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求数列通项公式方法大全

时间:2015-07-11


求数列通项公式的常用方法 类型 1、 Sn ? f (an ) 解 法 : 利 用 an ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消 去 S n ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

(n ? 2) 或 与

S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。
例 1 已知无穷数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,并且 an ? Sn ? 1(n ? N * ) ,求 ?a n ? 的通项公式?

Sn ? 1 ? an ,? an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an ? an?1 ,? an ?1 ?
变式 1. 已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 1 ?1? an ,又 a1 ? , an ? ? ? . 2 2 ?2?

n

1 ,前 n 项和 S n 与 an 的关系是 S n ? n(2n ? 1)an ,求 an 3
*

变式 2. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2S n ? 2an ? n ? 3 (n ? N ) . 求数列 {an } 的通项公式 变式 3. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S ,其中 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列. 求数列 {a n } 的通 ( n ? 1 ) b n? n 项公式; 变式 4. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .求数列 ?an ? 的通项 an 变式 5. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2S n ? 2an ? n ? 3 (n ? N ) .
*

求数列 {an } 的通项公式;

变式 6. 已知在正整数数列

{an } 中,前 n 项和 S n 满足
b (2)若 n
?

Sn ?

1 ( a n ? 2) 2 8

{a } (1)求证: n 是等差数列
类型 2、

1 a n ? 30 {b } 2 ,求 n 的前 n 项和的最小值

an?1 ? kan ? b 型(其中 k、b 为常数, kb ? 0 , k ? 1 )

a 解:设 n?1

? m ? k (an ? m)
?m ?b




an?1 ? kan ? km ? m
b k ?1

比较系数: km

m?



{a n ?

b b } a1 ? k ? 1 是等比数列,公比为 k ,首项为 k ?1



an ?

b b ? (a1 ? ) ? k n ?1 k ?1 k ?1

∴ 例1

a n ? (a1 ?

b b ) ? k n ?1 ? k ?1 k ?1

已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求 ?an ? 的通项公式.

【解析】:利用 (an ? x) ? 2(an?1 ? x) , an ? 2an?1 ? x ,求得 x ? 1 ,

an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ,? ?an ?1? 是首项为 a1 ? 1 ? 2 ,公比为 2 的等比数列,
即 an ? 1 ? 2 ? 2n?1 , an ? 1 ? 2n ,? an ? 2n ? 1 变式 1.已知数 {an } 的递推关系为 a n ?1 ?

2 a n ? 4 ,且 a1 ? 1 求通项 an 3

类型 3、 利用 an

an?1 ? an ? f (n) 型,( f (n) 可求前 n 项和),

? a1 ? (a2 ? a1 ) ????(an ? an?1 ) 求通项公式的方法称为累加法。
{an } 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ( n ? N * )求通项公式。

例 1.已知 解:

an ? an?1 ? 2(n ? 1) an?1 ? an?2 ? 2(n ? 2) an?2 ? an?3 ? 2(n ? 3) …… a3 ? a 2 ? 2 ? 2

? a2 ? a1 ? 2 ?1
an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? n 2 ? n
∴ an ? n ? n ? 1
2

变式 1.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 变式 2. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

变式 3. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 3n?1 ? an-1 (n ? 2) 求数列 ?an ? 的通项公式.

变式 4. 已知数列 an 满足 a1 ? 1 ,

? ?

an ?1 ? an ?

1 n(n ? 1) ,求 ?an ?的通项公式。

类型 4

an?1 ? kan ? an ? b 型
an?1 ? A(n ? 1) ? B ? k (an ? An ? B)

解:可设 ∴

an?1 ? kan ? (k ? 1) An ? (k ? 1) B ? A
A?
解得:

?(k ? 1) A ? a ? ∴ ?(k ? 1) B ? A ? b


b a a B? ? k ? 1 (k ? 1) 2 k ?1 ,

{an ? An ? B} 是以 a1 ? A ? B 为首项, k 为公比的等比数列
n?1

∴ an ? An ? B ? (a1 ? A ? B) ? k ∴ an ? (a1 ? A ? B) ? k
n?1

? An ? B 将 A、B 代入即可
an ? 1 a n ?1 ? 2n ? 1 {a } 2 ,求 n 的通项公式。

例 1. 已知: a1 ? 1 , n ? 2 时, 解:

