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平面向量知识点归纳与例题 练习(内含答案)(1)

时间:2018-07-01

平面向量
一:知识框架图;

二、详细知识要点讲解; 重点知识回顾 1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素: .

2.向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母 a 、 b 等表示;③平面向量的坐标表 示:分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底。任作一个向量 a ,由平 面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj , ( x, y ) 叫做向量 a 的(直 角)坐标,记作 a ? ( x, y) ,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特 别地, i ? (1, 0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) 。 则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?, AB ? 3.零向量、单位向量:①长度为 度的向量,叫单位向量.(注: 4.平行向量: ①方向

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? a ? x 2 ? y 2 ;若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

的向量叫零向量,记为 0 ; ②长度为

个单位长

a |a|

就是单位向量) 的向量叫平行向量; ②我们规定 与任一向量平行.

向量 a 、 b 、 c 平行,记作 a ∥ b ∥ c .共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量.

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5.相等向量: 相等且 相同的向量叫相等向量. 6.向量的基本运算 (1) 向量的加减运算 几何运算:向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。 坐标运算:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2)则 a+b= , a-b= (2) 平面向量的数量积 : a ? b= 。 设 a =(x1,y1), b =(x2,y2)则 a ? b= 。



(3)两个向量平行的充要条件 若 =(x1,y1), =(x2,y2),则

∥ ∥ ⊥



( b 不是零向量) 。 ? = 。 。

(4) .两个非零向量垂直的充要条件是 设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ⊥

.向量的加法、减法: ①求两个向量和的运算,叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向 量的减法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差。即: a ? b = a + (? b ); 差向量的意义: OA = a ,

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? ? ? OB = b , 则 BA = a ? b

③平面向量的坐标运算:若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

?

?

?

?

? ? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , ? a ? (? x, ? y) 。
④向量加法的交换律: a + b = b + a ;向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 7.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a

?

?

(1)|λ a |=|λ || a |; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ

?

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?

? ? a =0 ; (3)运算定律 λ (μ a )=

? ? a ,(λ +μ) a =

,λ ( a + b )=

? ?



8. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线(也是平行)的充要条件是:有且只有一

?

?

个非零实数λ ,使 b =

?

? a。

9.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 。(1)不共线向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不惟一,关键是不共线;(3)由定理可将 任一向量 a 在给出基底 e1 、 e2 的条件下进行分解(4)基底给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量。 10. 向量 a 和 b 的数量积:① a ? b = 其中 ? ∈[0,π ]为 a 和 b 的夹角。②

?

?

?

2

?

| b |cos ? 称为 b 在 a 的方向上的投影。③ a ? b 的几何意义是: b 的长度| b |在 a 的方向上的 投影的 ,是一个实数(可正、可负、也可是零) ,而不是向量。

④若 a =( x1 , y1 ), b =(x2, y 2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑤运算律:a? b=b?a, (λ a)? b=a?(λ b)=λ

? ?

? ? a ?b ⑥ a 和 b 的夹角公式:cos ? = ? ? = a?b
? ? ?2 2 2 2 ⑦ a ? a ? a ? | a | =x +y ,或| a |=

(a+b) ?c=



x2 ? y2 ? a

2

⑧| a?b |≤| a |?| b |。

11.两向量平行、垂直的充要条件 设 a =( x1 , y1 ), b =( x2 , y 2 ) ①a⊥b ? a?b=0 , a ? b ? a ? b = x1 x2 + y1 y 2 =0; ② a // b ( a ≠ 0 )充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使 b =λ a 。
? ?

?

?

?

a // b ? x1 y 2 ?x2 y1 ? 0
向量的平行与垂直的坐标运算注意区别,在解题时容易混淆。

三:难点、易错点; 1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。 2、掌握向量的加法和减法。 3、掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。 4、了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。 5、 掌握平面向量的数量积及其几何意义。 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度, 角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。 四:考点举例及配套课堂练习(例题讲解)

(一)基础知识训练 1.下列命题正确的是





( A) 单位向量都相等

(B ) 任一向量与它的相反向量不相等 (D) 模为 0 的向量与任意向量共线


(C ) 平行向量不一定是共线向量

2. 已知正六边形 ABCDEF 中,若 AB ? a , FA ? b ,则 BC ? (

( A)

