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第9章 第6讲双曲线

时间:2015-10-15


基础诊断

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第6讲 双曲线
最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其

简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).

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知识梳理
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离差的绝对值

等于常数(小于|F1F2|且大于零),则点的轨迹叫双曲线.这
两个_____ 定点 叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且 a>0,c>0: (1)若_____ a<c 时,则集合P为双曲线; (2)若a=c时,则集合P为_________ 两条射线 ; a>c 时,则集合P为空集. (3)若_____
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2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

性质 范围 x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a或y≥a ____________________

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对称性 顶点 渐近线 性 质 离心率

坐标轴 ;对称中心:_____ 对称轴:_______ 原点

A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) ________________ a b y=± x ________ y=± x b a

c e=____ a ,e∈(1,+∞) 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|
=2a;线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的 长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的半实轴长,b 叫做双曲线的半虚轴长 c2=________( a2+b2 c>a>0,c>b>0)

实虚轴

a,b,c 的关系

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诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示

(1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线. (×) x2 y2 (2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线. (× ) m n x2 y 2 x2 (3)双曲线方程 2- 2=λ(m>0, n>0, λ≠0)的渐近线方程是 2 m n m y2 x y - 2=0,即 ± =0. n m n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.
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(√ ) (√ )
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x2 y2 2.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率 a 3 为 2,则 a= A.2 5 C. 2 6 B. 2 D.1 ( )

解析 由双曲线方程知 b2=3,从而 c2=a2+3,又 e=2,
2 c2 a +3 因此 2= 2 =4,又 a>0,所以 a=1,故选 D. a a

答案 D
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x2 y2 3.设 a>1,则双曲线 2- =1 的离心率 e 的取值范围是 a ?a+1?2 ( A.( 2,2) C.(2,5) B.( 2, 5) D.(2, 5) )

c 解析 e= = a =

b2+a2 = a2

?a+1? ?2 1+? ? a ? ? ?

? 1? 1 ? ?2 1+?1+a? ,∵a>1,∴0< <1, a ? ?

1 ∴1<1+ <2,∴ 2<e< 5. a
答案 B
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x2 y2 4.(2014· 广东卷)若实数 k 满足 0<k<5,则曲线 - =1 16 5-k x2 y2 与曲线 - =1 的 16-k 5 A.实半轴长相等 C.离心率相等 B.虚半轴长相等 D.焦距相等 ( )

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x2 y2 解析 若 0<k<5,则 5-k>0,16-k>0,故方程 - =1 16 5-k 表示焦点在 x 轴上的双曲线,且实半轴的长为 4,虚半轴的长 21-k 为 5-k,焦距 2c=2 21-k,离心率 e= ;同理方程 4 x2 y2 - =1 也表示焦点在 x 轴上的双曲线,实半轴的长为 16-k 5 16-k,虚半轴的长为 5 ,焦距 2c= 2 21-k,离心率 e= 21-k .可知两曲线的焦距相等.故选 D. 16-k
答案 D
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5.(人教A选修1-1P54A6改编)经过点A(3,-1),且对称轴都

在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.

x2 y2 解析 设双曲线的方程为: 2- 2=± 1(a>0)把点 A(3,-1) a a
2 2 x y 代入,得 a2=8,故所求方程为 - =1. 8 8

x 2 y2 答案 - =1 8 8

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考点一 双曲线的定义及应用 【例1】 (1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2= 9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹

方程为________.
(2)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为 双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为_____.

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解析 (1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|,

因为|MA|=|MB|,
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所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点 M 到两定点 C1,C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大,与 C1 的距离小), 其中 a=1,c=3,则 b2=8.
2 y 故点 M 的轨迹方程为 x2- =1(x≤-1). 8

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(2)设 P 在双曲线的右支上,|PF2|=x(x>0),|PF1|=2+x,因为 PF1⊥PF2,所以(x+2)2+x2=(2c)2=8, 所以 x= 3-1,x+2= 3+1, 所以|PF2|+|PF1|=2 3.
2 y 答案 (1)x2- =1(x≤-1) (2)2 3 8

规律方法 双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面 内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲 线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定 理,经常结合 ||PF1| - |PF2|| = 2a ,运用平方的方法,建立与 |PF1|· |PF2|的联系.
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x2 y2 【训练 1】(1)(2014· 大连模拟)设 P 是双曲线 - =1 上一点, 16 20 F1,F2 分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2| = A.1 C.1 或 17 B.17 D.以上答案均不对 ( )

x2 y2 (2)已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲 4 12 线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 A.5 C.7 B.5+4 3 D.9
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(

)

解析

(1)由双曲线定义 ||PF1|- |PF2||= 8 ,又 |PF1|= 9,∴ |PF2|

=1 或 17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为 c-a =6-4=2>1,∴|PF2|=17. (2)如图所示,设双曲线的右焦点为 E,则 E(4,0).由双曲线的 定义及标准方程得 |PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|. 由图可得,当 A,P,E 三点共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|=5, 从而|PF|+|PA|的最小值为 9.

