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第31届(IMO)国际物理奥林匹克竞赛试题(收藏版)

时间:2012-07-04


英国 题1

第 31 届国际物理奥林匹克竞赛试题 理论试题 莱斯特 2000 年 7 月 10 日 时间 5 小时

A 某蹦迪运动员系在一根长弹性绳子的一端,绳的另一端固定在一座高桥上,他自静 止高桥向下面的河流下落,末与水面相触,他的质量为 m,绳子的自然长度为 L,绳子的力 常数(使绳子伸长 lm 所需的力)为 k,重力场强度为 g。求出下面各量的表达式。 (a)运动员在第一次达到瞬时静止前所落下的距离 y。 (b)他在下落过程中所达到的最大速率 v。 (c)他在第一次达到瞬时静止前的下落过程所经历的时间 t。 设运动员可以视为系于绳子一端的质点,与 m 相比绳子的质量可忽略不计,当绳子在 伸长时服从胡克定律,在整个下落过程中空气的阻力可忽略不计。 B 一热机工作于两个相同材料的物体之间,两物体的温度分别为 TA 和 TB(TA>TB) , 每个物体的质量均为 m,比热恒定,均为 s。设两个物体的压强保持不变,且不发生相变。 (a)假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能,求出两物体 A 和 B 最终达到的 温度 T?的表达式,给出解题全部过程。 (b)由此得出允许获得的最大功的表达式。 (c)假定热机工作于两箱水之间,每箱水的体积为 2.50m3,一箱水的温度为 350K,另 一箱水的温度为 300K。计算可获得的最大机械能。 已知水的比热容= 4.19×103kg-1K-1,水的密度=1.00 x 103kgm.-3 C 假定地球形成时同位素 238U 和 235U 已经存在,但不存在它们的衰变产物。238U 和 235 U 的衰变被用来确定地球的年龄 T。 (a)同位素 238U 以 4.50×109 年为半衰期衰变,衰变过程中其余放射性衰变产物的半 衰期比这都短得多,作为一级近似,可忽略这些衰变产物的存在,衰变过程终止于铅的同位 素 206Ph。用 238U 的半衰期、现在 238U 的数目 238N 表示出由放射衰变产生的 206Pb 原子的数 目 206n。 (运算中以 109 年为单位为宜) (b)类似地,235U 在通过一系列较短半衰期产物后,以 0.710×109 年为半衰期衰变, 终止于稳定的同位素 207Pb。写出 207n 与 235N 和 235U 半衰期的关系式。 (c) 一种铅和铀的混合矿石, 用质谱仪对它进行分析, 测得这种矿石中铅同位素 204Pb, 206 Pb 和 207Pb 的相对浓度比为 1.00:29.6:22.6。由于同位系 204 Pb 不是放射性的,可以用 作分析时的参考。 分析一种纯铝矿石, 给出这三种同位素的相对浓度之比为 1.00: 9:15.5。 17. 238 235 已知比值 N: N 为 137:1,试导出包含 T 的关系式。 (d)假定地球的年龄 T 比这两种钢的半衰期都大得多,由此求出 T 的近似值。 (e)显然上述近似值并不明显大于同位素中较长的半衰期,但用这个近似值可以获得 精确度更高的 T 值。由此在精度 2%以内估算地球的年龄 T。 D 真空中电荷 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内。 (a)对 r≤R 和 r>R 两种情况导出距球心 r 处的电场强度。 (b)导出与这一电荷分布相联系的总电能表示式。 E 用细铜线构成的园环在地磁场中绕其竖直直径转动, 铜坏处的地磁场的磁感应强度 为 44.5μ T,其方向与水平方向向下成 60°角。已知铜的密度为 8.90×103kgm-3,电阻率 为 1.70×10-8Ω m,计算其角速度从初始值降到其一半所需的时间。写出演算步骤,此时间 比转动一次的时间长得多。没空气和轴承处的摩擦忽略不计,并忽略自感效应(尽管这些效 应本不应忽略) 。 题2

(a)一阴极射线管由一个电子枪和一个荧屏组成,放在磁感应强度为 B 的均匀恒定磁 场中,如图 1 所示,磁场方向平行于电子枪的电子束的轴,电 子束从由子枪的阳极沿轴射出,但有与轴至多成 5°的发散角, 如图 2 所示。通常电子束将在荧光屏上呈现一个弥散的斑点, 但对一定大小的磁场则可得到聚焦得很好的光点。考虑某个电 子,离开电子枪时以角度β (0<β < 5°)偏离轮运动,并考虑 其垂直于轴和平行于轴的两个分量,用下列参量导出电子的荷 质比 e/m 的表达式:

