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3.1数列通项公式的求法

时间:2010-07-06


数列通项公式的求法

数列的通项公式:是一个 数列的第n项(即an)与项数n 之间的函数关系
注: ① 有的数列没有通项公式, 如:3,π,e,6;②有的数列有 n a 多个通项公式,如:n = ( 1) = cos nπ 下面我就谈一谈数列通项公 式的常用求法:

一,观察法(又叫猜想法,不完全归 纳法):观察数列中各项与其序号间 的关系,分解各项中的变化部分与不 变部分,再探索各项中变化部分与序 号间的关系,从而归纳出构成规律写 出通项公式 例1:数列9,99,999,9999,……
解:变形为:101-1,102―1,103―1, 104―1,……

a ∴通项公式为: n

= 10 1
n

例2,求数列3,5,9,17,33,…… 1+1,22+1,23+1, 解:变形为:2 4+1,25+1,…… 2 n ∴通项公式为:a = 2 + 1
n

可见联想与转化是由已知认识未知的两 种有效的思维方法.
注意:用不完全归纳法,只从数列的有限项 来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠 n 的,如2,4,8,…….可归纳成 an = 2 或 2 者an = n n + 2两个不同的数列( a 4 便不同)

二,迭加法(又叫加减法,逐加法)
当所给数列每依次相邻两项之间的差 组成等差或等比数列时,就可用迭加法 进行消元
例3,求数列:1,3,6,10,15,21,…… {a 的通项公式{an } 解:a a = 2 2 1 a a = 3 ∴两边相加得:
3 2

a5 a 4 = 5 …… an an 1 = n

an a1 = 2 + 3 + 4 + + n

1 ∴ an = n(n + 1) 2

三,迭积法(逐积法) 当一个数列每依次相邻两项之商 构成一个等比数列时,就可用迭积法 进行消元
n

a 例4,已知数列中 {an},1 = 2 , n +1 = 3 an , a 求通项公式 a n . a n +1 n an +1 = 3 an ,得: = 3n 解:由已知 a1 = 2, an 把1,2…,n分别代入上式得: a2 a 1, 3 2 ,…, a n =3 = 3 = 3 n 1
a1
a2

a

n 1

a 例4,已知数列中 {an} ,1 = 2 , n +1 = 3 an , a 求通项公式 a n . a n +1 n an +1 = 3 an ,得: = 3n 解:由已知 a1 = 2, an 把1,2…,n分别代入上式得: a2 1, 3 a 2 ,…, a n n 1 =3 = 3
n

a1

a2

把上面n-1条式子左右两边同时相乘得: n ( n + 1) an 1+2+3++( n1) n(n 1) ∴ 2 =3 =3
2 练习:①用迭加法推导等差数列的通项公式 ②用迭积法推导等比数列的通项公式 a1 an = 2 3

a n 1

= 3

四,待定系数法:
用待定系数法解题时,常先假定通项公 式或前n项和公式为某一多项式,一般地, a n = bn + c {a n } 若数列 为等差数列:则 , 2 或是 sn = bn + cn (b,c为常数),若数 n 1 {a 列 {an } 为等比数列,则 an = Aq , 或 sn = Aq n A ( Aq ≠ 0, q ≠ 1) . 例 5 . 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 ,若 {an} 为

等差数列,求p与 a

n

.

例 5 . 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 ,若 {an} 为 等差数列,求p与 a n .
解:∵{an } 为等差数列 n(n 1) d 2 d ∴ sn = na1 + d = n + (a1 )n
d 2 = p d = P + 1 a1 2 0 = P + 3

2 2 2 = Pn + ( P + 1)n + p + 3

2

∴ ∴

P = 3 d = 6 a = 5 1

an = a1 + (n 1)d = 1 6n

例6.设数列 {cn }的各项是一个等差数列 与一个等比数列对应项的和,若c1=2, c2=4,c3=7,c4=12,求通项公式cn

解:设

cn = a + (n 1)d + bq

n 1

a + b = 2 q = 2 a + d + bq = 4 d = 1 n 1 ∴ = cn = n + 2 2 a + 2d + bq = 7 b =1 a = 1 a + 3d + bq3 = 12

一, 已知数列的前n项和公式,求通项 (n = 1) 公式的基本方法是: a = s1
n

sn sn 1 ( n ≥ 2)

注意:要先分n=1和 n ≥ 2两种情况分别进 行运算,然后验证能否统一. 例7.已知下列两数列 {an } 的前n项和sn的 公式,求 { a n } 的通项公式. 2 2 s (1) n = n 1 (2)sn = 2n 3n

例7.已知下列两数列 {an } 的前n项和sn的 公式,求 { a n } 的通项公式. 2 2 s (1) n = n 1 (2)sn = 2n 3n a 解: (1) 1 = s1 = 1 ,当n ≥ 2时 由于 a1 也适合于此等式 ∴ an = 4n 5 a (2)1 = s1 = 0,当 n ≥ 2 时
an = sn sn 1 = (n 1) [(n 1) 1] = 2n 1
2 2

an = sn sn1 = (2n 3n) [2(n 1) 3(n 1)] = 4n 5
2 2

由于 a1 不适合于此等式 (n = 1) ∴ a = 0
n

2 n 1

( n ≥ 2)

六, 换元法

当给出递推关系求 a n 时,主要掌握通过引进 辅助数列能转化成等差或等比数列的形式. 例8,已知数列{an }的递推关系为an +1 = 2an + 1 ,且 a1 = 1 求通项公式 an .

解:∵ an +1 = 2an + 1 ∴ an +1 + 1 = 2(an + 1) n 1 令 bn = b1q 则辅助数列 {bn } 是公比为2的等比数列 n 1 n ∴ bn = an + 1 an + 1 = (a1 + 1)q 即 =2 n ∴ an = 2 1

例10,已知 a 1 = 2 ,an ≠ 0 , 且 an +1 an = 2an +1 an (n ∈ N ) ,求 a n . 解:∵ an +1 an = 2an +1 an 且an ≠ 0 1 1 1 1 = 2 即 ∴
an a n +1
a n +1 = 7

数列 因此 bn = b1 + (n 1)d

1 令 bn = ,则数列 {bn } 是公差为-2的等差 an

an

1 1 5 4n ∴ a = a 2 ( n 1) = 2 n 1 2 ∴ an = 5 4n


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