答案

(1)B (2)D
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考点二 双曲线的标准方程 x2 y2 【例 2】 (1)(2014· 天津卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的 a b 一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点 在直线 l 上,则双曲线的方程为 x2 y2 A. - =1 5 20 3x2 3y2 C. - =1 25 100 x2 y2 B. - =1 20 5 3x2 3y2 D. - =1 100 25 ( )

x2 y2 (2)设双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且与椭圆相 27 36 交,一个交点的坐标为( 15,4),则此双曲线的标准方程 是________.
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x2 y2 解析 (1)由题意知,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近 a b b 线为 y=2x,所以 =2,即 b2=4a2.又双曲线的一个焦点是直线 a l 与 x 轴的交点,所以该焦点的坐标为(-5,0),所以 c=5,即
2 2 ? b = 4 a , ? 2 2 a +b =25,联立得? 2 2 ? ?a +b =25, 2 2 x y 解得 a2=5,b2=20,故双曲线的方程为 - =1. 5 20

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x2 y2 (2)设双曲线的方程为 + =1(27<λ<36), 27-λ 36-λ 由于双曲线过点( 15,4), 15 16 故 + =1, 27-λ 36-λ 解得 λ1=32,λ2=0.
深度思考 本例第 (2) 小 题 可采用 三种 解法 , 为 了更好地掌握双曲线的 定 义及标 准方 程 ,建 议 同 学们这 三种 方法都 要 试一试.

经检验 λ1=32,λ2=0 都是分式方程的根,但 λ=0 不符合题意, 应舍去,所以 λ=32. y2 x2 故所求双曲线的方程为 - =1. 4 5 y2 x2 答案 (1)A (2) - =1 4 5
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规律方法 待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形,再定 量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据 a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出 a,b 的值.如果已知双曲线的渐近 线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方 x2 y2 程为 2- 2=λ(λ≠0),再由条件求出 λ 的值即可. a b

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【训练 2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12); (3)经过两点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7).

解 (1)设双曲线的标准方程为 x2 y2 y2 x2 - =1 或 2- 2=1(a>0,b>0). a2 b2 a b c 5 由题意知,2b=12,e= = . a 4

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∴b=6,c=10,a=8. x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 (2)∵双曲线经过点 M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点, 故焦点在 y 轴上,且 a=12. 又 2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25. y 2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 144 25

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(3)设双曲线方程为 mx2-ny2=1(mn>0). 1 ? ?m=-75, ? ?9m-28n=1, ∴? 解得? ? ?72m-49n=1, ?n=- 1 . 25 ? y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 25 75

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考点三 双曲线的几何性质 x2 y2 【例 3】 (1)设 F1, F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左、 a b 右焦点.若在双曲线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|, 且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线 的渐近线方程为 A.3x± 4y=0 C.4x± 3y=0 B.3x± 5y=0 D.5x+4y=0 ( )

x 2 y2 (2)(2014· 浙江卷)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2 a b =1(a>0, b>0)的两条渐近线分别交于点 A, B.若点 P(m,0) 满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.
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解析 (1)设 PF1 的中点为 M,由|PF2|=|F1F2|,故 F2M⊥PF1, 即|F2M|=2a,在 Rt△F1F2M 中,|F1M|= ?2c?2-?2a?2=2b,故 |PF1|=4b,根据双曲线的定义 4b-2c=2a,即 2b-a=c,即(2b -a)2=a2+b2,即 3b2-4ab=0,即 3b=4a,故双曲线的渐近 b 线方程是 y=± x,即 4x± 3y=0. a ? ? am ?x-3y+m=0, bm ? ? ? , (2)由? b 得点 A 的坐标为? ?, 3 b - a 3 b - a ? ? y= x, ? ? a

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? ? -am ? ?x-3y+m=0, bm ? , 由? 得点 B 的坐标为? b ?3b+a 3b+a?, y=- x, ? ? ? a ? 则 AB 的中点 C
2 ? a2m 3 b m ? ? 的坐标为? 2 2, 2 2? ?, 9 b - a 9 b - a ? ?

