nbhkdz.com冰点文库

三角函数重点题型归纳

时间:2012-03-05


三角函数重点题型归纳
1、设函数 f(x)=2 sin x cos 2 、 的值; (1)求 ? 的值 )

?
2

处取最小值. + cos x sin ? ? sin x (0 < ? < π ) 在 x = π 处取最小值

的对边,已知 (2)在 ? ABC 中, a , b, c 分别是角 A,B,C 的对边 已知 a = 1, b = ) 2、已知函数 f ( x ) = sin x + sin( x + 、 的最小正周期; (Ⅰ)求 f (x ) 的最小正周期; (Ⅲ)若 f (α ) =

2 , f ( A) =

π
2

3 ,求角 C. 求角 2

), x ∈ R

的最大值和最小值; (Ⅱ)求 f (x ) 的最大值和最小值;

3 的值. ,求 sin 2α 的值 4

3、在△ABC 中,已知内角 A = 、

π
3

, 边BC = 2 3 , 设内角 B=x,周长为 y. ,
的最大值. (Ⅱ)求 y 的最大值

的解析式和定义域; (Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; 的解析式和定义域

4、设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a = 2b sin A . 、 的大小; 的取值范围. (Ⅱ)求 cos A + sin C 的取值范围. (Ⅰ)求 B 的大小; 5、在△ABC 中, cos B = ? 的值; (Ⅰ)求 sin A 的值;

5 , cos C = 4 . 13 5
(Ⅱ)求△ABC 的面积 S
ABC

=

33 的长. ,求 BC 的长. 2
2 2

6、 本小题满分 10 分)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c = 2b ,且 、 (本小题满分 ( 、 、 sin A cos C = 3cos A sin C , 求 b。 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 。 7、设 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , cos(A?C) +cosB = , b2 = ac ,求 B 。 、

3 2

8、已知 tan ? 、

1 ?π ? + α ? = 2, tan β = . 2 ?4 ? sin (α + β ) ? 2sin α cos β 的值; (2) 求 的值. (1) 求 tan α 的值 的值 2sin α sin β + cos (α + β )

9、已知 f (x ) = a b , a =(2cos x,cos x+sin x), b =(sin x,cos x-sin x) 、 (1)求 f ( x) 图象的对称中心坐标,对称轴方程; 图象的对称中心坐标,对称轴方程; 求 (2)若 ? x ∈ ? 0 ,π ? , f ( x) <m,求实数 m 的取值范围。 若 的取值范围。 ? ?
? 2?

10、已知函数 f ( x ) = 、

3 1 sin x ? cos x ,( )求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时 x 的集合;( ) ,(1) 的集合;( ;(2) 2 2 1 2 的值。 在 ?ABC 中, f ( A) = , cos C = , BC = 3 ,求角 A 和边 AB 的值。 2 3
1

三角函数重点题型归纳【答案】 三角函数重点题型归纳【答案】
1、解: (1) f ( x ) = 2sin x ? )

1 + cos ? + cos x sin ? ? sin x 2 = sin x + sin x cos ? + cos x sin ? ? sin x = sin x cos ? + cos x sin ? = sin( x + ? ) 处取最小值, 因为函数 f(x)在 x = π 处取最小值,所以 sin(π + ? ) = ?1 ,由诱导公式知 sin ? = 1 ,因为 0 < ? < π ,所以 在 由诱导公式知 因为 所以

?=

π

2

.所以 f ( x ) = sin( x + 所以

π

2

) = cos x

3 3 π ,所以 cos A = ,因为角 A 为 ? ABC 的内角 所以 A = .又因为 a = 1, b = 2 , 所 的内角,所以 所以 因为角 又因为 2 2 6 b sin A 1 2 a b ,也就是 sin B = , 以由正弦定理,得 = = 2× = 也就是 以由正弦定理 得 sin A sin B a 2 2 π 3π . 因为 b > a ,所以 B = 或 B = 所以 4 4 π π π 7π 3π π 3π π ;当 B = = . 当 B = 时, C = π ? ? = 当 时, C = π ? ? 4 6 4 12 4 6 4 12
(2)因为 f ( A) = )