1 (a ? b ) 2

(B )

1 (a ? b ) 2

(C ) a ? b

(D)

1 a?b 2

3. 已知向量 e1 ? 0, ? ? R , a ? e1 ? ? e 2 , b =2 e1 若向量 a 与 b 共线,则下列关系一定成 立是 ( )

( A) ? ? 0

(B ) e 2 ? 0

(C ) e1 ∥ e2

(D) e1 ∥ e2 或 ? ? 0

4. 若向量 a ? (?1, x) , b ? (? x,2) 共线且方向相同, x =__________。 5.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP ? ?cos? , sin ? ?, 1

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,则向量 P P2 长度的最大值是( 1
A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 2 3



(二) .典例分析 例 1: (1)设 a 与 b 为非零向量,下列命题: ①若 a 与 b 平行,则 a 与 b 向量的方向相同或相反; ②若 AB ? a, CD ? b, a 与 b 共线,则 A、B、C、D 四点必在一条直线上;

?

?

?

?

?

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? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? ③若 a 与 b 共线,则 a ? b ? a ? b ;④若 a 与 b 反向,则 a ? ? ? b b
其中正确命题的个数有 (A)1 个 (B)2 个 (2)下列结论正确的是 (C)3 个 (D)4 个 (



? ? ? ? b (A) a? ? a b

? ? ? ? ??? ?? ? (B) a ? b ? a ? b (C)若 (a? )c ? (c? )b ? 0 b a

(D)若 a 与 b 都是非零向量,则 a ? b 的充要条件为 a ? b ? a ? b 错解: (1)有学生认为①②③④全正确,答案为 4;也有学生认为①或④是错的,答案为 2 或 3; (2)A 或 B 或 C。 分析:学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆,致使选择错误。 第(1)小题中,正确的应该是①④,答案为 2。共线向量( a 与 b 共线)的充要条件

?

?

?

?

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?

中所存在的常数 ? 可看作为向量 b 作伸缩变换成为另一个向量 a 所作的伸缩量;若 a ,b 为

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? b ? ? ? ? b 非零向量,则共线的 a 与 b 满足 a 与 b 同向时 a ? a ? , a 与 b 反向时 a ? ? a ? 。 b b
第(2)小题中,正确答案为(D) 。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支 D 同时要求学生明确向量垂直、 两个向量的数量积、 向量的模之间互化方法, 并进行正确互化。 例 2 设 a、b 是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D 共线则 k=_____(k∈R) 解:BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ (2a-b)=2λ a-λ b ∴ 2=2λ 且 k=-λ ∴ k=-1 例 3 梯形 ABCD,且|AB|=2|DC|,M、N 分别为 DC、AB 中点。 AB=a AD=b 用 a,b 来标 DC、BC、MN。 解:DC=

1 1 AB= a 2 2 1 1 a=ba 2 2

BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ MN=DN-DM=

1 1 1 a-b- a= a-b 2 4 4

例 4 |a|=10 b=(3,-4)且 a∥b 求 a 2 2 解:设 a=(x,y)则 x +y =100 (1) 由 a∥b 得 -4x-3y=0 (2) 解(1) (2)得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8 ∴ a=(6,-8)或(-6,8) 五. 归纳小结 1. 向量有代数与几何两种形式,要理解两者的内在联系,善于从图形中发现向量间 的关系。 2. 对于相等向量,平行向量,共线向量等概念要区分清楚,特别注意零向量与任何 向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。 课堂练习 1、下列命题正确的是( ) A.若 | a |? 0 ,则 a ? 0 C.若 a || b ,则 | a |?| b | B.若 | a |?| b | ,则 a ? b 或 a ? ?b D.若 a ? 0 ,则 ? a ? 0

2、已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(?2,1) 、B(?1,3) 、C (3,4) ,则顶点 D 的坐标为( ) A. (1,2) B. ( 2,2) C. (2,1) D. (?2,?2)

3、设 | a |? m(m ? 0) ,与 a 反向的单位向量是 b0 ,则 a 用 b0 表示为

A. a ? mb0

B. a ? ?mb0

C. a ?

1 b0 m

D. a ? ?

1 b0 m

4、D、E、F 分别为 ?ABC 的边 BC、CA、AB 上的中点,且 BC ? a , CA ? b ,下列命题中 正确命题的个数是( ) ① AD ? ?

