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第1章 1.2.3 直线与平面垂直的判定

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第1章 1.2.3 直线与平面的位置关系 第3课时 直线与平面垂直的判定 学习目标 1.理解直线与平面垂直的定义. 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理,并能灵活应用 判定定理证明直线与平面垂直. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 直线与平面垂直的定义 思考 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,随着时 间的变化,影子的位置在移动,在各个时刻旗杆所在的直线与 其影子所在的直线的夹角是否发生变化,为多少? 答案 不变,90°. 答案 梳理 定义 如果一条直线a与一个平面α内的 任意一条直线都垂直,我们 就说直线a与平面α互相垂直 a⊥α _____ 直线a叫做平面α的 垂线 ,平面α叫做直线a的垂面,垂线和 记法 有关概念 垂足 平面的交点P称为_____ 图示 画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四 边形的一边垂直 知识点二 直线和平面垂直的判定定理 将一块三角形纸片 ABC沿折痕 AD折起,将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上 (BD , DC 与桌面接触 ). 观察折痕 AD与桌面的位置关系. 思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗? 答案 不一定. 答案 思考2 当折痕AD满足什么条件时,AD与桌面垂直? 答案 当AD⊥BD且AD⊥CD时,折痕AD与桌面垂直. 答案 梳理 文字语言 符号语言 如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线 垂直,那么 这条直线垂直于这个平面 m∩n =A?a⊥α a⊥m,a⊥n,m?α,n?α, 图形语言 题型探究 类型一 线面垂直的定义 ④⑤ 例1 下列命题中,正确的序号是______. ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α; ②若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α; ③若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线; ④若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直; ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 解析 答案 反思与感悟 (1)直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理 解.实际上,“任意一条”与 “所有” 表达相同的含义.当直线与平 面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线 . 由此可知,如 果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定 不与这个平面垂直. (2)由定义可得线面垂直?线线垂直,即若a⊥α,b?α,则a⊥b. 跟踪训练1 设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正 ② 确的是_____.( 填序号) ①若l⊥m,m?α,则l⊥α; ②若l⊥α,l∥m,则m⊥α; ③若l∥α,m?α,则l∥m; ④若l∥α,m∥α,则l∥m. 解析 答案 类型二 线面垂直的判定定理的应用 命题角度1 证明线面垂直 例2 如图所示,已知PA垂直于⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C 是⊙O上任意一点,过点A作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥平面PBC. 证明 引申探究 若本例中其他条件不变,作AF⊥PB于点F,求证:PB⊥平面AEF. 证明 反思与感悟 应用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交 直线都与已知直线垂直,即把线面垂直转化为线线垂直来解决. 跟踪训练2 如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是BB1的中点, O是底面正方形ABCD的中心,求证:OE⊥平面ACD1. 证明 命题角度2 证明线线垂直 例3 如图(1

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