1 a n ? An ? B ? [a n ?1 ? A(n ? 1) ? B] 2 设 an ? 1 1 1 1 a n ?1 ? An ? A ? B 2 2 2 2

? 1 ? A?2 ? ? 2 ? ? ? 1 A ? 1 B ? ?1 ? 2 ∴ ? 2

? A ? ?4 ? 解得: ? B ? 6
∴ a1 ? 4 ? 6 ? 3

1 { a ? 4 n ? 6 } n ∴ 是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列

1 a n ? 4n ? 6 ? 3 ? ( ) n ?1 2 ∴ an ? 3 2 n ?1 ? 4n ? 6
(q

∴ 类型 5

an?1 ? kan ? q n 型
n ?1

?0)

等式两边同时除以 q

a n?1 k a n 1 ? ? n ? n ?1 q q q q 得

Cn ?
令 例 1. 已知

an qn

C n ?1 ?


k 1 Cn ? q q



{C n } 可归为 an?1 ? kan ? b 型

{an } 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2n ( n ? 2 )求 an 。

a n a n ?1 ? n ?1 ? 1 n n a ? 2 a ? 2 n?1 2 由 n 得2 {


an an 1 } ? ? (n ? 1) n 2 成等差数列, 2 n 2

∴ an ? n ? 2 ? 2
n

n?1

类型 6

an?1 ? Aan ? Bqn ( A、B、q 为常数,下同)型,

n ?1 n a ? ? ? q ? A ( a ? ? ? q ) 的形式. 可化为 n ?1 n
例 1.在数列 ?an ?中, 1

a ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 ,求通项公式 an


解:原递推式可化为:

a ? ? ? 3n ? 2(a ? ? ? 3n ? 1) n ?1 n
比较系数得 ? ? ?4 ,①式即是:

an ?1 ? 4 ? 3n ? 2(a n ? 4 ? 3n ?1 )

.

则数列

{an ? 4 ? 3n?1} 是一个等比数列,其首项 a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5 ,公比是 2.



an ? 4 ? 3n?1 ? ?5 ? 2n?1



an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1 .

变式 1. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 变式 2. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 变式 3. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。
n

类型 7、

an?1 ? f (n) ? an 型。

(1)若 f ( n) 是常数时,可归为等比数列。

a a a (2)若 f ( n) 可求积,利用恒等式 an ? a1 2 3 ??? n (an ? 0, n ? 2) 求通项公式的方法称为累乘法。 a1 a2 an?1

例 1:已知:

a1 ?

1 2n ? 1 an ? a n ?1 {a } 3, 2n ? 1 ( n ? 2 )求数列 n 的通项。

an an?1 an?2 a3 a2 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 5 5 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a2 a1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 7 5 2n ? 1 解: an?1 an?2 an ?3
a n ? a1 ? 3 1 ? 2n ? 1 2n ? 1



变式 1. 已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 变式 2. (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?
变式 3.

? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。
2

?a ? a1 ? 3 , an?1 ? n ? 1 an ,求 an 。 已知数列 n 满足
a n ?1 ? n an n ? 2 且 a1 ? 2 求数列通项公式。

n

{a } 变式 4. 已知 n 中,

类型 8、 an ?1

?

can (c ? 0, d ? 0) an ? d
1 d 1 1 ? ? an ?1 c an c
*

取倒数变成

的形式的方法叫倒数变换.

例1

已知数列 ?an ? (n ? N ) 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

an ,求数列 ?an ? 的通项公式. 2an ? 1

【解析】 :将 an ?1 ?

an 1 1 ? 2? , 取倒数得: 2an ? 1 an?1 an

?1? 1 1 1 ? ? 2 ,? ? ? 是以 ? 1 为首项,公差为 2 的 a1 an?1 an ? an ?

等差数列.

1 1 ? 1 ? 2(n ? 1) ,? an ? . 2n ? 1 an

例 2 已知

{an } 中, a1 ? 4 ,

an ? 4 ?

4 a n?1 ( n ? 2 )求 an 。

an?1 ? 2 ? 2 ?
解:

4 2(an ? 2) ? an an

1
∴ a n ?1 ? 2

?

an 1 1 ? ? 2(an ? 2) 2 an ? 2 ( n ? 1 )
? 1 1 1 ? bn ? a n ? 2 2 ( n ? 1 )设 an ? 2

1
∴ a n ?1 ? 2

即 ∴

bn ?1 ? bn ?