1 1 1 1 a ? b ;② BE ? a ? b ;③ CF ? ? a ? b ; 2 2 2 2

④ AD ? BE ? CF ? 0 。 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

5、化简: CE ? AC ? DE ? AD =__________。

? ? ? b ,则 a 的坐标_____________。 ? ? ? ? ? ? ? 7、若 a 2 ? 1, b 2 ? 2, ?a ? b ?? a ? 0 ,则 a与b 的夹角为______________。
6、已知向量 a ? 3, b ? (1,2) ,且 a

?

?

?

8、已知向量 a ? 3e1 ? 2e2 , b ? 4e1 ? e2 , 其中e1 ? (1,0),e2 ? (0,1) 求 (1) a ? b ; a ? b 的值;

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?

?

?

?

?

?

? ? ?

?

(2) a 与 b 的夹角的余弦。

?

?

9、 如果向量 a 与 b , 的夹角都是 60 ? , b ? c , 而 且 | a |?| b |?| c |? 1 , (a ? 2c) ? (b ? c) 求 c 的值。

课堂练习答案 基础知识训练: D,B,B,D, 5, 0 ; 6, (

6 5 3 5 6 5 3 5 ,— )(— , , ) 5 5 5 5
(2)

7, 45 ,

0

8,(1)a ? b=10,

a ? b =5 2

10 221

9, -1

《平面向量》测试题
一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1. 已知e1、e2是两个单位向量,下列 命题中正确的是
A. e1 ? e 2 ? 1 B. e1 ? e 2
2 C. e1 ? e 2 2

?    ?
D. e1 // e 2

2.下列命题中:①若 a 与 b 互为负向量,则 a+b=0;②若 k 为实数,且 k· a=0,则 a=0 或 k=0;③若 a· b=0,则 a=0 或 b=0;④若 a 与 b 为平行的向量,则 a· b=|a||b|;⑤若|a|

=1,则 a=±1.其中假命题的个数为() A.5 个 B.4 个
?? ? ?? ?

C.3 个

D.2 个

3. 在Δ ABC中, ? 5,b ? 8,C ? 60?,则 BC ? CA 的值等于 a
A. 20 B. ? 20

?    ?
D. ? 20 3
( )

C. 20 3

4.设|a|=1,|b|=2,且 a、b 夹角 120°,则|2a+b|等于
A. 2 B. 4 C. 12

D. 2 3

5. 已知△ABC 的顶点坐标为 A 4)B (3, , (-2, , -1)C 5)D 在 BC 上, S ?ABC ? 3S ?ABD , (4, , 且 则 AD 的长为 ( )

A.

2

B. 2 2

C. 3 2
C.-1 或 3

D.

7 2 2
( )

6.已知 a=(2,1) ,b=(3,λ ) ,若(2a-b)⊥b,则λ 的值为 A.3 B.-1

D.-3 或 1 ( )

7.向量 a=(1,-2) ,|b|=4|a|,且 a、b 共线,则 b 可能是 A. (4,8)
?? ?

B. (-4,8)
?? ?

C. (-4,-8)

D. (8,4)

8.已知△ABC 中, ( ) A.30°

AB ? a , AC ? b, a ? b ? 0, S ?ABC ?

15 ,a ? 3, b ? 5 4 ,则 a 与 b 的夹角为
D.30°或 150°

B.-150°

C.150°

9. 若 a ? b ? 41 ? 20 3 ,a ? 4,b ? 5,则a ? b ?

?    ?
D. 10

A. 10 3

B. ? 10 3

C. 10 2

10.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 A.

?

?

?

?

? ?

?

?

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
)

11.若平面向量 b 与向量 a ? (2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. ( 4,2) B. (?4,?2) ) C. (6,?3)

D. ( 4,2) 或 (?4,?2)

12.下列命题正确的是( A.单位向量都相等

B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量(

? ? C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0 ? ? D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.向量 a=(2k+3,3k+2)与 b=(3,k)共线,则 k=___________.

?9 ? 14. 已知a ? ? ,k ?,b ? ?k,8?,且a与b为互相平行的 向量,则k的值为__ ___________. ?2 ?
15.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是

?

