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数学理卷·2014届湖北省襄阳市高三第二次调研统一测试(2014.03)word版

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2014 年高考襄阳市普通高中第二次调研统一测试 理科数学
一、选择题(本大题共 l0 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.已知全集 U=R,集合 图中阴影部分所表示的集合为 ,则

2.在复平面内,复数 i(i-1)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列命题的否定为假命题的是 B.任意一个四边形的四个顶点共圆 C.所有能被 3 整除的整数都是奇数 4.将函数 y=sin2x(x∈R)的图像分别向左平移 m(m>O)个单位,向右平移 n(n>0)个 单位,所得到的两个函数图象都与函数 y=sin(2x+ )的图象重合,则 m+n 的最小值为 ,则公比 q 的值为 5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3=6,S3= A.1 B.C.1 或D.-1 或6.右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.1 B. C. D. 内任取一点 P(x,y) ,若(x,y)满足 2x+y≤b

7.在平面区域

的概率大于 ,则 b 的取值范围是 A. (-∞,2) B. (0,2) C. (1,3) D. (1,+∞。 ) 2 8.已知抛物线 y =2px(p>0) ,过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为 3,则该抛物线的准线方程为 A.x=-1 B.x=-2 C.x=1 D.x=2 9.给出下列命题: ①向量 a、b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a、b 的夹角为 30°; ②a·b>0 是向量 a、b 的夹角为锐角的充要条件; ③将函数 y=|x-1|的图象向左平移一个单位,得到函数 y=|x|的图象; ④在△ABC 中,若 ,则△ABC 为等腰三角形. 以上命题正确的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.如图,偶函数 f(x)的图像形如字母 M,奇函数 g(x)的图 像形如字母 N,若方程 f(f(x) )=0,f(g(x) )=0,g(g(x) ) =0,g(f(x) )=0 的实根个数分别为 a、b、c、d,则 a+b+c+d= A.27 B.30 C.33 D.36 二.填空题(本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填 在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 ) (一)必考题(11-14 题) 。 11.执行如图所示的程序框图(其中[x]表示不超过 x 的最大整数) ,则 . 输出的 S 值 12.某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查,现从中随机 抽出 100 名,已知抽到的职工的月收入都在[1500,4500]元之间,根据 调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如图所示,则

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(1)该单位职工的月收入在[3000,3500)之间的频率是 ▲ ; (2)该单位职工的月收入的平均数大约是 ▲ . 13.若存在实数 x 使以 成立,则常数 a 的取值范围是 . 14.科拉茨是德国数学家,他在 1937 年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数 n,如果 n 是偶数,就将它减半(即 ) ;如果 n 是奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n+1) ,不断重复这样的 运算,经过有限步后,一定可以得到 1.如初始正整数为 6,按照上述变换规则,我们可以 得到一个数列:6,3,10,5,16,8,4,2,1. (1)如果 n=2,则按照上述规则施行变换后的第 8 项为 ▲ (2)如果对正整数 n(首项)按照上述规则施行变换后的第 8 项为 1(注:1 可以多次出 现) ,则 n 的所有不同值的个数为 ▲ . (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计 分。 ) 15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图所示,AC 和 AB 分别是圆 O 的切线, 且 OC=3,AB=4,延长 AO 到 D 点,则△ABD 的面积是 . 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 ( θ 为参 数)的右焦 点, 且于 直线 ( t 为参 数)平 行的 直线方程 为 . 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本大题满分 12 分) 设 a∈R,函数 (1)求 f(x)的单调递减区间; 满足 . ,求

(2)设锐角△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 f(A)的取值范围.

18. (本大题满分 12 分) 据《中国新闻报》10 月 21 日报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一 时间“英语考试该如何改”引起广泛关注. 为了了解某地区学生和包括老师、 家长在内的社 会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了 3600 人,就是否“取消英语听力” 的问题进行调查,调查统计的结果如下表: 应该取消 应该保留 无所谓 y 在校学生 2100 120 x z 社会人士 600 已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 O.05. (1) 现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行问卷访谈, 问应该在持“无 所谓”态度的人中抽取多少人? (2) 在持“应该保留”态度的人中, 用分层抽样方法抽取 6 人平均分成两组进行深入交流, 求第一组中在校学生人数 ζ 的分布列和数学期望.
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19. (本大题满分 12 分) 已知数列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn , 且满足 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}为等比数列,求{bn}的通项公式; (3)在(2)的条件下,记 m,使 ( a 是 常 数 且 a>O,a≠2 ) ,

是否存在正整数

都成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本大题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 与梯形 CDEF 所在的平面互相垂直,CD⊥DE,CF∥DE, CD=CF=2,DE=4,G 为 AE 的中点. (1)求证:FG∥平面 ABCD; (2)求证:平面 FAD⊥平面 FAE; (3)求平面 FAE 与平面 ABCD 所成锐二面的余弦值.

