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【最新资料】北京市高三数学(文)综合练习22 Word版含答案

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高考数学最新资料
北京市高三综合练习

文科数学

注意事项:

1.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签

字笔填写清楚,并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴

区”贴好条形码.

2.本次考试所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小

题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用

标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚.作图题用 2B 铅笔作图,要求线

条、图形清晰.

3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试

题、草稿纸上答题无效.

4.请保持答题卡卡面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损.

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的

一项.

1.复数 z ? 1 ? i 化简的结果等于 1? i
A.-i

() B.i

C.-2i

D.2i

2.函数 f (x) ? x ? 3 ? log 2 (6 ? x) 的定义域是( )

A.{x | x ? 6}

B.{x | ?3 ? x ? 6}

C.{x | x ? ?3}

D.{x | ?3 ? x ? 6}

3.在右面的程度框图中,若 x=5,则输出 i 的值是( )

A.2

B.3

C.4

D.5

4.直线 x ? y ? 2 ? 0截圆x 2 ? y 2 ? 4 所得劣弧所对圆

心角为
A. ? 6

B. ? 3

()
C. ? 2

5.若 0 ? a ? b,且a ? b ? 1 ,则在下列四个选项中,较大的是

D. 2? 3

()

A. 1 2

B. a 2 ? b2

C. 2ab

D.b

6.奇函数 f (x)在(??,0) 上单调递增,若 f (?1) ? 0, 则不等式 f (x) ? 0 的解集是( )

A. (??,?1) ? (0,1)

B. (??,?1) ? (1,??)

C. (?1,0) ? (0,1)

D. (?1,0) ? (1,??)

7.若集合

P

?

{0,1,2},

Q

?

{(x,

y)

|

?x ??x

? ?

y y

? ?

1? 2?

0 , 0

x,

y

?

P}

,则

Q

中元素的个数是(



A.3

B.5

C.7

D.9

8.在 ?ABC," AB? AC ? BA? BC"是"| AC | ?| BC |"的

()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.www..co

9.若一个底面是正三角形的棱柱的三视图及其尺寸如下图所示(单位:cm),则该几何体的

体积是

cm3.

10.设等比数列{an } 的公比为 q

?

1,前 2

n

项和为 Sn ,则

S4 a4

=

.

11.已知向量 a ? (x, y),b ? (?1,2),且a ? b ? (1,3),则| a ? 2b | 等于

.

12.函数 f (x) ? ln x 的图象在点 (e, f (e))处的切线方程是

.

13.已知函数

f

(x)

?

?2 x ?

(x

?

0)

,则f (?8) =

.

? f (x ? 3)(x ? 0)

14.已知点 A(1,-1),点 B(3,5),点 P 是直线 y ? x 上动点,当|PA|+|PB|的值最小时,

点 P 的坐标是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

15.(12 分)

已知函数 f (x) ? a sin x ? b cosx 的图象经过点 (? ,0),(? ,1). 63
(I)求实数 a、b 的值;

(II)若 x ?[0, ? ] ,求函数 f (x) 的最大值及此时 x 的值.www..co 2

16.(13 分) 如图,在底面是正方形的四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥面 ABCD,BD 交 AC 于点 E,F 是
PC 中点,G 为 AC 上一点. www..co (I)求证:BD⊥FG; (II)确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG//平面 PBD,并说明理由.
17.(15 分)www..co 某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度
的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题.
(I)求全班人数及分数在 ?80,90 ?之间的频数; (II)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中 ?80,90 ?间的矩形的高;
(III)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.

18.(13 分)
设 f (x) ? x3 ? 3 (a ? 1)x 2 ? 3ax ? 1.www..co 2
(I)若函数 f (x) 在区间(1,4)内单调递减,求 a 的取值范围;
(II)若函数 f (x)在x ? a 处取得极小值是 1,求 a 的值,并说明在区间(1,4)内函数 f (x)
的单调性.

19.(13 分)
在直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) 的距离之和是 4,点 M 的轨

迹是 C,直线 l : y ? kx ? 2 与轨迹 C 交于不同的两点 P 和 Q.