) 2 4 2π = 2π ; (Ⅰ) f (x ) 的最小正周期为 T = 1 (Ⅱ) f (x ) 的最大值为 2 和最小值 ? 2 ; 3 7 3 7 (Ⅲ)因为 f (α ) = ,即 sinα + cosα = ? ? ? ① ? 2sinα cosα = ? ,即 sin 2α = ? 即 4 4 16 16 π 2π 3、解: Ⅰ)△ABC 的内角和 A+B+C= π ,由 A = , B > 0, C > 0得0 < B < (Ⅰ . 、 ( 由 3 3
应用正弦定理,知 应用正弦定理 知

2、解: f ( x ) = sin x + sin( x + 、

π

) = sin x + cos x =

2 sin( x +

π

BC 2 3 BC 2π sin B = sin x = 4 sin x, AB = sin C = 4 sin( ? x). π sin A 3 sin A sin 3 2π 2π ? x ) + 2 3 (0 < x < ). 因为 y = AB + BC + AC , 所以 y = 4 sin x + 4 sin( 3 3 3 1 cos x + sin x) + 2 3 (Ⅱ)因为 y = 4(sin x + 2 2 π π π 5π = 4 3 sin( x + ) + 2 3 ( < x + < ), 6 6 6 6 AC =
所以,当 所以 当 x +

π

6

=

π

2

,即 x = 即

π

3

时, y 取得最大值 6 3 .
1 , 2

4、解: Ⅰ)由 a = 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A = 2sin B sin A ,所以 sin B = 、 (Ⅰ (

π . 6 π ? ? ?π ? (Ⅱ) cos A + sin C = cos A + sin ? π ? ? A ? = cos A + sin ? + A ? 6 ? ? ?6 ?
为锐角三角形得 由 △ ABC 为锐角三角形得 B =

2

1 3 π? ? = cos A + cos A + sin A = 3 sin ? A + ? . 2 2 3? ?
为锐角三角形知, 由 △ ABC 为锐角三角形知,

π π ?A> ?B, 2 2
由此有

π π π π ?B= ? = . 2 2 6 3

2π π π 1 3 π? ? < A + < ,所以 sin ? A + ? < . 3 3 6 2 ? 3? 2

? 3 3? 3 π? 3 ? < 3 sin ? A + ? < × 3 ,所以, cos A + sin C 的取值范围为 ? 所以, ? 2 ,?. ? 2 3? 2 2? ? ? 5 12 5、解: Ⅰ)由 cos B = ? (Ⅰ 、 ( ,得 sin B = , 13 13 4 3 由 cos C = ,得 sin C = . 5 5 33 所以 sin A = sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C = .··················································· 5 分 65 33 1 33 得 × AB × AC × sin A = , (Ⅱ)由 S△ ABC = 2 2 2 33 …………………………………………8 由(Ⅰ)知 sin A = ,故 AB × AC = 65 ,………………………………………… 分 65 AB × sin B 20 20 AB × sin A 11 13 = AB ,故 AB 2 = 65 , AB= , BC = = …10 分 又 AC = sin C 13 13 2 sin C 2 2 2 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) 6、 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c = 2b 左侧是二次的右侧是 一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin A cos C = 3cos A sin C , 过多的关注两角
和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解 法 一 : 在 ?ABC 中 Q sin A cos C = 3cos A sin C , 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 有 : a?

a2 + b2 ? c2 b2 + c2 ? a2 =3 ?c , 化 简 并 整 理 得 : 2(a 2 ? c 2 ) = b 2 . 又 由 已 知 2 ab 2 bc 2 2 2 a ? c = 2b ∴ 4b = b .解得 b = 4或b = 0(舍) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .
2 2 2 2 2