21. (本大题满分 13 分) 若中心在原点的椭圆 C1: 与双曲线 x -y =2 有共 同的焦点, 且它们的离心率互为倒数, 圆 C2 的直径是椭圆 C1 的长轴, C 是椭圆的上顶点,动直线 AB 过点 C 且与圆 C2 交于 A、B 两点,CD 垂直于 AB 交椭圆于点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积的最大值,并求此时直线 AB 的方程.
2 2

22. (本大题满分 14 分) 2 已知函数,f(x)=alnx-x . (1)当 a=2 时,求函数 y=f(x)在[ ,2]的最大值; (2)令 g(x)=f(x)+ax,若 y=g(x)在区间(0,3)上不是单调函数,求 a 的取值 范围; (3)当 a=2 时,函数 h(x)=f(x)-mx 的图象与 x 轴交于两点 A(x1,0) ,B(x2,0) , 且 0<x1<x2,又 h′(x)是 h(x)的导函数.若正常数 α、β 满足条件 α+β=1,α≤β,证明: h’(αx1+βx2)<0.

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参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内 容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分 数的一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:ACDBC 二.填空题:11.9 48 15. 5 三.解答题: 17.(1)解: f ( x) = cos x(a sin x - cos x) + cos 2 ( 由 f (a p - x) = sin 2 x - cos 2 x 2 2

BDABB 12.(1)0.25 (2)2900 16.x-2y+1=0 13.(-∞,3) 14.(1)1 (2)6

2分 4分 6分

p 3a 1 ) = f (0) 得: + = -1 ,∴ a = 2 3 3 4 2 p ∴ f ( x) = 3 sin 2 x - cos 2 x = 2 sin(2 x - ) 6 p p 3 p 5 由 2k p + ≤ 2 x - ≤ 2kp + p 得: k p + ≤ x ≤ kp + p (k∈Z) 2 6 2 3 6 p 5 ∴f (x)的单调递减区间为: [k p + , k p + p ] (k∈Z) 3 6
a 2 + c 2 - b2 c 2ac cos B c cos B c = ,由余弦定理得: = = 2 2 2 2a - c 2ab cos C b cos C 2a - c a +b -c 即 2a cos B - c cos B = b cos C (2)解:∵ 由正弦定理得: 2 sin A cos B - sin C cos B = sin B cos C 即
2 sin A cos B = sin( B + C ) = sin A 1 p 又 sin A≠0,故 cos B = ,∴ B = 2 3 2p p p -B< ? A> 3 2 6
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8分 9分

10

分 ∵△ABC 锐角三角形,∴ C =



p p p p 5p < A < , < 2A - < 6 2 6 6 6 p ∴ f ( A) = 2 sin(2 A - ) 的取值范围为(1,2]. 6

12

分 18.(1)解:∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05 120 + x ∴ = 0.05 ,解得 x = 60 3600 ∴持“无所谓”态度的人数共有 3600-2100-120-600-60 = 720 360 = 72 人. ∴应在“无所谓”态度抽取 720 ? 3600 (2)解:由(1)知持“应该保留”态度的一共有 180 人 120 60 ∴在所抽取的 6 人中,在校学生为 ? 6 = 4 人,社会人士为 ?6=2人 180 180 于是第一组在校学生人数 ξ = 1,2,3
P (x = 1) = CC C
3 6 1 4 2 2

2分 4分 6分

8分
1 2 3 4 0 2

=

C C C C 1 3 1 , P (x = 2) = = , (x = 3) = = , 3 3 5 5 5 C6 C6

2 4

即 ξ 的分布列为: ξ P ∴ E = 1? 分 19.(1)解:由 ∴ S1 = a1 =
Sn a a 得: Sn = (an - 2) = an - 2 a - 2 a-2 1 3 1 + 2? + 3? = 2 . 5 5 5

1 1 5

2 3 5

3 1 5

10 分 12

a (a1 - 2) ,a1 = a a-2 a a a a 当 n≥2 时, an = ( an - 2) (an -1 - 2) = an an -1 a-2 a-2 a-2 a-2 a a (a - 2)an = aan - aan -1 ,∴ n = an -1 2 a 的等比数列 2