(I)求轨迹

C

的方程; www..co

(II)是否存在常数 k,使OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

20.(14 分)

设集合

W

由满足下列两个条件的数列{an

}

构成: www..co

① an

? an?2 2

? an?1;

②存在实数 M,使 an ? M . (n 为正整数) (I)在只有 5 项的有限数列{an},{bn}中,其中a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 4, a5 ? 5;

b1 ? 1, b2 ? 4, b3 ? 5, b4 ? 4, b5 ? 1 ;试判断数列{an},{bn} 是否为集合 W 的元素;

(II)设{cn }是等差数列, S n 是其前 n 项和, c3 ? 4, Sn ? 18, 证明数列{Sn }?W ;并写
出 M 的取值范围;
(III)设数列{dn}?W , 且对满足条件的常数 M,存在正整数 k,使 d k ? M .

求证: d k ?1 ? d k ?2 ? d k ?3 .

参考答案

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) ADCDDABCwww..co 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

9. 24 3
10.15 11.5
12. x ? ey ? 0

13.2 14.(2,2) 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(12 分)www..co
解:(I)∵函数 f (x) ? a sin x ? b cosx 的图象经过点 (? ,0),(? ,1) , 63

?

?1

?? ?

2

a

?

3b?0 2

? ??

3 a? 1b 22

?1

…………4 分

解得: a ? 3,b ? 1

(II)由(I)知: f (x) ? 3 sin x ? cosx ? 2sin(x ? ? ) 6

? x ?[0, ? ],? x ? ? ?[? ? , ? ],

2

6 63

?当x ? ? ? ? ,即x ? ? 时,

63

2

f (x) 取得最大值 3.

16.(13 分)
证明:(I)?PA ? 面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形,
其对角线 BD,AC 交于点 E, ∴PA⊥BD,AC⊥BD.

…………5 分 …………8 分 …………9 分
…………12 分

∴BD⊥平面 APC,
?FG ? 平面 PAC,
∴BD⊥FG
(II)当 G 为 EC 中点,即 AG ? 3 AC 时, 4
FG//平面 PBD, …………9 分 理由如下:
连接 PE,由 F 为 PC 中点,G 为 EC 中点,知 FG//PE,
而 FG ? 平面 PBD,PB ? 平面 PBD,
故 FG//平面 PBD. …………13 分 17.(15 分)

…………7 分

解:(I)由茎叶图知,分数在 ?50,60? 之间的频数为 2,频率为 0.008?10 ? 0.08,

全班人数为 2 ? 25. 0.08
所以分数在 ?80,90?之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ?10 ? 2 ? 4

…………3 分 …………5 分

(II)分数在 ?50,60 ? 之间的总分为 56+58=114;

分数在 ?60,70 ? 之间的总分为 60×7+2+3+3+5+6+8+9=456;

分数在 ?70,80 ?之间的总分数为 70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747;

分数在 ?80,90 ?之间的总分约为 85×4=340;

分数在[90,100] 之间的总分数为 95+98=193;
所以,该班的平均分数为 114 ? 456 ? 747 ? 340 ?193 ? 74. …………8 分 25
估计平均分时,以下解法也给分: www..co
分数在 ?50,60? 之间的频率为 2/25=0.08;

分数在 ?60,70? 之间的频率为 7/25=0.28;

分数在 ?70,80 ?之间的频率为 10/25=0.40;

分数在 ?80,90 ?之间的频率为 4/25=0.16

分数在[90,100] 之间的频率为 2/25=0.08;
所以,该班的平均分约为
55? 0.08 ? 65? 0.28 ? 75? 0.40 ? 85? 0.16 ? 95? 0.08 ? 73.8
频率分布直方图中 ?80,90 ?间的矩形的高为 4 ?10 ? 0.016. …………10 分
25

(III)将 ?80,90 ?之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4,[90,100]之间的 2 个分数编号为 5,

6,在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6) (4,5),(4,6) (5,6)共 15 个, 其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有 9 个,
故至少有一份分数在[90,1000]之间的频率是 9 ? 0.6 15
18.解: f '(x) ? 3x2 ? 3(a ?1)x ? 3a ? 3(x ?1)( x ? a)

…………12 分 …………14 分 …………15 分
…………2 分

(1)?函数f (x)在区间 (1,4)内单调递减,www..co

? f '(4) ? 0,?a ? ?4,???.