解法二:由余弦定理得: 解法二:由余弦定理得: a ? c = b ? 2bc cos A .又 a ? c = 2b , b ≠ 0 。 所以 b = 2c cos A + 2 …………………………………① 又 sin A cos C = 3cos A sin C ,∴ sin A cos C + cos A sin C = 4 cos A sin C sin( A + C ) = 4 cos A sin C ,即 sin B = 4 cos A sin C 由正弦定理得 sin B =

由①,②解得 b = 4 。

b sin C ,故 b = 4c cos A ………………………② c

7、分析:由 cos( A ? C ) + cos B = 、分析:

3 3 ,易想到先将 B = π ? ( A + C ) 代入 cos( A ? C ) + cos B = 得 2 2 3 3 2 cos( A ? C ) ? cos( A + C ) = 然后利用两角和与差的余弦公式展开得 sin A sin C = ;又由 b = ac , 2。 4
2

3 π 2π .故 B = 或 故 。大部分考生 2 3 3 2π 1 做到这里忽略了检验,事实上, 做到这里忽略了检验,事实上,当 B = 时,由 cos B = ? cos( A + C ) = ? ,得 3 2 3 cos( A ? C ) = cos( A + C ) + = 2 > 1 ,矛盾,应舍去。 矛盾,应舍去。 2
利用正弦定理进行边角互化, 利用正弦定理进行边角互化,得 sin B = sin A sin C ,进而得 sin B =
3

也可利用若 b = ac 则 b ≤ a或b ≤ c 从而舍去 B =
2

2π 不过这种方法学生不易想到。 。不过这种方法学生不易想到。 3

8、(本题考查两角和与差的三角公式等知识 考查化归与转化的数学思想方法和求解能力 、 本题考查两角和与差的三角公式等知识 考查化归与转化的数学思想方法和求解能力) 本题考查两角和与差的三角公式等知识,

tan + tan α 1 + tan α 1 ?π ? 4 = 2. ∴ = 2 .解得 tan α = . (1)解法 1:∵ tan ? + α ? = 2 , ∴ ) : π 1 ? tan α 3 ?4 ? 1 ? tan tan α 4
π ?π ? ?? π 1 2 ?1 ? π ? tan ? 4 + α ? ? tan 4 = ? ? = 解 2:∵ tan ? π + α ? = 2 , tan α = tan ?? + α ? ? ? = : ? ? 1 + 2 ×1 3 ? 4? ?4 ? ?? 4 π ?π ? 1 + tan ? + α ? tan 4 ? 4 ?

π

sin (α + β ) ? 2sin α cos β
( 2) 解 :

=

cos α sin β ? sin α cos β sin ( β ? α ) tan β ? tanα = tan( β ?α) = = cos α cos β + sin α sin β cos ( β ? α ) 1+ tan β tanα =
2 2

2sin α sin β + cos (α + β )

=

sin α cos β + cos α sin β ? 2sin α cos β 2 sin α sin β + cos α cos β ? sin α sin β
1 1 ? 2 3 1 1 1+ × 2 3

…6 分

=

1 . 7

…12 分

9、解: a b = 2 cos x sin x + cos x ? sin x = sin 2 x + cos 2 x = (1)由 2 x + )

π 2 sin(2 x + ) 4

π π k = kπ k ∈ Z ) 得 x = ? + π k ∈ Z ) , ( ( 4 8 2 π k 图象的对称中心坐标为( 故函数 f ( x ) 图象的对称中心坐标为( ? + π,0) ( k ∈ Z ) ) 8 2 π π π k ( ( 由 2 x + = + kπ k ∈ Z ) 得 x = + π k ∈ Z ) , 4 2 8 2 π k ( 故函数 f ( x ) 图象的对称轴为 x = + π k ∈ Z ) 8 2 π π π 5 π 2 π ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 ,故 ? 1 ≤ f ( x) ≤ 2 (2)由 0 ≤ x ≤ 可得 ≤ 2 x + ≤ ) ,因此 ? 2 4 4 4 2 4 由此可知函数 f (x ) 的最大值为 2 , π 由于 ? x ∈ ? 0 ,π ? ,函数 f ( x ) = 2 sin( 2 x + ) <m,故 m> 2 . ? 2? 4 ? ?
10、解:(1) f ( x ) = 、 :( )

3 1 π sin x ? cos x = sin( x ? ) 2 2 6 π π 2 π ( + 2kπ k ∈ Z ) 时, f (x) 取得最大值 1. ( 所以当 x ? = + 2kπ k ∈ Z ) ,即 x = 6 2 3

π 因此 f (x ) 的最大值是 1,取得最大值时 x 的集合为 ? x x = 2 + 2kπ,k ∈ Z ? , ? ? 3 ? ?