1 ( n ? 1) 2

{bn } 是等差数列
an ? 2 ?2 n

1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? 2 2 ∴ a n ? 2 a1 ? 2

例 3. 已知数列{an}满足:a1=

3 3na n-1 ,且 an= (n ? 2,n ? N?) 求数列{an}的通项公式; 2 2a n-1+n- 1

解:(1)将条件变为:1-

1 n n 1 1 1 n-1 =( ,因此{1- }为一个等比数列,其首项为 1- = ,公比 , 1- ) 3 a1 3 an 3 an a n-1

1 n ? 3n n a 从而 1- = ,据此得 n = n (n?1) 3 -1 a n 3n

变式 1.已知数列{ an }中 a1 ? 1 且 a n ?1 ?

an ( n ? N ),,求数列的通项公式。 an ? 1

变式 2.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 变式 3.在数列{ an }中, a 1 =1,

2an , (n ? N ? ) an ? 2

(n ? 1)an ?1 ? nan ,求 an 的表达式。

变式 4. 数列

{an } 中,

a n?1 ?

2 n?1 ? a n 2 n ?1 ? a n , a1 ? 2 ,求 {an } 的通项。

变式 5.

2 2S n an ? 2S n ? 1 ( n ? 2 ) S a { a } a ? 1 已知 n 中, 1 ,其前 n 项和 n 与 n 满足

1 } {a } S n (1)求证: 为等差数列 (2)求 n 的通项公式 {

类型 9、 an? 2

? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)。
2

(特征根法):对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a 2 ? ? 给出的数列 ?an ? ,方程 x ? px ? q ? 0 ,叫 做数列 ?an ? 的特征方程。 若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,
n?1 n?1 (1)当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1 ? Bx2 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a 2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2

和 n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1

n?1

n?1 ,得到关于 A、B 的方程组); ? Bx2

n?1 (2)当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a 2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和

n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B 的方程组)。

3、

an ? 2 ? A ? an ?1 ? B ? an 型,可化为

an ? 2 ? ?an ?1 ? ( A ? ? ) ? (an ?1 ? ?an ) 的形式。
例 11 在数列{ an }中, a1

? ?1, a2 ? 2 ,当 n ? N



an?2 ? 5an?1 ? 6an





通项公式

an .

解:①式可化为:

an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ?an )
比较系数得

? =-3 或 ? =-2,不妨取 ? =-2.①式可化为:

an ? 2 ? 2an ?1 ? 3(an ?1 ? 2an )
则 ∴

{an?1 ? 2an } 是一个等比数列,首项 a2 ? 2a1 =2-2(-1)=4,公比为 3.

an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 .利用上题结果有:

an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1 .
例 1 数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求 an
2 解(特征根法):的特征方程是: 3x ? 5 x ? 2 ? 0 。? x1 ? 1, x 2 ?

2 , 3

2 n?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是 ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 3

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) ? 3 ?

故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( )

2 3

n ?1

变式 1. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

key : an ?

7 3 1 n ?1 ? (? ) 。 4 4 3

变式 2. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式;

r 类型 10 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解。

1 2 ? a n (a ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式 . a 1 2 1 解:由 a n ?1 ? ? a n 两边取对数得 lg a n ?1 ? 2 lg a n ? lg , a a 1 1 2 n ?1 令 bn ? lg an ,则 bn ?1 ? 2bn ? lg ,再利用待定系数法解得: a n ? a ( ) a a
例 1 已知数列{ an }中, a1 ? 1, a n ?1 ? 变式 1. 【2002 年上海高考题】若数列{

an }中, a1 =3 且 an?1 ? an 2 (n 是正整数),则它的通项公式是 a n =

类型 11 周期型 解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

例 1 若数列 ?an ? 满足 a n ?1

1 ? 2a n , (0 ? a n ? ) ? 6 ? 2 ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?

变式【2005 湖南文 5】已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =()
3 2

A.0

B. ? 3

C. 3

D.

类型 12 平方(开方)法

【例 1】 若数列{

2 an }中, a 1 =2 且 an ? 3 ? an ?1

(n

? 2 ),求它的通项公式是 an .





2 an ? 3 ? an ?1

两边平方整理得

2 2 2 2 an ? an ?1 ? 3 。数列{ a n }是以 a1 =4 为首项,3 为

公差的等差数列。

2 2 an ? a1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1 。因为 an >0,所以 an ? 3n ? 1 。


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