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高考数学大一轮复习 第3章 第6节 正弦定理和余弦定理课时提升练 文 新人教版

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课时提升练(二十一) 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.(2014·江西高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 3a=2b, 2sin B-sin A 则 的值为( 2 sin A A. 1 9 1 B. 3 2 2 ) C.1 7 D. 2 a b sin B b 【解析】 ∵ = ,∴ = . sin A sin B sin A a b 3 sin B 3 ∵3a=2b,∴ = .∴ = . a 2 sin A 2 ∴ 2 2 2sin B-sin A ?sin =2? 2 sin A ?sin B?2 ?3?2 -1=2×? ? -1 A? ? ?2? 9 7 = -1= . 2 2 【答案】 D 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.sin A,sin B,sin C 成等比 数列,且 c=2a,则 cos B 的值为 ( A. 1 4 3 B. 4 C. 2 4 D. 2 ) 2 3 【解析】 ∵sin A,sin B,sin C 成等比数列,∴sin B=sin Asin C,由正弦定理得 a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 b2=ac,又 c=2a,∴cos B= = = . 2 2ac 4a 4 【答案】 B cos A b 3.在△ABC 中,内角 A,B 的对边分别是 a,b,若 = ,则△ABC 为( cos B a A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 cos A b sin B 【解析】 法一:∵ = = , cos B a sin A ∴sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B, ∴2A=2B,或 2A+2B=π , ) π ∴A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. b2+c2-a2 2bc cos A b 法二:∵ = 2 2 2= , cos B a +c -b a 2ac ∴a (b +c -a )=b (a +c -b ). ∴a c -a =b c -b . 即(a -b )(c -a -b )=0. ∴a -b =0 或 c -a -b =0. ∴a=b 或 a +b =c . 即△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 【答案】 C 1 4.(2014·课标全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=( 2 A.5 C.2 B. 5 D.1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 【解析】 ∵S= AB·BCsin B= ×1× 2sin B= , 2 2 2 ∴sin B= 2 π 3π ,∴B= 或 . 2 4 4 3π 2 2 2 当 B= 时,根据余弦定理有 AC =AB +BC -2AB·BCcos B=1+2+2=5,∴AC= 5, 4 此时△ABC 为钝角三角形,符合题意; π 2 2 2 当 B= 时,根据余弦定理有 AC =AB +BC -2AB·BCcos B=1+2-2=1,∴AC=1, 4 此时 AB +AC =BC ,△ABC 为直角三角形,不符合题意.故 AC= 5. 【答案】 B 5.在△ABC 中,sin A≤sin B+sin C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是( 2 2 2 2 2 2 ) ? π? A.?0, ? 6? ? ? π? C.?0, ? 3? ? 2 2 2 B.? D.? ?π ,π ? ? ?6 ? ?π ,π ? ? ?3 ? 2 2 2 【解析】 由正弦定理得 a ≤b +c -bc,由余弦定理得 a =b +c -2bccos A,则 cos A≥ .因为 0<A<π ,所以 0<A≤ . 1 2 π 3 【答案】 C 6.(2013·山东高考)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 B=2A,a=1, b= 3,则 c=( A.2 3 C. 2 【解析】 3 . 2sin Acos A ) B.2 D.1 由正弦定理得: a sin A = b sin B ,∵ B = 2A , a = 1 , b = 3 ,∴ 1 = sin A ∵A 为三角形的内角,∴sin A≠0. ∴cos A= 3 . 2 π π 又 0<A<π ,∴A= ,∴B=2A= . 6 3 π ∴C=π -A-B= ,∴△ABC 为直角三角形. 2 由勾股定理得 c= 1 + 【答案】 B 二、填空题 7.(2014·福建高考)在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 3,则 AB 等于________. 【解析】 ∵A=60°,AC=2,BC= 3,设 AB=x,由余弦定理,得 BC =AC +AB - 2AC·ABcos A,化简得 x -2x+1=0,∴x=1,即 AB=1. 【答案】 1 8.(2014·广东高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcos C +ccos B=2b,则 =________. 【解析】 法一:因为 bcos C+ccos B=2b, 所以 b· 2 2 2 2 2 3 2 =2. a b a2+b2-c2 a2+c2-b2 +c· =2b, 2ab 2ac a b 化简可得 =2. 法二:因为 bcos C+ccos B=2b, 所以 sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B, 故 sin(B+C)=2sin B. 故 sin A=2sin B, 则 a=2b,即 =2. 【答案】 2 9.(2014·江苏高考)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小 值是________. 【解析】 由 sin A+

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