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初中数学竞赛辅导资料19

时间:2010-03-24


初中数学竞赛辅导资料( ) 初中数学竞赛辅导资料(19)
因式分解
甲内容提要和乙例题 我们学过因式分解的四种基本方法: 提公因式法, 运用公式法, 十字相乘法, 分组分解法. 下 面再介绍两种方法 1. 添项拆项 添项拆项.是.为了分组后,能运用公式(包括配方)或提公因式 例 1 因式分解:①x4+x2+1 ②a3+b3+c3-3abc ①分析:x4+1 若添上 2x2 可配成完全平方公式 (x 解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x) 2+1-x) 3 3 3 2 2 ②分析:a +b 要配成(a+b) 应添上两项 3a b+3ab 解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2 =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2]-3 ab(a+b+c) [ =(a+b+c) 2+b2+c2-ab-ac-bc) (a 3 ② a5+a+1 例 2 因式分解:①x -11x+20 ①分析:把中项-11x 拆成-16x+5x 分别与 x5,20 组成两组,则有公因式可提. (注意这 里 16 是完全平方数) 解:x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4) =x(x+4) (x-4)+5(x+4) =(x+4) 2-4x+5) (x 2 2 5 ②分析:添上-a 和 a 两项,分别与 a 和 a+1 组成两组,正好可以用立方差公式 解:a5+a+1=a5-a2+a2+a+1=a2(a3-1)+ a2+a+1 =a2(a-1) a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1) 3-a2+1) ( (a 2. 运用因式定理和待定系数法 . 定理:⑴若 x=a 时,f(x)=0, [即 f(a)=0] ,则多项式 f(x)有一次因式 x-a ⑵若两个多项式相等,则它们同类项的系数相等. 例 3 因式分解:①x3-5x2+9x-6 ②2x3-13x2+3 ①分析:以 x=±1,±2,±3,±6(常数 6 的约数)分别代入原式,若值为 0,则可找到 一次因式,然后用除法或待定系数法,求另一个因式. 解:∵x=2 时,x3-5x2+9x-6=0,∴原式有一次因式 x-2, ∴x3-5x2+9x-6=(x -2) 2-3x+3, (x ) ②分析:用最高次项的系数 2 的约数±1,±2 分别去除常数项 3 的约数 ±1,±3 得商±1,±2,±

1 3 1 ,± ,再分别以这些商代入原式求值可知只有当 x= 时, 2 2 2

原式值为 0.故可知有因式 2x-1 解:∵x=

1 时,2x3-13x2+3=0,∴原式有一次因式 2x-1, 2

设 2x3-13x2+3=(2x-1) 2+ax-3) (a 是待定系数) (x , 比较右边和左边 x2 的系数得 2a-1=-13, a=-6 ∴2x3-13x+3=(2x-1) 2-6x-3) (x . 2 2 例 4 因式分解 2x +3xy-9y +14x-3y+20 (x+3y) , 用待定系数法,可设 解:∵2x2+3xy-9y2=(2x-3y)

2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+a) (x+3y+b) ,a,b 是待定的系数, 比较右边和左边的 x 和 y 两项 的系数,得

a + 2b = 14 3a 3b = 3

解得

a = 4 b = 5

∴2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4) (x+3y+5) 2 2+ 又解:原式=2x +(3y+14)x-(9y 3y-20) 这是关于 x 的二次三项式 常数项可分解为-(3y-4) (3y+5) ,用待定系数法,可设 2 2+ 2x +(3y+14)x-(9y 3y-20)=[mx-(3y-4)[nx+(3y+5) ] ] 2 比较左,右两边的 x 和 x 项的系数,得 m=2, n=1 ∴2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+4) (x+3y+5) 丙练习 ②x4+4 ③x4-23x2y2+y4 1. 分解因式: ①x4+x2y2+y4 2. 分解因式: ①x3+4x2-9 ②x3-41x+30 ③x3+5x2-18 ④x3-39x-70 3. 分解因式:①x3+3x2y+3xy2+2y3 ②x3-3x2+3x+7 ④x3+6x2+11x+6 ③x3-9ax2+27a2x-26a3 3 3 2 2 ⑤a +b +3(a +b )+3(a+b)+2 4. 分解因式:①3x3-7x+10 ②x3-11x2+31x-21 ③x4-4x+3 ④2x3-5x2+1 (x 5. 分解因式:①2x2-xy-3y2-6x+14y-8 ②(x2-3x-3) 2+3x+4)-8 ③(x+1) (x+2) (x+3) (x+4)-48 ④(2x-7) (2x+5) 2-9)-91 (x 2 2 2 2 2 2 ②x -y +2x-4y-3 6.分解因式: ①x y +1-x -y +4xy 4 2 ③x +x -2ax -a+1 ④(x+y)4+x4+y4 ⑤(a+b+c)3-(a3+b3+c3) 7.己知:n 是大于 1 的自然数 求证:4n2+1 是合数 8.己知:f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5 且知 f(x)是 g(x)的因式,也是 p(x)的因式 求:当 x=1 时,f(x)的值


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