…………5 分

(2)?函数f (x)在x ? a 处有极值是 1,

? f (a) ? 1,

即 a3 ? 3 (a ?1)a2 ? 3a2 ?1 ? 1 a3 ? 3 a2 ?1 ? 1,

2

22

? a 2 (a ? 3) ? 0, 所以 a=0 或 3.

…………8 分

当 a=0 时,f(x)在 (??,0) 上单调递增,

在(0,1)上单调递减,所以 f(0)为极大值, 这与函数 f(x)在 x=a 处取得极小值是 1 矛盾,
所以 a ? 0

…………10 分

当 a=3 时,f(x)在(1,3)上单调递减,在 (3,??) 上单调递增,

所以 f(3)为极小值, 所以 a=3 时,此时,在区间(1,4)内函数 f(x)的单调性是:

f(x)在(1,3)内减,在 ?3,4?内增.

…………13 分

19.(13 分)

解:(1)?点M到(? 3,0), ( 3,0) 的距离之和是 4,

?M 的轨迹 C 是长轴为 4,焦点在 x 轴上焦距为 2 3 的椭圆,

其方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 4

…………4 分

(2)将 y ? kx ? 2 ,代入曲线 C 的方程,

整理得 (1 ? 4k 2 )x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0 ①
…………6 分
设 P(x1, y1 ), Q(x2 , y2 ), 由方程①,得

x1

?

x2

?

?8 1?

2k 4k 2

, x1 x2

?

4 1 ? 4k 2



…………8 分

又 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k(x1 ? x2 ) ? 2.



若 OP? OQ ? 0,

得 x1x2 ? y1 y2 ? 0,
将②、③代入上式,
解得 k ? ? 6 . 2

…………10 分 …………12 分

又因 k 的取值应满足 ? ? 0,

即 4k 2 ?1 ? 0 (*),

将 k ? ? 6 代入(*)式知符合题意 2

…………13 分

20.(14 分)
解:(I)对于数列{an } ,当 n=1 时,

a1

? a3 2

? 2 ? a2 , 显然不满足集合 W 的条件,①

故{an } 不是集合 W 中的元素, 对于数列{bn },当 n ?{1,2,3,4,5}时,

不仅有 b1

? b3 2

? 3 ? b2 , b2

? b4 2

? 4 ? b3 ,

b3 ? b3 2

? 3 ? b4 , 而且有 bn

? 5 ,www..co

…………2 分

显然满足集合 W 的条件①②,
故{bn }是集合 W 中的元素. (II)?{cn } 是等差数列, S n 是其前 n 项和,
c3 ? 4, S3 ? 18, 设其公差为 d,www..co

…………4 分

? c3 ? 2d ? c3 ? d ? c3 ? 18. ?d ? ?2 ? cn ? c3 ? (n ? 3)d ? ?2n ? 10, Sn ? ?n2 ? 9n

…………7 分

? Sn

? Sn?2 2

? S n?1

? ?1 ? 0, www..co

? Sn

? Sn?2 2

? Sn?1;

? Sn

?

(n

?

9)2 2

?

81 , 4

? Sn 的最大值是 S4 ? S5 ? 20,

S ? S ? 20. 即

n

4

www..co

?{Sn}?W ,且 M 的取值范围是 ?20,???

…………9 分

(III)证明:?{dn}?W ,? dk

? dk?2 2

? d k?1,

整理 d k?2 ? d k?1 ? (d k?1 ? d k ) ? d k?1 ? (d k?1 ? M ) , ? d k ? M ,? d k?1 ? M ,? d k?2 ? d k?1;

又? d k?1

? dk?3 2

? d k?2 ,? d k?3

? dk?2

? (dk?2

? d k?1 ) ? d k?2 ,

? d k ?1 ? d k?2 ? d k?3 .

…………14 分


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