使电子束聚焦成一点的最小磁感应强度;电子枪加速电位差 V(注意 V<2kV) ,从阳 极到荧屏的距离 D。 (b)考虑另一种测量电子荷质比的方法。图 3(a)(b)为其实验装置的侧视图和俯 、 视图,图中还画出磁场 B 的方向。在这一均匀磁场中放人二块相隔很小距离 t 的铜园盘,园 盘的半径为ρ 。两盘间保持电势差 V,两园盘平行、同轴,而且它们的轴垂直于磁场。一照 相底片同轴复盖在半径为ρ +s 的园柱体的内侧面,换句话说,底片离园盘边缘的径向距离 为 s,整个装置放在真空中,注意 t 远小于 s 和ρ 。 一点状β 粒子源放置于两园盘的园心之间,沿各个方向均匀发射?粒子,粒子的速率分 布在一定的范围内,同一底片在下列不同的实验条件下曝光: 情况 1 B=0,V=0, 情况 2 B=B。 ,V=V。 , 情况 3 B=-B。 ,V=-V。 ; 这里 V0 和 B0 为正的常数。 注意当 V>0 时上面一块园盘带正电(当 V<0 时上盘带负电)。 当 B>0, 磁场方向规定为如图 3 所示的方向(当 B<0 时磁场沿相反的方向)。 解这个小题时, 两园盘的间隔可以忽略不计。

在图 3(b)中,底片的两个区域分别用 A 和 B 标出。底片曝光并冲洗后,两个区域中 的某个区域的底片展开后显示的β 粒子曝光线条如图 4 所示。 这部分底片是取自于什么区域 (A 还是 B)?通过指出作用在电子上的力的方向论证你的答案。

(c)曝光并冲洗后,底片的展开图如图 4 所示。利用显微镜测量两条最外面的轨迹的 间距。[在某一特定角度下的间距(y)已在图 4 中标出]。此测量结果由下表结出,角度Φ 定义为磁场方向与底片上某点和园盘中心联统间的夹角,如图 3(b)所示。 与磁场夹角/度 间 隔 Φ y 90 17.4 60 12.7 50 9.7 40 6.4 30 3.3 23 轨迹终端

测量系统参数的数值如下: B0=6.91mT V0=580V t= 0.80mm s=41.0mm 8 -1 另外,真空中光速可取为 3.00×10 ms ,电子的静止质量为 9.11×10-31kg。计算出观测到 的β 粒子的最大动能(以 eV 为单位) 。 (d)利用上面(c)部分给出的信息,求出电子的电荷与静质量的比值。这应通过在所 给的坐标纸上画一合适的图求出。 写出所画图的横轴和纵轴所代表的量的代数表达式,并写出电子荷质比的量值。 请注意,由于观察的系统误差,你所得到的答案可能与公认的标准值不同。

第 31 届国际物理奥林匹克竞赛试题 理论试题(续) 英国 莱斯特 2000 年 7 月 10 日 时间 5 小时 引力波和引力对光所产生的效应 A 部分 这部分涉及探测天文事件所产生的引力波的困难。已知远距离的超新星爆炸可能对地 球表面的引力场强度产生大约 10-19Nkg-1 的扰动。一种引力波探测器的模型(见图 5)由两 根各 1 米长的金属棒组成,两律互成直角,每根棒的一头都抛光成光学平面,另一头刚性地 固定住。调节其中一根棒的位置,使从光电管所接收到的信号最小(见图 5) 。

用压电器件在棒中产生一个非常短的纵向脉冲,结果棒的自由瑞产生纵向位移Δ xt 的 振动: Δxt=ae-μtcos(ωt+ ? ) 其中 a、μ 、ω 和 ? 为常数。 (a)如果 50 秒的时间间隔内位移的振幅减小 20%,求μ 的值。 (b)设两棒都由.铝组成,其密度(ρ )为 2700kgm-3,杨氏模量(E)为 7.1×1010 Pa。 已知纵波的速度 v= E / ? ,试求ω 的最小值。

(c)一般不可能使得这两根棒具有完全相同的长度,因此光电管信号出现 0.005Hz 的拍频,问两棒的长度差为多少? (d)对于长为 l 的棒,导出由于引力场强度 g 的变化Δ g 所引起的长度变化面 l 的代数 表达式,用 l 和棒材料的其它常数表示。设探测器对引力场强度变化的响应只发生在一根棒 的轴向上。 (e)某激光器产生波长为 656nm 的单色光,如果可以测出的最小条纹移动量为激光波 长的 10-4,要使这个系统能够测出 g 的变化量为 10-19Nkg-1,棒的最小 l 值为多少? B 部分 这部分考察引力场对光在空间的传播所产生的效应。 (a)一个从太阳(质量 M、半径 R)表面发出的光子将被红移。假定光子的质量等价 于光子的能量,利用牛顿引力理论证明无穷远处光子的有效(或测量到的)频率以因子(1 -GM/Rc2)的倍率减小(即红移) 。 (b)光子频率的减小等价于时间周期的增加。当利用光子作为标准钟时,则等价于时 间的膨胀。另外,时间的膨胀总是伴随着同一因子的长度收缩。 现在我们试图研究这效应对在太阳边上传播的光的影响。 首先定义离太阳中心 r 处的等 效折射率 nr:nr=c/c’r 其中 c 为在远离太阳引力影响(r→∞)到的光的速度,c’r 为在距离太阳中心 r 测到 的光速。 当 GM/rc2 很小时,证明 nr 可近似表为 nr=1+? GM/rc2 其中?为常数,请确定该常数。 (c)利用上述 nr 表达式,计算当光通过太阳边缘时偏离直线路径的角度(以弧度为单 位) 。 数据 万有引力常数 G=6.67×10-11Nm2kg-2 太阳质量 M=1.99 x 1030kg 太阳半径 R=6.95 ×108m 光速 c= 3.00 ×108ms-1 你可能需要下列积分:
?

?
?

dx

?x

2

? a

2

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3/2

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2 a


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