3b2m ?b? 9b2-a2 1 ? ?2 1 ∵kAB= ,∴kCP= 2 =-3,化简得?a? = , 3 am 4 ? ? 2 2-m 9b -a 所以双曲线的离心率 e=
?b? ?2 1+? ?a? = ? ?

1 5 1+ = . 4 2

答案 (1)C

5 (2) 2
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规律方法

(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心

x2 y 2 率,在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)中,离心率 e 与双曲线的 a b b 渐近线的斜率 k=± 满足关系式 e2=1+k2.(2)求双曲线的离心 a 率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a, c b,c 的方程或不等式,利用 b =c -a 和 e= 转化为关于 e 的 a
2 2 2

方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范 围.

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x2 y2 【训练 3】 (2014· 湖北七市(州)联考)已知双曲线 2- 2=1(a>b a b >0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线存 sin∠PF1F2 a 在一点 P 使 = , 则该双曲线的离心率的取值范 c sin∠PF2F1 围是________.
解析 在△PF1F2 中, |PF2| |PF1| 由正弦定理知 = , sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 sin∠PF1F2 a |PF2| a 又 = ,∴ = , c | PF | c sin∠PF2F1 1 所以 P 在双曲线右支上,
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设 P(x0,y0),如图, 又∵|PF1|-|PF2|=2a, 2a2 ∴|PF2|= . c-a 由双曲线几何性质知|PF2|>c-a, 2a2 则 >c-a,即 e2-2e-1<0, c-a ∴1<e<1+ 2.

答案 (1,1+ 2)

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考点四 直线与双曲线的位置关系 【例 4】 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长 为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A,B 两点, 求 k 的取值范围.
x2 y2 解 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b 由已知得:a= 3,c=2,再由 a2+b2=c2,得 b2=1, x2 2 ∴双曲线 C 的方程为 -y =1. 3
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(2)设 A(xA,yA),B(xB,yB), x2 2 将 y=kx+ 2代入 -y =1, 3 得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. ?1-3k2≠0, ? 2 Δ = 36 ? 1 - k ?>0, ? ? 6 2k 由题意知?xA+xB= 2<0, 1-3k ? ? -9 ?xAxB= 2>0, 1-3k ?

3 解得 <k<1. 3

3 ∴当 <k<1 时,直线 l 与双曲线左支有两个交点. 3
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规律方法

(1) 研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直

线方程代入双曲线方程,消元,得关于 x 或 y 的一元二次方
程.当二次项系数等于 0 时,直线与双曲线相交于某支上一 点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,

用判别式Δ来判定.(2)近几年高考对直线与双曲线的考查降低
了要求,一般与双曲线的几何性质结合考查.

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【训练 4】 (2014· 湖北卷)设 a, b 是关于 t 的方程 t2cos θ+tsin θ =0 的两个不等实根,则过 A(a,a2),B(b,b2)两点的直线 x2 y2 与双曲线 2 - 2 =1 的公共点的个数为 cos θ sin θ A.0 C.2 B.1 D.3 ( )

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解析 由根与系数的关系,得a+b=-tan θ,ab=0,则a,b
必有一个为0,另一个为-tan θ,不妨设A(0,0),B(-tan θ, tan2θ),则直线AB的方程为y=-xtan θ.根据双曲线的标准方

程,得双曲线的渐近线方程为y=±xtan θ,显然直线AB是双曲
线的一条渐近线,所以直线与双曲线没有公共点. 答案 A

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[ 思想方法] 1.双曲线定义的集合语言:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a< |F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键,切记对 所求结果进行必要的检验. x2 y2 2.与双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方 a b x2 y2 程可设为 2- 2=t (t≠0). a b

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3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双 x2 曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程, 即方程 2- a y2 x2 y 2 =0 就是双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两条渐近线方程. b2 a b [ 易错防范] 1.在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差 的绝对值”,弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支. 2.双曲线中 c2=a2+b2,说明双曲线中 c 最大,解决双曲线问题 时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆.
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3. 求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的 取值范围是(1,+∞)这个前提条件,否则很容易产生增解 或扩大所求离心率的取值范围致错. x 2 y2 b y2 x2 4.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2 a b a a b a =1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x. b 5.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双 曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交于一点, 但不是相 切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个 交点.
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