性质和公式 为多数考生所熟悉的,绝大多数考生都能入手解题. 如2012年大纲全国卷、江西卷、重庆卷、四川卷及江苏卷都

考查了倍角及和角公式的化简与求值.
预测2014年高考仍将以公式的应用为主,考查学生对公式的理 解、准确应用、逆用和变形应用.以化简求值为主要内容.
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规范解答 例
(本题满分 12 分)(2011· 高考广东卷)已知函数

?1x-π ?,x∈R. f(x)=2sin 3 6? ?
(1)求 f(0)的值;

?0,π ?,f?3α+π ?=10,f(3β+2π)=6, (2)设 α,β∈ 2 ? 13 ? 2? ? 5
求 sin (α+β)的值.

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?-π ?=-2sin π=-1.(2 分) 【解】 (1)f(0)=2sin ? 6? 6 ?0,π ?,f?3α+π? =10, (2)由题意知,α,β∈ 2? 13 ? 2? ?
6 10 6 f(3β+2π)= ,即 2sin α= ,2cos β= ,(6 分) 5 13 5 5 12 3 4 ∴sin α= ,cos α= ;cos β= ,sin β= .(10 分) 13 13 5 5 ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 5 3 12 4 63 = × + × = .(12 分) 13 5 13 5 65

【名师点评】

本题考查了三角函数求值、同角三角函数关

系及两角和的三角公式,考查运算求解能力,难度中等偏下.
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知能演练轻松闯关

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