?

?

?



16.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分)

?

?

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? ?



OA 设 O 为原点, ? ?3,1?, OB ? ?? 1,2?, OC ? OB, BC// OA , 试求满足 OD? OA ? OC 的 OD 的
坐标. 18. (本小题满分 12 分) 设 e 1 和 e 2 是两个单位向量,夹角是 60°,试求向量 a ? 2e1 ? e 2 和 b ? ?3e1 ? 2e 2 的夹角. 19.已知向量 a与b 的夹角为 60? , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。

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???

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20.已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1,3) ,求 b 在 AB 上的投影。

?

?

?

?

21.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

?

?

?

?

?

(2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

参考答案

一、1.C 2.C 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.C 9.A 10.C 11.D 设 b ? ka ? (2k , k ), , | b |? 2 5 , 而 则 5k 2 ? 2 5, k ? ?, b ? (4, 2), 或(?4, ?2)

?

?

?

?

? ? a? b 2 1 ? 解析: cos ? ? ? ? ? ? , ? ? 12.答案 C 3 a b 4 2
解析: 单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当 b ? 0 时, a 与 c 可以为任意向量;

?

?

| a ? b | ?| a ? b | ,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直;还要考虑夹角
13

3 ? 21 2

。14. ?

6;

15.

? ? ? ? ? 2a ? b ? (2cos ? ? 3, 2sin ? ? 1), 2a ? b ? 8 ? 8sin(? ? ) ? 16 ? 4 3
由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得

4.

6

?2 ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?2 ? ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 ? 2? 4 ? 4 ? 6
三、17. 解:设 OD ? ?x,y ?,则 OC ? OD ? OA ? ?x ? 3,y ? 1? BC ? OC? OB ? ?x ? 4, y ? 1?由 OC ? OB 得 :
? ?x ? 3? ? 2?y ? 1? ? 0, 即x ? 2y ? 1 ? 0??①
??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

由 BC // OA ,得3?y ? 1? ? ?x ? 4 ? ? 0, ? 3y ? 7 ? 0 ?? ② 即x
由①, ②联立, 解得x ? 11,y ? 6, OD 坐标为?11,6?. 即
???

???

???

18. 解 : a ? 2e1 ? e 2 , b ? ? 3e1 ? 2e 2

? a ? 4 e1

2

2

? e2

2

? 4e1 ? e 2 1 ? 7, 2

? 4 ? 1 ? 4 ?1?1? b ? 9 e1
2 2

? 4 e2

2

? 12e1 ? e 2 1 ? 7. 2
2

? 9 ? 4 ? 12 ? 1 ? 1 ?

? a ? b ? ?2e1 ? e 2 ? ? ?? 3e1 ? 2e 2 ? ? 6 e1 ? ?6 ? 1 7 ?2?? , 2 2

? e1 ? e 2 ? 2 e 2

2

7 ? a?b 2 ??1. ?cos ? ? ? ab 2 7 7

故θ =120°. 19.解: (a ? 2b)? a ? 3b) ? a 2 ? a? ? 6b 2 ? ?72 ( b

?

?

?

?

?

? ?

?

?2 ?2 ? ? ?2 ? a ? a b cos 600 ? 6 b ? ?72, a ? 2 a ? 24 ? 0,

? ? ? ( a ? 4)( a ? 2) ? 0, a ? 4
20.解:设 A( x, y) ,

???? ??? ? AO ? ?3 ,得 AO ? ?3OB ,即 (? x, ? y) ? ?3(2, ?1), x ? 6, y ? ?3 OB ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? b ?AB 5 ? , 2 得 A( 6 ? 3, A B ? ( ?4 , 2 ) A B ? ,0b c o s ? ??? ? , ) ? 10 AB
? ?

21.解: ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2)

? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 k a ? b ? (?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3


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高中数学知识点《平面向量》《线段的定比分点》精选课....doc

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高中数学知识点《平面向量》《平移》精选专题练习【48....doc

高中数学知识点平面向量》《平移》精选专题练习【48】 (含答案考点及解析) 班级:___ 姓名:___ 分数:___ 1.已知曲线 C: ,直线 l: 高中数学知识点《平面...