1分 2分 3分

∴数列{an}是首项为 a,公比为
a a ∴ an = a( ) n -1 = 2( ) n 2 2

4分

a a a ([1 - ( )n ] 2a - 2a( )n 2 2 (2)解: Sn = = a 2-a 12 a a 4a - 4a ( ) n 2a + (2 - 3a )( ) n 2 ? 1 +1= 2 = 2a ? ( 2 )n + 2 - 3a bn = a n a n 2-a (2 - a) a 2-a 2( ) (2 - a)( ) 2 2
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5分

6分

若数列{bn}为等比数列,则 2-3a = 0, a = 此时,bn = 3n

2 3 n(n + 1) 2

7分 8分 9分

(3)证: cn = log 3 b1 + log 3 b2 + L + log3 bn = log 3 b1b2 L bn = log 3 31+ 2 +L+ n = ∴
1 2 1 1 = = 2( ) cn n(n + 1) n n +1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 )] = 2(1 ) + +L + = 2[(1 - ) + ( - ) + L + ( 2 2 3 c1 c2 cn n n +1 n +1

10

分 由
1 1 1 m 1 m )≥ + +L + ≥ "n∈N*都成立得: 2(1 c1 c2 cn 3 n +1 3 6 "n∈N*都成立 n +1

即m≤6 -

∵m 是正整数,∴m 的值为 1、2、3. 分 20.(1)证法一:过 G 作 GH∥ED,交 AD 于 H 1 ∵G 为 AE 的中点,∴ GH = ED = 2 2 又 CF∥DE,故 GH∥FC 因此 GHCF 是平行四边形,FG∥CH ∴FG∥平面 ABCD uuur uuur uuur 证法二:以 DA 、DA 、DE 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),F(0,2,2),G(1,0,2),E(0,0,4) uuur uuur ∴ FG = (1, - 2, 0) ,平面 ABCD 的法向量 DE = (0, 0, 4) uuur uuur ∵ FG × DE = 0 ,∴FG⊥DE ∵FG 不在平面 ABCD 内,∴FG∥平面 ABCD. uuuu r uuur 2, 2) , DA = (2, 0, 0) (2)证: DF = (0, 设平面 FAD 的法向量 n = (x,y,z),则
2, 2) = 0 ì( x,y,z ) × (0, ì2 y + 2 z = 0 ? í í( x,y,z ) × (2, 0, 0) = 0 ? ?2 x = 0

12

2分

4分

2分

4分

令 y = 1,得 n = (0,1,-1) uuur uuur FE = (0, - 2, 2),AE = ( -2, 0, 4) 设平面 FAE 的法向量 m = (x,y,z),则
- 2, 2) = 0 ì( x,y,z ) × (0, ì -2 y + 2 z = 0 ? í í( x,y,z ) × ( -2, 0, 4) = 0 ? ? -2 x + 4 z = 0

6分

令 z = 1,得 m = (2,1,1) ∵m·n = (0,1,-1)·(2,1,1) = 0 ∴m⊥n,故平面 FAD⊥平面 FAE. 分

8分 10

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(3)解:由(2)知平面 FAE 的法向量 m = (2,1,1) uuur 平面 ABCD 的法向量 DE = (0, 0, 4) uuur uuur m × DE 6 ∴ | cos < m,DE >|=| uuur |= 6 | m || DE | ∴平面 FAE 与平面 ABCD 所成锐二面的余弦值为 分 21.(1)解:双曲线 x2-y2 = 2 的焦点为(±2,0),离心率为 2 由题意,c = 2, ∴b2 = a2-c2 = 45 ∴椭圆方程为
y2 x2 + =1 8 4 c 2 = ,解得: a = 2 2 2 a 6 6

12

2分

4分

(2)解:当直线 AB 斜率不存在时,不符合题意 当 AB 斜率存在且不为 0 时,设直线 AB 的方程为 y = kx + 2,直线 CD 的方程为 y = 圆心(0,0)到直线 AB 的距离为 d =
2 k +1
2

1 x+2 k

5分 4 2k 2 + 1 k2 + 1 6分

∴直线 AB 被圆 C2 所截得的弦长 | AB | = 2 8 - d 2 =
y2 =1 4 得: (k 2 + 2) x 2 - 8kx = 0 1 x+2 k 8k 1 8k 2k 2 - 4 ∴ xD = 2 ,yD = - ? 2 +2= 2 k k +2 k +2 k +2 ì x2 + ? ? 由í 8 ?y = ? ?

