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导数在研究恒成立问题中的应用

时间:2015-04-02


导数在研究恒成立问题中的应用
恒成立问题是数学学习中的热点问题, 随着学习的深入, 这类问题往往融函数、 导数、
不等式知识于一体,以函数知识为载体,利用导数为工具研究函数的性质(单调性、极值、 最值等) ,涉及重要的数学思想,综合性强,能深入地培养我们分析问题、解决问题的能力, 训练我们的数学思维。 下面笔者以这类问题为蓝本, 对它进行解析, 供同学们在学习中参考。 例.已知两个函数 f ?x ? ? 8x 2 ? 16x ? k , g ?x? ? 2 x 3 ? 5x 2 ? 4 x. 其中 k 实数。 (Ⅰ)若对任意实数 x ? ?? 3,3? ,都有 f ?x ? ? g ?x ? ,求 k 的取值范围。 (Ⅱ)若对任意实数 x1 , x2 ? ?? 3,3?,都有 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,求 k 的取值范围。 分析及解: (Ⅰ)构造函数 F ?x? ? g ?x? ? f ?x? ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? k ,问题转化为

F ?x ? ? 0 在 x ? ?? 3,3?上恒成立,为此只需 F ?x ? 在 x ? ?? 3,3? 上的最小值 Fmin ?x? ? 0 ,
下求 F ?x ? 在 x ? ?? 3,3? 上的最小值。

F ' ?x? ? 6?x ? 1??x ? 2? ,令 F ' ?x? ? 0 ,可得: x1 ? ?1, x2 ? 2 。
在 x ? ?? 3,3?上,当

x 变化时, F ' ? x ?与 F ?x ? 的变化情况如下表:

x
F ' ?x ?
F ?x ?

-3

?? 3,?1?
+

-1 0

?? 1,2?


2 0

?2,3?
+


3

k ? 45



k ?7

k ? 20

k ?9

而由上表易求 Fmin ?x ? ? k ? 45, 从而k ? 45 。 (Ⅱ)由 题意,对任意实数 x1 , x2 ? ?? 3,3? ,都 有 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? x ? ?? 3,3? ,都有

f m a x?x? ? g m i n?x? ,
先求 f ?x ? ? 8x ? 16x ? k , k ? R 的最大值。
2

? f ?x? ? 8?x ? 1? ? 8 ? k ,又? x ? ?1 ? ?? 3,3? 且 ?? 1? ? ?? 3? ? 3 ? ?? 1? ,
2

? f max ?x? ? f ?3? ? ?k ? 120。
再求 g ?x? ? 2 x ? 5x ? 4 x 的最小值。
3 2

g ' ?x ? ? 2?3x ? 2??x ? 1?,令 g ' ?x ? ? 0 ,可得: x1 ? ?1, x 2 ? ?
比较 g ?? 3? , g ?? 1? , g ? ?

2 3

? 2? ? , g ?3? 可得: g min ?x ? ? g ?? 3? ? ?21. ? 3?

从而可求得 k ? 141 。 评注:本题两小问都是恒成立问题,题目貌似相同,可仔细分析,可发现它们实则不一 样。 第 (Ⅰ) 问中若对任意 x ? ?? 3,3? , 都有 f ?x ? ? g ?x ? ? f max ?x? ? g min ?x ? ,x ? ?? 3,3? 。

x 能同时使 f ?x ? 取得最大值和 g ?x ? 取得最小值。因此,可以用集中变量构造函数 的思想求解。 第 (Ⅱ) 中若对任意 x1 , x2 ? ?? 3,3?, 都有 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? f max ?x? ? g min ?x ? , x ? ?? 3,3?。此时的 x 不是同时使 f ?x ? 取得最大值和 g ?x ? 取得最小值的 x 。因此,只有分 别求出 f max ?x ?, g min ?x? 再求解。
此时的 跟踪练习:例 1.(2010,天府联考,22)已知函数 f ?x? ? ?1 ? x? ? 2 ln?1 ? x? .
2

(1)求 f ?x ? 的单调区间; (2)若当 x ? ? ? 1, e ? 1? 时(其中 e ? 2.71828 ? ) ,不等式 f ?x ? ? m 恒成立,求实 数 m 的取值范围; 参考答案: (1) f ?x ? 的递减区间是 ?? 1,0? ,递增区间是 ?0,??? 。 (2)实数 m 的取值范围为 e 2 ? 2,?? 。

?1 ?e

? ?

?

?


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