4


三角函数知识点及题型归纳.doc

三角函数知识点题型归纳 - 三角函数高考题型分类总结 一.求值 4 , tan

初中三角函数知识点+题型总结+课后练习.doc

初中三角函数知识点+题型总结+课后练习 - 锐角三角函数知识点 1、勾股定理:直

三角函数重点题型归纳.doc

三角函数重点题型归纳 1、设函数 f(x)=2 sin x cos 2 、 的值

三角函数的图像与性质 知识点与题型归纳.doc

三角函数的图像与性质 知识点题型归纳 - ●高考明方向 1.能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象, 了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,...

三角函数复习大题分类汇总(含答案).doc

三角函数复习大题分类汇总(含答案)_数学_高中教育_教育专区。三角函数板块的大题

三角函数重点题型 归纳.doc

三角函数重点题型 归纳。高考理科数学 三角函数重点题型 三角函数重点题型归纳 1

高中数学三角函数知识点总结和常见题类型归纳.doc

高中数学三角函数知识点总结和常见题类型归纳 - 高考三角函数 高中数学三角函数常见习题类型及解法 高考试题中出现的三角函数问题,难度相对较低,重点突出。该类试题...

三角函数常考题型汇总.doc

三角函数常考题型汇总 - 三角函数 ??x ? ? ? y ? As i n 一

【超级经典】三角函数知识点与题型总结.doc

【超级经典】三角函数知识点题型总结 - 成都戴氏教育温江校区 学生: 老师: 年级: 科目: 时间: 章节:1 三角函数知识点与典型例题 【考试大纲】 高考中本部分...

高中数学必修4三角函数知识点与题型总结.doc

高中数学必修4三角函数知识点题型总结 - 三角函数典型考题归类 1.根据解析式

三角函数复习大题分类汇总(含答案).doc

三角函数复习大题分类汇总(含答案)_理学_高等教育_教育专区。统考专题复习一 三

三角函数知识点总结及高考题库(学生版).doc

三角函数知识点总结及高考题库(学生版)_数学_高中教育_教育专区。三角函数三角.

高中数学必修4三角函数知识点与题型总结.doc

高中数学必修4三角函数知识点题型总结 - www.gaokaoq.com 高考

初中三角函数知识点总结及典型习题.doc

初中三角函数知识点总结及典型习题_数学_初中教育_教育专区。初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 1、勾股定理:直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于...

同角三角函数的基本关系 知识点与题型归纳.doc

同角三角函数的基本关系 知识点题型归纳 - ●高考明方向 1.理解同角三角函数的基本关系式: sinα sin2α+cos2α=1, =tanα. cosα 2.能利用单位圆中...

三角函数---概念、方法、题型总结(教师版).doc

三角函数---概念、方法、题型总结(教师版)_数学_高中教育_教育专区。三角函数---概念、方法、题型总结 三角函数概念、方法、题型、易误点总结 1、角的概念的推广...

必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结.doc

必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结 - 三角函数知识点总结 1、任

专题一:三角函数题型及解(老师)法.doc

专题一:三角函数题型及解(老师)法 - 三角函数试题类型归纳(专题一) 三角函数试题可以归纳为以赏析下几种典型题型。 1、三角函数的概念及同角关系式 此类题主要...

2013年3月最新中考三角函数重点题型.doc

2013年3月最新中考三角函数重点题型 - 一.解答题(共 5 小题) 1. (

三角函数 重点题型总结.doc

三角函数 重点题型总结 - ——概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 三角函数