7分 8分 9分

故 | CD |= ( ∴ SDABD =

8k 2 2k 2 - 4 8 k2 + 1 2 ) + ( 2) = k2 + 2 k2 + 2 k2 + 2

1 4 2k 2 + 1 8 k 2 + 1 16 2k 2 + 1 ? ? 2 = 2 k +2 k2 + 2 k2 +1 t2 - 1 2 令 t = 2k 2 + 1 ,则 k 2 = (t > 1) 2 16t 32t 32 32 16 3 故 SDABD = 2 = 2 = ≤ = 3 3 t -1 t +3 2 3 t+ +2 t 2 分 当且仅当 t =
3 ,即 t = 3 时,等号成立 t

11

此时 2k 2 + 1 = 3 ? k = ±1 分 当直线 AB 斜率为 0,即 AB∥x 轴时, SDABD = 8 <
16 3 3

12

第 7 页 共 9 页

∴△ABD 面积的最大值为 分

16 3 ,这时直线 AB 的方程为 y = ± x + 1 . 3

13

22.(1)解:当 a = 2 时, f ?( x) = 函数 y = f (x)在[

2 2 - 2x2 - 2x = x x 3分 4分 5分

1 ,1]是增函数,在[1,2]是减函数 2

所以 f ( x)max = f (1) = 2 ln x - 1 =-1
a - 2x + a x ∵g (x)因为在区间(0,3)上不是单调函数,∴ g ?( x) = 0 在(0,3)上有实数解,且无重根

(2)解:∵ g ( x) = a ln x - x 2 + ax ,∴ g ?( x) =

2x2 1 9 = 2( x + 1 + ) - 4 ? (0, ) ,x∈(0,3) x +1 x +1 2 又当 a =-8 时, g ?( x) = 0 有重根 x =-2;a = 0 时, g ?( x) = 0 有重根 x = 0 9 综上,a 的取值范围是 (0, ) . 2 由 g ?( x) = 0 得:2x2-ax-a = 0,有 a = (3)解:当 a = 2 时, h( x) = 2 ln x - x 2 - mx , h ?( x) =
2 - 2x - m x

6分 7分 8分

∵h (x) = f (x)-mx 的图象与 x 轴交于两点 A(x1,0),B(x2,0) ∴f (x)-mx = 0 有两个实根 x1、x2,
ì 2 ln x1 - x12 - mx1 = 0 2 ∴í ,两式相减得: 2(ln x1 - ln x2 ) - ( x12 - x2 ) = m( x1 - x2 ) 2 ? 2 ln x2 - x2 - mx2 = 0 2(ln x1 - ln x2 ) - ( x1 + x2 ) ∴m = x1 - x2 2(ln x1 - ln x2 ) 2 于是 h ?(a x1 + b x2 ) = - 2(a x1 + b x2 ) + ( x1 + x2 ) a x1 + b x2 x1 - x2 2(ln x1 - ln x2 ) 2 = + (2a + 1)( x2 - x1 ) a x1 + b x2 x1 - x2

9分

10

分 ∵ a + b = 1, a ≤ b , 2a ≤ 1 ? (2a - 1)( x2 - x1 ) ≤ 0 要证: h ?(a x1 + b x2 ) < 0 ,只需证: 只需证: 分
x1 1- t (0 < t < 1),(*)化为 + ln t < 0 x2 at + b 1- t 1 1 令 u (t ) = ln t + ,则 u ?(t ) = at + b t (a t + b ) 2 1- t 1+ t a t + b = 1 - (1 - t )a ≥ 1 = ≥ t ,即 (a t + b ) 2 > t 2 2 x1 - x2 x - ln 1 > 0 (*) a x1 + b x2 x2 2(ln x1 - ln x2 ) 2 <0 a x1 + b x2 x1 - x2

11

令t =

12



第 8 页 共 9 页

1 1 1 1 ∴ > ? u ?(t ) = >0 2 t (a t + b ) t (a t + b )2

13

分 ∵u (t)在(0,1)上单调递增,u (t) < u (1) = 0 x - x2 x 1- t ∴ ln t + < 0 ,即 1 - ln 1 < 0 at + b a x1 + b x2 x2 ∴ h ?(a x1 + b x2 ) < 0 分 14

第 9 页 共 9 页


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